专题32 双曲线-2022学年高二数学新教材同步配套讲练(解析版)

《讲亮点》2021-2022学年高二数学上册教材同步配套讲练《苏教版2019选择性必修第一册》
专题3.2双曲线
【教学目标】
1、掌握双曲线的标准方程及其求法.
2、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
3、与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
【教学重难点】
1、用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
2、双曲线的标准方程及其求法.
【知识亮解】
知识点一：双曲线
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程
焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
标准方程(a>0,b>0)
(a>0,b>0)焦点
F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)a,b,c 的关系b 2=c 2-a 2
双曲线与椭圆的比较
椭圆
双曲线定义
|MF 1|+|MF 2|=2a (2a>|F 1F 2|)||MF 1|-|MF 2
||=2a (0<2a<|F 1F 2
|)a,b,c 的关系b 2=a 2-c 2b 2=c 2-a 2
焦点在
x 轴上
焦点在
y 轴上
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);
(2)经过两点A(-7,-6),B(2,3).
分析(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到.
(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.
解:(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则a=2=1,解得b2=16,
则双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,
则有解得
则双曲线的标准方程为=1.
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,
但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx 2
+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从
而简化求解过程.
变式根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2);
(2)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
解:(1)因为焦点在x轴上,
可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
将点(4,-2)和(2,2)代入方程得
解得a2=8,b2=4,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
因为点P,Q在双曲线上,
则解得
故双曲线的标准方程为=1.
例2.已知,两地相距800，在地听到爆炸声比在地晚2，且声速为340m/,求炮弹爆炸点的轨迹方程。

A B m A B s
s
22222
解：建立平面直角坐标系，使,两点在上，
并且原点与线段的中点重合。

设炮弹爆炸点的坐标为（,），则
3402680
即2680,340
又800，所以2800，
400,44400
因为680＞0所以点的轨迹是双曲线的右支，因此340
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为1(340)11560044400
A B x AB P x y PA PB a a AB c c b c a PA PB P x x y x -=⨯=======-=-=≥-=≥变式“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A ,B ,C ),A 在B 的正东方向,相距6千米,C 在B 的北偏西30°方向,相距4千米,P 为航天员着陆点.某一时刻,A 接收到P 的求救信号,由于B ,C 两地比A 距P 远,在此4秒后,B ,C 两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A 处发现P 的方位角.
解:因为|PC|=|PB|,所以P 在线段BC 的垂直平分线上.
又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
所以P 在以A ,B 为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB 的中点为坐标原点,AB 的垂直平分线所在直线为y 轴,正东方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
则A (3,0),B (-3,0),C (-5,2)
.
所以双曲线方程为=1(x>2),
BC 的垂直平分线方程为
x-y+7=0.
联立两方程解得x=8(舍负),y=
5,
所以P (8,5),
k P A =tan ∠PAx=,所以∠PAx=60°,
所以P 点在A 点的北偏东30°方向.
知识点二、双曲线的几何性质
标准方程
图形
标准方程
性
质范围x≤-a 或x≥a y ∈R y≤-a 或y≥a x ∈R
对称性对称轴:x 轴、y 轴;对称中心:坐标原点
顶点坐
标A 1(-a,0),A 2(a,0)A 1(0,-a),A 2
(0,a)轴实轴:线段A 1A 2,长:2a ;
虚轴:线段B 1B 2
,长:2b ;半实轴长:a ,半虚轴长:b
渐近线
y=±
y=±
离心率
a,b,c间的关
系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
双曲线椭圆
曲线两支曲线封闭的曲线
顶点两个顶点四个顶点
轴实、虚轴长、短轴
渐近线有渐近线无渐近线
离心率e>10<e<1
a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2
(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为.
(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
例1求双曲线9y 2
-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、
渐近线方程.
解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,
即=1,所以a=3,b=2,c=.
因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(-,0),(,0),
实轴长2a=6,虚轴长2b=4,
离心率e=,
渐近线方程为y=±x=±x.
由双曲线的方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a ,b 的值.
(3)由c 2=a 2+b 2
求出c 的值,从而写出双曲线的几何性质.变式
求双曲线nx 2-my 2
=mn (m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx 2-my 2=mn (m>0,n>0)化为标准方程为=1(m>0,n>0),
由此可知,半实轴长a=,
半虚轴长b=,c=,
焦点坐标为(,0),(-,0),
离心率e=,
顶点坐标为(-,0),(,0),
所以渐近线方程为y=±x ,即y=±x.
