2023届江苏省泰州市数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（）箱．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在函数
4
x
y
x
+
=中，自变量x的取值范围是（）
A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0D．x＞0且x≠﹣1
3．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）
A．都含有一个40°的内角B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角D．都含有一个70°的内角
4．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝1.5，BC＝2，DE ＝1.8，则EF＝（）
A．4.4 B．4 C．3.4 D．2.4
5．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）
A ．③②①④
B ．②④①③
C ．③①④②
D ．②③④①
6．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图，ABC ∆中，ABD C ∠=∠，若4AB =，2AD =，则CD 边的长是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．在△ABC 中，∠A=120°
，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ） A ．5714 B ．2114 C ．35 D ．217
9．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个实数根
D ．无实数根
10．若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．6cm
11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x 2＋1x ＝0
B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1
C ．x ＝x 2
D ．ax 2＋bx ＋c ＝0 12．已知，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，以r 为半径作圆．若此圆与线段AB 只有一个交点，则r 的取值
范围为_____．
14．写出一个经过点（0，3）的二次函数：________．
15．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC=BD，则△ABC 的形状：_____
16．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．
17．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB= 2 ，则此三角形移动的距离AA′=_______．
18．如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC
'''．设点A的横坐标是a，则点A对应的点的位似图形，并把ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是A B C
A'的横坐标是_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
20．（8分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为24A （﹣，﹣），04B
（，-），11C （，﹣） （1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；
（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；
（3）若另有一点33P （﹣，﹣），连接PC ，则tan BCP ∠＝ ．
21．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，60BAC ∠=，2AC =.将Rt ABC ∆绕点A 逆时针方向旋转60°得到AB C ''∆，连接B C '，求线段B C '的长．
22．（10分）解下列方程：（1）2450x x -=+；（2）2(3)2(3)x x -=- 23．（10分）如图ABC 内接于O ，60B ∠=，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP AC =． ()1求证：PA 是
O 的切线； ()2若5PD =O 的直径．
24．（10分）若直线()0y kx k =>与双曲线2y x =的交点为()()1122,,x y x y 、，求122123x y x y -的值． 25．（12分）如图，四边形OABC 为矩形，OA =4，OC=5，正比例函数y=2x 的图像交AB 于点D ，连接DC ，动点Q 从D 点出发沿DC 向终点C 运动，动点P 从C 点出发沿CO 向终点O 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若PQ ∥OD ，求此时t 的值？
（3）是否存在时刻某个t ，使S △DOP =52
S △PCQ ？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由； （4）当t 为何值时，△DPQ 是以DQ 为腰的等腰三角形?
26．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2
CG =，与点B 的水平距离2m CF =.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2
，喷出
的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上（包括B、D两点），直接写出p 的取值范围.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】先计算出这些水果的总质量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数．
【详解】解：∵8+9+16+20+22+27=102（个）
根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，
∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，
由于102是3的倍数，
所以拿走的篮球个数也是3的倍数，
只有9和27符合要求，
假设拿走的篮球的个数是9个，则（102-9）÷3=31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，
假设拿走的篮球的个数是27个，则（102-27）÷3=25，剩下的篮球是25个，只有9+16=25，所以剩下2箱篮球，故这六箱球中，篮球有3箱，
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．2、C
【解析】试题分析：由题意，得
x+4≥0且x≠0，解得x≥﹣4且x≠0，故选C．
考点：函数自变量的取值范围．
3、C
【解析】试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰
三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确. 故选C.
4、D
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴AB DE BC EF
=,
∵AB＝1.5，BC＝2，DE＝1.8,
∴1.5 1.8
2EF
=, ∴EF=2.4
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．
5、B
【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵DF∥AC，
∴∠A=∠BDF，
∴∆ADE~∆DBF．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
6、A
【分析】由等弧的概念判断①，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③，根据垂径定理判断④.
【详解】①同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故①是假命题；
②不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故②是假命题；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③是假命题；
④圆两条直径互相平分，但不垂直，故④是假命题；
所以真命题共有0个，故选A.
【点睛】
本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.
