2020年浙江省湖州市长兴第二高级中学高三数学理联考试题含解析

2020年浙江省湖州市长兴第二高级中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，
则该几何体的体积为
A． B．
C．D．
参考答案：
A
2. 复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）
A．B．4 C．1 D．一1
参考答案：
B
略
3. 下列命题中正确的是
A.任意两复数均不能比较大小
B.复数z是实数的充要条件是
C.虚轴上的点表示的是纯虚数
D. i+1的共轭复数是i－1
参考答案：
B 任意两复数均不能比较大小是错误的；虚轴上的点表示的是纯虚数也是错误的；i+1的共轭复数是i－1也是错误的；而复数z是实数的充要条件是是正确的，故选择B.
4. 设，则等于（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
答案：D
解析：依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D
5. 设，且，则下列关系中一定成立的是（）
A． B． C．D．
参考答案：
D
6. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）
A. 关于点（，0）对称
B. 关于直线x＝对称
C. 关于点（，0）对称
D. 关于直线x＝对称
参考答案：
A
略
7. 过点且与曲线相切的直线方程是（）
（A ） （B ） （C ） （D ）或
参考答案： D
8. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列几种说法正确的是（ ）
A ．A 1
B ∥D 1B B ．A
C 1⊥B 1C
C ．A 1B 与平面DB
D 1B 1成角为45° D ．A 1B ，B 1C 成角为30°
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】由图可知A 错误；由线面垂直的判定与性质可B 正确；分别求出线面角及异面直线所成角判定C 、D 错误． 【解答】解：如图， A 1B∩D 1B=B ，故A 错误；
连接BC 1，则BC 1⊥B 1C ，又AB ⊥B 1C ，AB∩BC 1=B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1，则AC 1⊥B 1C ，故B 正确；
连接A 1C 1，交B 1D 1=O ，连接BO ，则∠A 1BO 为A 1B 与平面DBD 1B 1成角，
在Rt △A 1OB 中，sin
，∴A 1B 与平面DBD 1B 1成角为30°，故C 错误；
连接A 1D ，则A 1D ∥B 1C ，连接BD ，可得△A 1BD 为等边三角形，则∠A 1DB 为60°， 即A 1B ，B 1C 成角为60°，故D 错误． 故选：B ．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
9.
若a 、b 为实数，则
是的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 参考答案： 答案:A
10. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是
A ．2
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线
在点（－1，－1
）处的切线方程为
．
参考答案：
Y=2X+1 略
12. 若,其中为虚数单位,则_________.
参考答案：
略 13. 已知
且
）在[2,4]上是增函数，则实数a 取值范围是____ .
参考答案：
【分析】
利用复合函数的单调性，分别研究
的单调性.
【详解】设，则，因为，所以
开口向上且在
为增函
数，若使在上是增函数，则有,解得.
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，复合函数单调性的问题，一般是拆分成基本初等函数，结合“同増异减”的策略求解，同时需要注意函数的定义域，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养. 14. （5分）（2015?陕西一模）
，f 2（x ）=sinxsin （π+x ），若设f
（x ）=f 1（x ）﹣f 2（x ），则f （x
）的单调递增区间是 ．
参考答案：
[k π，k π+
]
【考点】： 运用诱导公式化简求值；正弦函数的单调性． 【专题】： 三角函数的图像与性质．
【分析】： 化简函数的解析式为f （x ）=﹣cos2x ，本题即求函数y=cos2x 的减区间．令2k π≤2x≤2kπ+π，k∈z ，求得x 的范围，可得函数y=cos2x 的减区间． 解：f （x ）=f 1（x ）﹣f 2（x ）=sin （+x ）cosx ﹣sinxsin （π+x）=﹣cos 2
x+sin 2
x=﹣cos2x ，
故本题即求函数y=cos2x 的减区间．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，
可得函数y=cos2x 的减区间为 ，
故答案为：
．
【点评】： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题． 15. 等比数列
中，若公比
，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式
．
参考答案：
16. 以抛物线y 2＝4x 上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x 轴截得的弦长为＿＿＿＿
参考答案： 6
17. 四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．
参考答案：
32π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】如图，取BC 、AD 中点分别为E 、F ，连结DE ，AE ，EF ，取EF 中点O ，AO=DO=OB=OC=2，即
可得O 为四面体A ﹣BCD 的外接球，半径R=2
，
【解答】解：如图，取BC 、AD 中点分别为E 、F ，连结DE ，AE ，EF ，
∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE
，∴EF⊥AD，
取EF 中点O ，OF=，∴AO=DO=
，
同理可得OB=OC=2
，故O 为四面体A ﹣BCD 的外接球，半径R=2
，
则它的外接球表面积等于4πR 2=32π， 故答案为：32π．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点
按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；
（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…
（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P
所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1
∴动点P的轨迹方程为．…
【点评】本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
19. （本小题满分15分）已知函数
（Ⅰ）判断f(x)在R上的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）当x∈[1,2]时，恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）递增
证明：设，则，
所以在上递增.
（2），为奇函数.
，，
即，，所以.
20. 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性.
（Ⅱ）试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.
试题解析：
（Ⅰ），令得.
当且时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，则
，即，其中（2）式即.
记，，则，得在上单调递减，在上单调递增，又，，，故方程在上有唯一实数根，经验证也满足（1）式.
于是，，，曲线与的公切线的方程为，即.
21. 某企业招聘工作人员，设置、、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已知甲、乙
两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.
（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；
（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；
（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.
参考答案：
(I) 设戊竞聘成功为A事件，则
…………3分
（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件
…………6分
（Ⅲ）可取0，1，2，3，4
01234
…………12分
22. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.
参考答案：。