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数学高考改革与中学数学教学
2006.10.28 数学通报
一．背景
●改革高考制度是推进中小学全面实施素质教育的重要措施，按照有助于高等学校选拔人中小学实施素质教育
和扩大高等学校办学自主权的原则，积极推进高考制度改革
.
中共中央
国务院《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》●高等学校招生考试制度改革，
应与基础教育课程改革相衔接
.要按照有助于高等学校选拔人才、
有助于中学实
施素质教育、有助于扩大高等学校办学自主权的原则，加强对学生能力和素质的考查，改革高等学校招生考试内容，探索提供多次机会、双向选择、综合评价的考试、选拔方式
.考试命题要依据课程标准，杜绝设置偏题、怪题的现象.
教育部《基础教育课程改革纲要》
●数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质融为一体，全面检测考生的数学素养
.
数学科的考试，要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学知识和方法，又考查进入高校继续学习的潜能
教育部考试中心
《普通高等学校招生全国统一考试大纲》
●能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.
教育部考试中心
《数学考试大纲（课程标准实验版）
》
二．概述
提出科学理念，制订考查原则，规范高考命题，引领中学教学三．要点
(一) 强调学科特点，关注数学实质
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，
高度的抽象性、结论的确定性和应用的广泛性是数学的特点
.
数学学科的特点是高考数学命题的基础，在命题过程中应充分考虑这些特点，发挥其内部的选拔机制，实现高考的选拔功能.
1．概念性强
数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，数学中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵.
这个特点反映到考试中就要求考生在解题时首先要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系
.
例1 已知1
,
log ,
1,4)13()
(x x x a x
a
x f a 是),(上的减函数，那么a 的取值范围是
A. （0，1）
B. )
3
1
,0( C. )31,71[ D. )
1,7
1[例2 在数列n a 中，若21,a a 是正整数，且,,
5,4,3,2
1
n a a a n
n
n
则称n a 为“绝对差数列”
.
(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；(2) 若“绝对差数列”n a 中，0,321
20
a a ，数列n
b 满足21
n n
n
n
a a a
b ，
n=1，2，3，,，分别判断当
n 时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出极限值；
(3) 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
2．充满思辨性
这个特点源于数学的抽象性、系统性和逻辑性，数学是思维型的学科.为了正确解答数学试题，要求考生具备一
定的观察、分析和推断能力
.
例3 三个同学对问题“关于
x 的不等式2x ＋25＋|3x －52
x |≥
ax 在[1，12]上恒成立，
求实数
a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”
．
丙说：“把不等式两边看成关于
x 的函数，做出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，可得
a 的取值范围是
．
例4 函数19
1
)
(n n x x f 的最小值为
A. 190
B. 171
C. 90
D. 45
3．量化突出
数量关系是数学领域研究的一个重要方面，也是数学测试不可缺少的内容，因此数学试题中定量性占有较大的比重
. 试题中的定量要求把概念、法则、性质寓于计算之中，在运算中考查考生对算理、运
算法则的理解程度、灵活运用的能力及准确严谨的科学态度
.
例5 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A. a ⊥e
B.a ⊥(a －e )
C. e ⊥(a －e )
D. (a ＋e )⊥(a －e )
例6 设函数)(1
)
(R x
x x x f ，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x
x f y
y ),(}，
则使M=N 成立的实数对(a ，b)有
A. 0个
B.1个
C. 2个
D. 无数多个
4．解法多样
一般数学试题的结果虽确定唯一，但解法却多种多样，这有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平
. 例7 已知向量a =(cos ，sin
)，b =(cos
，sin
)且a ≠±b ，那么a+b 与a-b 的夹角
的大小是_____________.
例8 设n S 是等差数列
n a 的前n 项和，若
3
163S S ，则
12
6S S A.
10
3 B.
3
1 C.8
1 D.9
1(二) 揭示内在联系，构建知识网络
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系
. 对数学知识的考查，既要全面又突出重点
. 注重学科的内在联系和知识的综合性，
从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题，使对数学知识的考查达到必要的深度.
1.
函数与导数、方程、不等式
例9)(x f 是二次函数，不等式)(x f <0的解集是(0,5),)(x f 在区间[-1,4]上最大值是12.
(1)求)(x f 的解析式；
(2)是否存在实数,m 使得方程)(x f 037x
在区间(m ，m+1)内有且只有两个不等的
实数根？若存在，求出
m 的取值范围；若不存在，说明理由
.
2. 数列与函数、不等式例10 已知函数x x
x f sin )(,数列n a 满足:,
3,2,1),(,10
1
n
a f a a n n
.证明:
(1) 1
1n
n a a ;
(2) .
6
1
31
n
n
a a 3. 三角函数与平面向量
例11 已知向量a =),1,(sin b =.
