河南省信阳市河南第一高级中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析

河南省信阳市河南第一高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（）
A．有极大值，没有极大值B．没有极大值，没有最大值
C.有极大值，有最大值D．没有极大值，有最大值
参考答案：
A
由题意，函数的图象可知，
当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，
所以函数有极大值，没有最大值，故选A.
2. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，
由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，
由，解得，即A（3，2），
此时OA的斜率k=，
即的最大值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．
3. 已知全集,,则
A．B． C． D．
参考答案：
B
4. 已知等比数列中，公比，且，，则（）
参考答案：
B
略
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6 B．8
C．10 D．12
参考答案：
C
6. 在△ABC中，，，，则BC边上的高等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
7. 已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：一元二次不等式的解法．
分析：已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：
①当x≤0时；
②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．
解答：解：①当x≤0时；f（x）=x+2，
∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，
x2﹣x﹣2≤0，
解得，﹣1≤x≤2，
∴﹣1≤x≤0；
②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，
∴﹣x+2≥x2，
解得，﹣2≤x≤1，
∴0＜x≤1，
综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，
故选A．
点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．
8. 已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若?x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
参考答案：
B
【考点】3T：函数的值．
【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）
+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．
【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，
得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63
所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，
由x0，n∈N*，得或，
解得或，
所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．
故函数f（x）的“生成点”共有2个．
故答案为：2．
9. （5分）下列命题中正确命题的个数是（）
（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y一定减少2个单位；
（3）若p且q为假命题，则p，q均为假命题；
（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；
（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
参考答案：
A
【考点】：命题的真假判断与应用．
【专题】：简易逻辑．
【分析】：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，即可判断出正误；
（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，即可判断出正误；
（3）由已知可得：p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误；
（4）利用命题否定定义即可判断出正误；
（5）由正态分布的对称性可得：P（﹣1＜ξ＜0）=，即可判断出正误．解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，因此不正确；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，因此不正确；
（3）若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确；
（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，正确；
（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则P（﹣1＜ξ＜0）
==，因此正确．
综上真命题的个数为2．
故选：A．
【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的应该知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10. 已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，
的重心为G，内心I，且有（其中为实数），椭圆C的离心率e=（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则
的值是．
参考答案：
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出?的值，从而求得f （x）的解析式，进而求得的值
【解答】解：由图象可得A=， =﹣，解得ω=2．
再由五点法作图可得2×+?=π，?=，
故f（x）=sin（2x+），
故=sin（2×+）=sin（2×）=，
故答案为．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
12. 已知双曲线则其渐近线方程为_____________
参考答案：
略
13. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．
【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），
可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，
可得4c2=5a2
e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，b =4，
下列判断：
①若，则角C有两个解；
②若，则AC边上的高为；
③a+c不可能是9.
其中判断正确的序号是_______.
参考答案：
②③
15. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后得产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96,106)，样本中净重在区间[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100,104)的产品个数是________
参考答案：
44
【分析】
先利用已知条件求出样本容量，并由频率分布直方图得出样本中净重在区间的产品所占的频率，再利用样本容量乘以该频率可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可知，样本中净重在区间的频率为，
则样本容量为，
由频率分布直方图可知，样本中净重在区间的频率为，
因此，样本中净重在区间的产品个数为，故答案为：44.
【点睛】本题考查频率分布直方图中相关的计算，涉及频率、样本容量以及频数的计算，解题时要注意从频率分布直方图中得出相应的频率，并熟悉频数、样本容量、频率三者之间的关系，属于基础题.
16. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．
参考答案：
3:1:2
略
17. 给出下列命题:
①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;
②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;
③命题“,使得”的否定是真命题; ④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________
参考答案：
①③
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，）以坐标原点为极
点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）由
化成直角坐标方程为，
即直线的方程为，
依题意，设，
则点到直线的距离
∴当，时，
.
（2）∵曲线上的所有点均在直线的右下方，
∴对任意，有恒成立，
即（其中）恒成立，
∴，又，解得
故实数的取值范围为.
19. 已知如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，，
.
（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；
（2）已知E为PC中点，求AE与平面PBC所成角的正弦值.
参考答案：
（1）连接，过作于，过作于.
在等腰梯形中，∵，∴.
∴，则，，
∴即，
∵平面，平面，
∴，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）∵由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，
∴，
∵，∴，
即，
∴.
∴与平面所成角的正弦值等于.
20. 如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（1）求x，y的值；
（2）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．
参考答案：
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】（1）甲代表队的中位数为76，结合茎叶图能求出x的值；乙代表队的平均数为75，结合茎叶图能求出y的值．
（2）分别求出甲、乙的平均数和方差，由此得到甲队成绩较为稳定．
【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，
其中已知高于76的有77，80，82，88，
低于76的有71，71，65，64，
所以x=6，…
因为乙代表队的平均数为75，
其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，
少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，
所以y=3．…
（2）∵（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，…
乙代表队数据的平均数是75．
∴ [（64﹣75）2+（65﹣75）2+…+（88﹣75）2]=50.2…
又S2乙= [（56﹣75）2+（68﹣75）2+…+（89﹣75）2]=70.3…
∴，
∴甲队成绩较为稳定．…
21. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．
（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；
（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．
【解答】解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；
∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；
∴AE∥DF，且AE?平面PCD，DF?平面PCD；
∴AE∥平面PCD；
（2）
∵∠PAB=60°，PA=AB；
∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；
则PO⊥AB；
又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；
∴PO⊥平面ABCD；
根据已知条件可求得PO=，S△BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；
∴，；
∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；
∴；
∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．
【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．
22. 已知函数.
（1）证明：；
（2）设，比较与的大小，并说明理由.
参考答案：
解：（1）因为，故在上是增加的，在上是减少的，
，
设，则，故在上是增加的，
在上是减少的，故，
，
所以对任意恒成立；（2），
∵，∴，故只需比较与的大小令，设
，
，
因为，所以，所以函数在上是增加的，
故，所以对任意恒成立，
即，从而有.。