例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-),离心率为;
(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;
(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).
解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),∵e=,∴=2,即a2=b2.①
又双曲线过P(3,-),∴=1,②
由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.
若双曲线的焦点在y轴上,
设其方程为=1(a>0,b>0),
同理有a2=b2,③
=1,④
由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.
(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,
∴焦点是F1(-,0),F2(,0).
因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
由已知条件,有解得
∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
∴双曲线方程为,
即双曲线的标准方程为=1.
2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).
(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ<a2).
(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
变式2求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;
(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等.
解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=,
从而b=4,c=a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,
故双曲线的标准方程为=1.
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,
故可设其方程为=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
例4．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m）
解:设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，如图所示：
AB 为喉部直径，故30a m =，故双曲线方程为
22
2
1900x y b -=.而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ，
其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=，
故()45,25M ，
故22245251900b
-=，所以2500b =，
故双曲线方程为22
1900500
x y -=.
例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:16
5
x =的距离的比是5
4
，则点M 的轨迹方程为?
解：设点(,)M x y ，由题知
45
=MF d
22(5)4
1655
x y x -+-，即222(5)16
1625()5
x y x -+=
-.整理得：
221169x y -=.例6、过双曲线
22
136
-=x y 的右焦点F 2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B 两点,求|AB|.分析:求弦长问题有两种方法:
法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F 1
(-3,0),F 2
(3,0).因为直线AB 的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F 2
，
所以，直线AB 的方程为3
313
y (x -). ()=
22
333136由y (x ), x y ,⎧=-⎪⎪
⎨⎪-=⎪⎩256270消去，得y x x -.
+=12935
解这个方程，得 x -,x .
==121223
1235
将的值代入（），得x ,x y ,y .=-=-
923
32355
于是，两点的坐标分别为A,B (,),(,).
---2212121635
所以|AB |(x x )(y y ).=-+-=
直线与双曲线位置关系的判断方法
1．方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx ＋c ＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点
归纳总结
2．数形结合思想的应用
(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程
变式已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．
[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．
[解](1)＝kx－1，2－y2＝1，
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，
－k2≠0，
＝4k2＋8(1－k2)＞0，
解得－2＜k＜2，且k≠±1.
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－
2k
1－k2，
x1x2＝－2
1－k2，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝
(1＋k2)(8－4k2)
(1－k2)2
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝
1
1＋k2，
∴S
△AOB
＝1
2
·|AB|·d＝1
2
8－4k2
(1－k2)2＝2，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±
6
2
.
∴实数k的值为±
6
2或0.
【亮点训练】
1．双曲线22
1
4y x m
-=的离心率为32，则其渐近线方程是（）
A ．5
4
y x =±
B ．45
y x =±
C ．52
y x =±
D ．25
5
y x =±
【答案】D
【解析】双曲线2214y x m -=，即2,a b ==所以c =，由离心率为32，所以43
22
c
a
=
=，解得5m =，所以双曲线22
1
45y x -=，则渐近线方程为255a y x x b =±==±，故选：D.2．直线3b y x a
=+与双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的交点个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
【答案】A
【解析】由题意，双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其渐近线方程为b y x a =，因为直线3b y x a
=+与
双曲线的一条渐近线b
y x a
=
平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选：A.3．若直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点，则实数k 的取值范围是（）
A ．(1)-
B ．
C ．(
D ．(1,1)
-【答案】D
【解析】当直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的渐近线y x =±平行时，1k =±，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：
因为直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点，
所以k 的取值范围为(1,1)-，故选：D .
4．已知双曲线22
123x y -=的左右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足
AB =
的直线l 有(
)
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】C
【解析】双曲线22
1
23x y -=，过1F 的直线l 垂直于x 轴时，22b AB a ===；
双曲线两个顶点的距离为，∴满足AB =l 有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C
5．（多选题）已知双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线12:l y x =，2:2=-l y x ，
则下列表述正确的有（）
A ．a b
>B ．2a b
=C ．双曲线E 的离心率为
D ．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
E 的焦点在x 轴上【答案】CD
【解析】因为双曲线E 的两条渐近线方程分别为2y x =，2y x =-，所以
2b
a
=，所以2b a =，故AB 不
正确；所以双曲线E 的离心率e a
==E 的焦点在x 轴上.故CD 正确.故选：CD.