2
2),cos ,1((1)若a ⊥b ，求
；
(2) 求| a +b |的最大值.
4. 空间图形与平面图形
例12 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将△ADE 沿DE 折起, 如图所示.记二面角C DE
A 的
大小为
)0
(.
(1) 证明BF //平面ADE ;
(2)
若△ACD 为正三角形, 试判断点A
在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上, 证明你的结论,并求角
的余弦值.
5. 解析几何与函数、向量例13 已知抛物线y x
42
的焦点为F ，A.、B 是抛物线上的两动点，且
)0(FB AF .
过A.、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为
M.
(1) 证明AB FM
为定值；
(2) 设△ABM 的面积为S ，写出)(f S
的表达式，并求
S 的最小值.
6．计数与概率例14 某轻轨列车有
4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这
6位乘
客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为
.
(三) 淡化特殊技巧，强调数学思想
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、
发展和应用的过程中
.考查时，
要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧
.在中学数学与高考考查中,共识的数学思想有
:
函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想
. 数学的基本方法有：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等
.数学的逻辑方法
或思维方法有：分析与综合，归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等
.
例15在下列四个函数中，满足性质：
“对于区间（1，2）上的任意),
(,21
21x x x x 1212)
()
(x x x f x f 恒成立”的只有A. x
x f 1)( B. x
x f )
( C. x
x f 2
)
( D. 2
)(x
x f 例16 有两个相同的直三棱柱，高为a
2，底面三角形的三边长
分别为)0(5,4,3a
a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可
能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则
a 的取值范围是__________.
例17 在德国不莱梅举行的第
48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若
干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底
层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层
就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则)
3(f ；)
(n f （答案用n 表示）. 例18 设m 、n 是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面
.下列命题中正确的是
A ．，则
若n m n m ,,B ．n
m
n m ，则若//,,//C ．n
m n m
，则若
//,,D ．n
m n
m ，则若
,,
(四) 深化能力立意，倡导理性思维数学是一门思维的科学，
思维能力是数学学科能力的核心
. 数学思维能力是以数学知识为素材，
通过空间想象、
直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体. 因此，数学高考应把思维能力的考查放
在重要的位置.
例19 小圆圈表示网络的结点
,结点之间的连线表示它们有网线
相联. 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以
通过的最大信
息量.现从结点A 向结点B 传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是
.
例20 用长度分别为
2、3、4、5、6（单位：
cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断）
，
能够得到的三角形的最大面积为
A ．58㎝
2
B ．106㎝
2
C ．553㎝
2
D ．20㎝
2
例21 正方形ABCD,ABEF 的边长都是1,且平面ABCD,ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动, 若)20(a a BN CM
.
(1)求MN 的长;
(2) 当a 为何值时, MN 的长最小;
(3) 当MN 的长最小时,求面MNA 与面MNB 所成的二面角的大小.
例22 P 是椭圆
2
2a
x +y 2
=1（a ＞1）短轴一端点，Q 为椭圆上的动点，求
PQ 的最大值.
(五) 坚持数学应用，强调应用意识
加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的
. 命题时坚持
“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使难度符合考生的水平
.
例23 设)(t f y
是某港口水的深度
y （米）关于时间
t （时）的函数，其中
240
t
.
下表是该港口某一天从
0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数
)(t f y 的图像可以近似地看成函数)sin(t A k y 的图像.
下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
A ．]24,0[,6
sin
312t t y
B ．]
24,0[),6
sin(
312t t y C ．]
24,0[,12
sin 312t
t y D ．]
24,0[),2
12sin(
312
t t
y
例24 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心
45
P
O 北
东
海岸线
θ
r
位于城市O （如图）的东偏南
)10
2arccos
(方向300 km 的海面
P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北
45°方向移动．台风侵袭的范
围为圆形区域，当前半径为
60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
(六) 考查探究精神，开拓创新空间开放型试题是考查能力和素质
,特别是考查探究精神的题型
.高考试题的创新既要体现在情境上
,更要体现在思
维价值的水平上. 命题要求立意新，情境新，思维价值高
.
例25 计算机中常用十六进制是逢
16进1的计数制，采用数字
0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A
B
C
D
E F 十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D =1B ，则A ×B=
A ．6E
B ．72
C ．5F
D ．B0
例26 已知函数x
a x
y 有如下性质：如果常数
a ＞0，那么该函数在],0(a 上是
减函数，在),
[a 上是增函数．(1) 如果函数)0(2
x
x
x
y b
的值域为),6[，求b 的值；
(2) 研究函数2
2
x
c x
y （常数
c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
(3) 对函数x
a x
y
和2
2
x
a x
y （常数
a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的
函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)
(x F n
n x x
x
x
)1(
)1(2
2
（n 是正整数）在区间[
2
1，2]上的最大值和最小值（可利用你的结论）．。