7、C
【分析】由ABD C ∠=∠，∠A=∠A ，得∆ABD~∆ACB ，进而得AB AD AC AB =，求出AC 的值，即可求解. 【详解】∵ABD C ∠=∠，∠A=∠A ，
∴∆ABD~∆ACB ，
∴AB AD AC AB =，即：424
AC =， ∴AC=8，
∴CD=AC-AD=8-2=6，
故选C.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键.
8、B
【解析】试题解析：延长BA 过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，
∵∠CAB=120°
， ∴∠DAC=60°
， ∴∠ACD=30°
， ∵AB=4，AC=2，
∴AD=1，3BD=5，
∴287，
∴sinB=32114
27CD BC ==． 故选B ．
9、C
【分析】判断一元二次方程根的判别式的大小即可得解.
【详解】由题意可可知：△＝（﹣k ﹣3）2﹣4（2k+2）
＝k 2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
10、D
【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．11、C
【详解】A. x2＋1
x
＝0，是分式方程，故错误；
B. (x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1经过整理后为：3x-6=0，是一元一次方程，故错误；
C. x＝x2，是一元二次方程，故正确；
D. 当a=0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程，故错误，
故选C.
12、A
【解析】由题干可得y＝2x，代入计算即可求解．
【详解】∵，
∴y＝2x，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc，比较简单．二、填空题（每题4分，共24分）
13、3＜r≤1或r＝12
5
．
【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
∵AC ＝3，BC ＝1．∴AB ＝5，
如果以点C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，
当直线与圆相切时，d ＝r ，圆与斜边AB 只有一个公共点，
∴CD×
AB ＝AC×BC ， ∴CD ＝r ＝125
， 当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r ≤1，
故答案为3＜r ≤1或r ＝125
．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
14、23y x =+（答案不唯一）
【分析】设二次函数的表达式为y=x 2+x+c ，将（0，3）代入得出c=3，即可得出二次函数表达式．
【详解】解：设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c （a≠0），
∵图象为开口向上，且经过（0，3），
∴a ＞0，c=3，
∴二次函数表达式可以为：y=x 2+3（答案不唯一）．
故答案为：y=x 2+3（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，得出c=3是解题关键，属开放性题目，答案不唯一．
15、等腰三角形
【分析】△ABC 为等腰三角形，理由为：连接AD ，由AB 为圆O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD 垂直于BC ，再由BD=CD ，得到AD 垂直平分BC ，利用线段垂直平分线定理得到AB=AC ，可得证．
【详解】解：△ABC 为等腰三角形，理由为：
连接AD ，
∵AB 为圆O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD ⊥BC ，又BD=CD ，
∴AD 垂直平分BC ，
∴AB=AC ，
则△ABC 为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
16、1
【解析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．
【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，
∴d ＝R ﹣r ＝5﹣2＝1cm ，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系． 17、22- 【分析】由题意易得阴影部分与△ABC 相似，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方可求解．
【详解】解：
把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，∴ABC A B D ''∽，
它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，AB=2，
∴22A B AB '=即2A B '=，∴22AA '=-； 故答案为22-．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
18、32a --
【分析】△A′B′C 的边长是△ABC 的边长的2倍，过A 点和A′点作x 轴的垂线，垂足分别是D 和E ，因为点A 的横坐标是a ，则DC=-1-a ．可求EC=-2-2a ，则OE=CE-CO=-2-2a-1=-3-2a
【详解】解：如图，
过A 点和A′点作x 轴的垂线，垂足分别是D 和E ，
∵点A 的横坐标是a ，点C 的坐标是（-1，0）．
∴DC=-1-a ，OC=1
又∵△A′B′C 的边长是△ABC 的边长的2倍,
∴ CE=2CD=-2-2a ，
∴ OE=CE-OC=2-2a-1=-3-2a
故答案为：-3-2a
【点睛】
本题主要考查了相似的性质，相似于点的坐标相联系，把点的坐标的问题转化为线段的长的问题．
三、解答题（共78分）