6．（多选题）已知双曲线22
:1
3x y C m
-=过点，则下列结论正确的是（
）
A ．C 的焦距为4
B ．C
C ．C 的渐近线方程为33
y x =±D ．直线210x -=与C 有两个公共点
【答案】AC
【解析】由双曲线
22
:1
3
x y
C
m
-=
过点，可得1
m=，则双曲线C的标准方程为：
2
21
3
x y-=
；
所以1,2
a b c
====，因为椭圆C的焦距为24
c=，所以选项A正确；因为椭圆C的离心
率为
23
3
c
a==，所以选项B不正确；因为椭圆C 的渐近线方程为
3
3
y x
=±，所以选项C正确；将
直线210
x-=与双曲线
2
21
3
x y-=
联立消y可得：23440
x x
-+=，
()24434320
∆=--⨯⨯=-<
，所以直线210
x-=与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确；故选：AC.
7.已知双曲线
22
1
2
x y
a-=（
a>
，则该双曲线的渐近线方程为________.
【答案】y=
【解析】
依题意有=即2
320
a a--=，解得1
a=，
所以渐近线的方程为
b
y x
a
=±=. 8．设双曲线
2
21
9
y
x-=的左，右焦点分别为1F，2F，直线1
x=与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则12
PF F
△的面积是________.
【答案】
【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：3
y x
=±
，焦点()
1
F
，)
2
F，
则直线1
x=与双曲线的渐近线交于点()
1,3，()
1,3
-，不妨设()
1,3
P，
则
12
13
2
PF F
S=⨯=
△
9．如图，在梯形ABCD中，已知2
AB CD
=，1
4
AE AC
=
，双曲线过,,
C D E三点，且以,A B为焦点，则双曲线的离心率为_____________.
【答案】10 2
【解析】设双曲线的方程为
22
22
1
x y
a b-=，由双曲线是以
,A B
为焦点，
(),0
A c
∴-，(),0
B c，把
1
2
x c
=代入
22
22
1
x y
a b-=，
可得
2
2
1
4
c
y
a
=-
2
2
1,1
24
c
C c
a
⎛
-
⎝
，又(),0
A c-，
2
2
3,1
24
c
AC c
a
⎛
∴=-
⎝
，
设(),
E x y，()
,
AE x c y
∴=+
，
1
4
AE AC
=
，()
2
2
13
,,1
424
c
x c y c
a
⎛
∴+=-
⎝
，
解得
5
8
x c
=-，2
2
1
44
b c
y
a
=-
2
2
51
844
b c
E c
a
⎛
--
⎝
，
代入双曲线的方程可得
22
22
25111
64164
c c
a a
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
，
即22
25115
646416
e e
-=，解得25
2
e=，所以10
2
e=.
10.斜率存在的直线l点()
0,1-且与双曲线C：221
4
y x-=
有且只有一个公共点，则直线l斜率为_____________.
【答案】32±
【解析】由题意，设直线l 的方程为1y kx =-，代入双曲线方程化简可得(
)
2
2
4230k x kx ---=，当24k =即2k =±时，(
)
2
2
4230k x kx ---=只有一解，满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；当
2k ≠±时，令()22
41240k k ∆=+-=，解得3k =±，此时方程有两个相等实数根，
满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；所以2k =±或3k =±.
11.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。

某日，甲舰在乙舰正东方向6km 处，丙舰在乙舰北偏西30 方向，相距4km 处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1/km s ，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
【解析】设A B C P ，，，分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则(3,0),(3,0),(5,23)
A B C --||||,PB PC =∴ 点P 在线段BC 的垂直平分线上，
又易知BC 3k =-BC 的中点(3)D -，∴直线PD 的方程为134)
3
y x =+①
又||||4PB PA -=，
∴点P 在以,A B 焦点的双曲线的右支上，
∴双曲线方程为22
1(2)
45
x y x -= ②
联立①②，得P 点坐标为(8,53)，
53
83
PA k ∴=
=-30 .12．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
)
是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．
【解析】（1
）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3c =
，b =，所以双曲线的方程为22136x y
-=；
（2）双曲线22
136
x y -=的右焦点为()
23,0F 所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°
的直线的方程为(3)3
y x =
-.联立22
136
3(3)3x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得256270x x +-=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则126
5x x +=-
，12275
x x =-．
所以5AB ==
.
