M-矩阵与其逆矩阵Hadamard积最小特征值的新下界估计式

M-矩阵与其逆矩阵Hadamard积最小特征值的新下界估计
式
周平; 李艳艳
【期刊名称】《《德州学院学报》》
【年(卷),期】2019(035)006
【总页数】7页(P5-10,15)
【关键词】M-矩阵; Hadamard积; 最小特征值; 下界估计式
【作者】周平; 李艳艳
【作者单位】文山学院数学与工程学院云南文山 663099
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
1 预备知识
记表示所有n × n 阶复（实）矩阵构成的集合，
定义1[1]设用表示A与B的对应元素相乘而得到的m ×n阵，即
称为A和B的Schur积，也称为Hadamard积.
定义2[1-10] 设，若，则A为Z矩阵；若，且 A -1 ＞ 0 ，则A为非奇异M-矩阵，记作A ∈Mn.
定义2，右上角的引用[1-10]，改为引用[1]，即可.
定义4[2]若n阶实矩阵A的各行元素之和均为 1，则称A为行随机矩阵；若n阶实矩阵A的各列元素之和均为 1，则称A为列随机矩阵；若A与 T A 均为行随机矩阵，则称A为双随机矩阵.
下面先给出后文中用到的一些记号：
引理1[3] 如果那么A的所有特征值包含在下列集合中：
引理2[6]如果是双随机矩阵，那么
2 已有结果
定理1 [8]设为双随机矩阵，则
3 的估计式
定理3 设
证明因为为双随机矩阵，根据文献[7]中定理2.3可知，为了不失一般性，现假设A是严格行对角占优M-矩阵，下面分两种情形进行讨论：
（Ⅰ）如果矩阵A和B都是不可约矩阵时，则根据引理1知，存在某个i0∈N，使得
（Ⅱ）如果矩阵A与矩阵B中至少有一个是可约时，令n阶置换矩阵满足，则对足够小的正数θ，能够使得A-θF,B-θF的所有主子式都是正的[2]，从而此时用A-θF与B-θF分别替代A,B，当θ→0时，综合（1）的证明和连续性的结论仍然成立.
注1：在定理 3 中令α等于 0 可得
即为定理 2 中的（3）式，因此（3）式包含于本文定理 3 给出的结果，说明文中给出的下界估计式优于文献[9]的结果.
推论1 设
由 H i和 si的定义知，，则有
故综上所述，得
如果A与B是两个相同的非奇异M-矩阵时，根据定理 3 可以得到如下结果：
注2：在定理 4 中令α等于 0 可得
即为定理 2 中的（4）式，因此（4）式包含于本文定理 4 给出的结果，说明文中给出的下界估计式比文献[9]的结果更好.
4 数值例子
这里nMBA∈,，且，由定义 4 和引理 2 知 A -1是双随机矩阵，从而应用（1）式
计算得，从而应用（3）式计算得q( B。

A-1)≥0.1932，但应用本文给出的定理 3 计算得≥0.1945；运用Matlab7.0计算得q( A。

A-1)≥0.9755，分别应用（2）式和（4）式计算得，但应用本文定理 4 ，取. 根据以上计算结果可知，本文给出的结果优于已有文献的结果，提高了估计的精确度.
参考文献：
【相关文献】
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