19、（2）y =﹣x 2﹣x +2； （2）（0，2）或（﹣2，2117-+，﹣2117--，﹣2）；（3）2. 【解析】（2）把点A 、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值； （2）设M 点坐标为（m ，n ），根据S △AOM =2S △BOC 列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得到点P 的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y =x +2，再设N 点坐标为（x ，x +2），则D 点坐标为（x ，-x 2-x +2），
然后用含x 的代数式表示ND ，根据二次函数的性质即可求出线段ND 长度的最大值．
解：（2）A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式y =﹣x 2+mx +n ，
得4202m n n --+=⎧⎨=⎩
， 解得12m n =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +2．
（2）由（2）知，该抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +2，则易得B （2，0），设M （m ，n ）然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得： 12•AO ×|n |=2×12
×OB ×OC ， ∴12
×2×|﹣m 2﹣m +2|=2， ∴m 2+m =0或m 2+m ﹣4=0，
解得m =0或﹣2117-±， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣2，2117-+，﹣2117--，﹣2）． （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入
得到202k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的解析式为y =x +2，
设N （x ，x +2）（﹣2≤x ≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x +2），
ND =（﹣x 2﹣x +2）﹣（x +2）=﹣x 2﹣2x =﹣（x +2）2+2，
∵﹣2＜0，
∴x =﹣2时，ND 有最大值2．
∴ND 的最大值为2．
点睛：本题考查二次函数的图象和性质.根据二次函数的性质并结合已知条件及图象进行分析是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）见解析，()1,4D --；（3）1.
【分析】(1)分别作出点B 、C 关于原点对称的点，然后连接即可；
(2)根据网格特点，找到AB 的中点D ，作直线CD ，根据点D 的位置写出坐标即可；
(3)连接BP ，证明△BPC 是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.
【详解】(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；
(2)如图所示，D(-1，-4)；
(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，
BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，
BP2+BC2=PC2，
∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，
∴∠BCP=45°，
∴tan∠BCP=1，
故答案为1.
【点睛】
本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.
21、7
【分析】连BB'，根据旋转的性质及已知条件可知△ABB'是等边三角形，进而得出∠CBB'=90°，再由勾股定理计算B C 的长度即可．
【详解】解：连BB'.
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°
∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，BC=3
由旋转可知：AB=AB'，∠BAB'=60°
∴△ABB'是等边三角形
∴BB'=AB=4，∠ABB'=60°
∴∠CBB'=90°
∴B'C=2227B B BC '+=
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解题的关键．
22、（1）1251x x =-=，（2）1231x x ==，.
【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；
（2）利用因式分解法解方程得出答案；
【详解】（1）2450x x -=+
()()510x x +-=
解得：125,1x x =-=
（2）2
(3)2(3)x x -=- ()()3320x x ---=
解得：123,1x x ==
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握计算法则是解题关键.
23、（1）详见解析；（2）O 的直径为25
【解析】()1连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，再根据同圆的半径相等从而可得ACO OAC 30∠∠==，继而根据等腰三角形的性质可得出P 30∠=，继而由OAP AOC P ∠∠∠=-，可得出OA PA ⊥，从而得出结论； ()2利用含30的直角三角形的性质求出OP 2OA =，可得出OP PD OD -=，再由PD 5=
O 的直径．
【详解】()1连接OA ，如图，
B 60∠=，
AOC 2B 120∠∠∴==，
又OA OC =，
OAC OCA 30∠∠∴==，
又AP AC =，
P ACP 30∠∠∴==，
OAP AOC P 90∠∠∠∴=-=，
OA PA ∴⊥，
PA ∴是O 的切线．
()2在Rt OAP 中，P 30∠=， PO 2OA OD PD ∴==+， 又OA OD =，
PD OA ∴=，
PD 5=
2OA 2PD 25∴== O ∴的直径为5
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