【亮点检测】
1.已知双曲线22
1:143
x y C -
=的一条渐近线与双曲线2C 的—条渐近线垂直，则双曲线2C 的离心率为（）
A ．
2
B ．
3
C ．
3或2
D ．
74或7
3
【答案】C
【解析】双曲线
1C 的渐进线方程为
02x ±=，故双曲线2C 02
y =.设双曲线2C 的方程为()22:1034x y t t t -=≠.当0t >时，双曲线2C 的方程为22134x y t t -=，则2
34t 3t e t +=
，解得：21e 3=；当0t <时，双曲线2C 的方程为22143y x t t -=--，则2
34t 4t e t --=
-，解得：7e 2
=；故选C
2．已知点P 是双曲线C ：x 2
2
4
y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF
的面积为5，则点P 的横坐标为（）
A ．
B
C ．±
D ．【答案】A
【解析】由双曲线方程可得a ＝1，b ＝2，则c ==y ＝2x ，F 0）
，又
S 1
2=
c •|y P |＝5，则y P ＝y ＝x 2y ==，当y ＝﹣x 2
y ==，
故点P 的横坐标为，故选：A ．
3．斜率存在的直线l 点()0,1-且与双曲线C ：2
214
y
x -=有且只有一个公共点，则直线l 斜率为（
）
A ．
B ．2
±C ．2或D ．
或2
±【答案】D
【解析】由题意，设直线l 的方程为1y kx =-，代入双曲线方程化简可得(
)
2
2
4230k x kx ---=，当24k =即2k =±时，(
)
2
2
4230k x kx ---=只有一解，满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；当
2k ≠±时，令()22
41240k k ∆=+-=
，解得k =，此时方程有两个相等实数根，
满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；所以2k =±
或k =.故选：D.4．已知双曲线C
过点且渐近线为3
3
y x =±
，则下列结论错误的是（）
A ．曲线C 的方程为2
213
x y -=；
B ．左焦点到一条渐近线距离为1；
C
．直线10x -=与曲线C 有两个公共点；D
．过右焦点截双曲线所得弦长为【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为3y x =±，所以可设双曲线方程为223x y m -=
，又双曲线过点
，
所以22
313m =-=，所以双曲线方程为2213
x y -=，
A 正确；由双曲线方程知223,1a b ==
，2c ==，左焦点为1(2,0)F -
，渐近线方程为0x ±=
，左焦点到渐近线的中庸为
1d =
=，B
正确；由10x --=
得1x =+
，代入双曲线方程整理得
220y ++=
，解得y =
，所以(11x =+=-
，直线与双曲线只有一个公共点(1,-，C
错；双曲线的通径长为2223
3b a ==<，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长
为
2a =
，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为一条，为实轴，所以共有3
条弦的弦长为，D 正确．故选：C ．
5．（多选题）双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为C 的左支上任意一点，
直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q .当2||||PF PQ +的最小值为3时，1FQ 的中点在双曲线C 上，则（
）
A ．C 的方程为22
1
22
x y -=B ．C
C ．C 的渐近线方程为y x =±
D ．C 的方程为221
x y -=【答案】BCD
【解析】因为21||||2PF PF a -=，所以21122.
PF PQ PF PQ a F Q a +=++≥+因为焦点到渐近线的距离为b ，所以1
FQ 的最小值为b ，所以2 3.b a +=不妨设直线OQ 为b
y x a
=，因为1F Q OQ ⊥，所以点1(,0)F c -，2(,)a ab Q c c --，1
FQ 的中点为22
(,2a c c +-2ab c -.将其代入双曲线C 的方程，得2222
222
()144a c a a c c
+-=，即2
222222
(1)144a a c a c c +-=
，解得.c =又因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=
，渐近线方程为y x =±，故选：BCD
6.（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，动点P
与两个定点()1F
和)
2
F 连线的斜率之积等于
1
3
，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（）
A ．E
的方程为2
21(3
x y x -=≠B ．E
C ．E 的渐近线与圆()2
221x y -+=相切
D
．满足AB =l 仅有1条
【答案】AC
【解析】设点(),P x y
13=，整理得2213
x y -=，所以点P 的轨迹为曲线E
的方程为2
21(3x y x -=≠，故A
正确；又离心率3e =
=，故B 不正确；圆()2
221x y -+=的圆心()20，
到曲线E 的渐近线为3
3
y x =±的距离为
1
d =
=，
又圆()2
221x y -+=的半径为1，故C 正确；直线l 与曲线E
的方程联立()22
21(3
y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩整理得()2
2
2213+121230k x x
k k ---=，设()()1122,,A B x y x y ，，
()()()2
2
4
2
14441312312+1>0k k k k ∆=----=，且2
130k -≠，有212222
1212123
+,1313x x x k x k
k k ---==--，所以()
()
222
2
2121222
231+231+1++41+1313k k
AB k x x x x k k k
=⋅
-=⋅=--，要满足23AB =，则需(
)22
231+2
313k k
=-，解得0k =或1k =或1k =-，当0k =,此时(
)()
3,03,0A
B -，，而曲线E 上
3x ≠±，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC.
7．过双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径
的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________．【答案】12
+【解析】过双曲线()22
2210,0y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，则
22b AB a =，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：2
2b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得12e =+，12e =-舍去.
8.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为A ，且
||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．
【答案】
52
【解析】由题意可得||||1tan ||2||2AF AF AOF OA AF ∠=
==，渐近线方程为b
y x a
=，∴12b a =，2
2
2
222222544
a a c a
b e a a a ++====，故52e =．
9．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是2y x =，过其左焦点()
3,0F 作斜
率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =________.【答案】10
【解析】∵双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>
的一条渐近线方程是y =，
∴
b
a
=
b =
，∵左焦点()
F
，∴c =∴222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =，
∴双曲线方程为2
2
12
y x -=，直线l
的方程为(2=y x ，
设()11,A x y ，()22,B x y
由(22
21
2y x y x ⎧=+⎪
⎨⎪-=⎩
，
消y
可得270++=x
，∴12+=-x x 127=x x ，
∴
10====AB ．
10．设1F ，2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()
220OP OF F P +⋅= ，O
为坐标原点，且12PF =
，则该双曲线的离心率为
__________.
1
+【解析】取2PF 的中点A ，则∵()
220OP OF F P +⋅=
，
∴220OA F P ⋅= ，∴2OA F P ⊥ ，∵OA 是12PF F △的中位线，∴12PF PF ⊥，112
OA PF =.
由双曲线的定义得122PF PF a -=
，∵12PF =
，∴2PF =
1PF =
.
12PF F △中，由勾股定理得22
212
4PF PF c +
=
，∴2
2
2
4c ⎛⎫+=
，∴1e =.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22
162
y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3
,4
l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.
【解析】（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：22
3262λ
-=，即12λ=-，∴双曲线C 方程为221622y x -=-，即22
13
y x -=.
（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--.
设()()1122,,,A x y B x y ，联立()
22213y x y x ⎧=--⎪
⎨-=⎪⎩
得22470x x +-=，
满足>0∆且122x x +=-，1272
x x =-
，
由弦长公式得
12||AB x x =-=
6==，
点()12,0F -到直线:20AB x y +-
=
的距离d =
所以111
622
F AB S AB d =
⋅=⋅⋅= 12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线2
213
x y -=的离心率互为倒数，且直线20x y --=经过
椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且2
MN OM ON k k k =⋅，求OMN 面积的取值范围．【解析】（1）∵双曲线的离心率为
23
3
，∴椭圆的离心率2
c e a =
=
．又∵直线20x y --=经过椭圆的右顶点，令0y =，则2x =
∴右顶点的坐标为(2,0)，即2,1a c b ==
=，
∴椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）由题意可知直线MN 的斜率存在且不为零，设直线MN 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠，
()()1122,,,M x y N x y ．
联立22
,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222
148410k x kmx m +++-=，则()2121222
418,1414m km x x x x k k
-+=-=++，于是()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =+⋅+=+++．又2
MN OM ON k k k =⋅，
故()22
2
1212121212k x x km x x m
y y k x x x x +++=⋅=，则()()22214041m k m -=-．由20,1m m ≠≠得2
14k =
，解得12
k =±．又由()()()
222222
641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，
得202m <<，且21m ≠．
设原点O 到直线MN 的距离为d
，则d =
，
12111
||||222OMN S MN d x x m =⋅⋅=-=⋅=△，
()()211,00,1m -∈- ，()
()2
21011,m -+-∈，
故由m 的取值范围可得OMN 面积的取值范围为(0,1)．。