24、1 【分析】根据直线与双曲线有交点可得2kx x =，变形为22x k =，根据一元二次方程根与系数的关系，得出122x x k =-，再化简122123x y x y -为12kx x -⋅，再将12x x 的值代入即可得出答案．
【详解】解：由题意得：2kx x =，∴22x k =，∴122x x k
=- ∴122123x y x y -＝122112232x kx x kx kx x ⋅-⋅=-⋅=
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一元二次方程的根与系数的关系得出12x x 的值是解题的关键．
25、（1）D （1，4）；（1）52t =
；（3）存在，t 的值为1 ；（4）当15t =或22511t =或3256t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形
【分析】（1）由题意得出点D 的纵坐标为4，求出y=1x 中y=4时x 的值即可得；
（1）由PQ ∥OD 证△CPQ ∽△COD ，得CQ CP CD CO
=，即555t t -=，解之可得； （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 与点E 、F ，对于直线y=1x ，令y=4求出x 的值，确定出D 坐标，进而求出BD ，BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE 与三角形CDF 相似，由相似得比例表示出QE ，由底PC ，高QE 表示出三角形PQC 面积，再表示出三角形ODP 面积，依据S △DOP =52
S △PCQ 列出关于t 的方程，解之可得； （4）由三角形CQE 与三角形CDF 相似，利用相似得比例表示出CE ，PE ，进而利用勾股定理表示出PQ 1，DP 1，以及DQ ，分两种情况考虑：①当DQ=DP ；②当DQ=PQ ，求出t 的值即可．
【详解】解：（1）∵OA =4
∴把4y =代入2y x =得2x =
∴D （1，4）．
（1）在矩形OABC 中，OA =4，OC=5
∴AB =OC =5，BC =OA =4
∴BD =3，DC =5
由题意知：DQ =PC =t
∴OP =CQ =5-t
∵PQ ∥OD ∴CQ CP CD CO = ∴555t t -= ∴52
t = ． （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ， DF ⊥OC 交OC 与点E 、F
则DF =OA =4
∴DF ∥QE
∴△CQE ∽△CDF ∴
QE CQ DF CD
= ∴545
QE t -= ∴455t QE -=（） ∵ S △DOP =52
S △PCQ ∴151********
t t =t （）（）--⨯⨯⨯ ∴12t =，25t =
当t =5时，点P 与点O 重合，不构成三角形，应舍去
∴t 的值为1．
（4）∵△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD
= ∴4(5)5
QE t =- 38(5)355
PE t t t =--=- ∴22
2216(5)816(3)16252555t PQ t t t -=+-=-+
2224(3)DP t =+-
2DQ t =
①当DQ PQ =时，221616255t t t =
-+， 解之得：1225511
t ,t == ②当DQ DP =时，2224(3)t t +-=
解之得：256
t = 答：当15t =或22511t =
或3256
t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形． 【点睛】 此题属于一次函数的综合问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键．
26、（1）10y x
=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；
（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；
（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+
，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.
【详解】解：（1）∵2BE m =，点B 到y 轴的距离是5，
∴点B 的坐标为()5,2.
设反比例函数的关系式为k y x
=， 则25
k =，解得10k =. ∴反比例函数的关系式为10y x
=. ∵当5y =时，2x = ，即点A 的坐标为()2,5，
∴自变量x 的取值范围为25x ≤≤；
（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为()5,2B ，点C 坐标为37,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
设二次函数的关系式为2(5)2y a x =-+，则23(75)22a -+=，解得18a =-. ∴二次函数的关系式为221159(5)28848
y x x x =--+=-
+-. 当0y =时，解得129,1x x ==（舍去），
∴点D 的坐标为()9,0，则9OD =. ∴整条滑道ABCD 的水平距离为：927m OD PA -=-=；
（3）p 的取值范围为91332128
p -≤≤-. 由题意可知，点N 坐标为（31,52⎛
⎫+ ⎪⎝⎭，即131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，为抛物线的顶点. 设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+
. 当水流落在点()5,2B 时，由213(51)22p -+=，解得932
p =-； 当水流落在点()9,0D 时，由213(91)02p -+=，解得13128
p =-. ∴p 的取值范围为91332128
p -≤≤-. 【点睛】
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
错因分析 较难题. 失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D 的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B ，D 两点的坐标进而求得p 的取值范围.。