理论力学答案(谢传峰版)

静力学
1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图
F Ax
F A y
F B
(a)
(a)
F A
F B
F D F Bx
F By
F Bx
F C
F B
F C
F By
1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图
1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图
1-5a
1-5b
F Ax
F A y
F D F By
F A F Bx
F B F A
F Ax F A y
F Dy
T E F Cx
F C y
N’
F B
F D
F A
N
F A
F B
F D
1-8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。

试求二力F 1和F 2之间的关系。

解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。

解法1(解析法)
假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有：
∑=0x F 045
cos 0
2=-BC F F 对C 点有：
∑=0x F 030
cos 0
1=-F F BC
解以上二个方程可得：
22163.13
6
2F F F ==
解法2(几何法)
分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。

45
030
对B 点由几何关系可知：
0245cos BC F F =
对C 点由几何关系可知：
0130cos F F BC =
解以上两式可得：2163.1F F =
2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。

试求A 和C 点处的约束
力。

解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。

曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。

AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：
=∑
M 0)45sin(100=-+⋅⋅M a F A θ
a
M F A 354
.0= 其中：3
1
tan =
θ。

对BC 杆有： a
M
F F F A B C 354.0=== 。

A ，C 两点约束力的方向如图所示。

2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC 上力偶的力偶矩M 2＝1N ·m 。

试求作用在OA 上力偶的力偶矩大小M 1和AB 所受的力AB F 。

各杆重量不计。

F
F
F B F A
θ θ F B
F C F A
F O
O
F A
F B F B
F C C
解：
机构中AB 杆为二力杆，点A,B 出的约束力方向即可确定。

由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。

对BC 杆有：
0=∑M 030sin 20=-⋅⋅M C B F B 对AB 杆有：A B F F =
对OA 杆有：
0=∑M
01=⋅-A O F M A
求解以上三式可得：m N M ⋅=31， N F F F C O AB
5===，方向如图所示。

2-6等边三角形板ABC,边长为a ，今沿其边作用大小均为F 的力321,,F F F ，方向如图a,b 所示。

试分别求其最简简化结果。

解：2-6a
坐标如图所示，各力可表示为:
j F i F F 2
3211+=，
i F F
=2，
j F i F F 2
3213+-=
先将力系向A 点简化得（红色的）： j F i F F R
3+=， k Fa M A 2
3
=
方向如左图所示。

由于A R M F
⊥，可进一步简化为一个不过A 点的力(绿色的)，主矢不变，
其作用线距A 点的距离a d 4
3
=，位置如左图所示。

2-6b
同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A 点的力（绿色的），主矢为：i F F R
2-=
其作用线距A 点的距离a d 4
3
=
，位置如右图所示。

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？
x
F R
M A
F R d y
2-13图示梁AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D 。

设重物重为P, AB 长为l ，斜绳与铅垂方向成α角。

试求固定端的约束力。

法1 解：
整个结构处于平衡状态。

选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向，力偶以逆时针为正）：
∑=0x F 0sin =+Bx F P α ∑=0y F
cos =--αP P F By
选梁AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程：
∑=0x F 0=-Bx Ax F F ∑=0y F 0=-By Ay F F 0=∑A M 0=⋅-l F M By A
求解以上五个方程，可得五个未知量
A
By Bx Ay Ax M F F F F ,,,,分别为：
αsin P F F Bx Ax -==（与图示方向相反）
)
cos 1(α+==P F F By Ay （与图示方向相同） l P M A )cos 1(α+= （逆时针方向）
法2 解：
设滑轮半径为R 。

选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：
∑=0x F
0sin =+αP F Ax
∑=0
y F
cos =--αP P F Ay
0=∑A M
02
tan
sin )(cos )(=-----α
α
αR P R l P R l P M A
求解以上三个方程，可得
A
Ay Ax M F F ,,分别为：
αsin P F Ax -= （与图示方向相反）
)
cos 1(α+=P F Ay （与图示方向相同）
l P M A )cos 1(α+= （逆时针方向）
2-18均质杆AB 重G ，长l ，放在宽度为a 的光滑槽内，杆的B 端作用着铅垂向下的力F ，如图所示。

试求杆平衡时对水平面的倾角α。

P
B F Bx F
By
P
M A F Bx F By
F Ax
F A y
M A
P
F Ax F A y P
解：
选AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
0=∑A M 0
cos cos 2cos =⋅-⋅-⋅
αααl F l
G a N D ∑=0y F 0cos =--F G N D α
求解以上两个方程即可求得两个未知量α,D N ，其中：
3
1
]
)2()(2arccos[l G F a G F ++=α
未知量不一定是力。

2-27如图所示，已知杆AB 长为l ，重为P ，A 端用一球铰固定于地面上，B 端用绳索CB 拉
住正好靠在光滑的墙上。

图中平面AOB 与Oyz 夹角为α，绳与轴Ox 的平行线夹角为θ，已知N P m c m a o 200,45,4
3
tan ,4.0,7.0===
==θα。

试求绳子
的拉力及墙的约束力。

解：
选杆AB 为研究对象，受力如下图所示。

列平衡方程：
=∑y
M
0tan sin cos tan 21
=⋅-⋅-⋅αθθαc F c F c P BC BC
N F BC 6.60= 0'
=∑x M
0sin 2
1
=⋅-⋅-⋅a F c F a P BC B θ N F B 100=
由∑=0
y F
和∑=0z F
可求出Az Ay F
F ,。

平衡方程
=∑x
M
可用来校核。

思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？
A
N A
N D
D
2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。

已知力F 作用在平面BDEH 内，并与对角线BD 成o 45角，OA=AD 。

试求各支撑杆所受的力。

解：
杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。

选板ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。

采用六矩式平衡方程：
0=∑
DE M
045cos 02=⋅F 02=F 0=∑AO M 045cos 45cos 45cos 0006=⋅-⋅-a F a F
F F 226-
= (受
拉)
0=∑BH M 045cos 45
cos 0
60
4=⋅-⋅-a F a F
F F 224=
(受压) 0=∑AD M 045sin 45cos 0
61=⋅-⋅+⋅a F a F a F
F F 22
11+=
(受
压) 0=∑CD M
045sin 0
31=⋅-⋅+⋅a F a F a F
F
F 213-= (受拉) 0=∑BC M
045cos 0453=⋅-⋅+⋅a F a F a F
05
=F
本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。

类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。

2-31如图所示，欲转动一置于V 形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩cm N M ⋅=1500。

已知棒料重N P 400=，直径cm D 25=。

试求棒料与V 形槽之间的静摩擦因数s f 。

解：
取棒料为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程:
⎪⎩⎪
⎨⎧
===∑∑∑000O
y x M F F
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅+=+-=-+02)(045sin 045cos 2110
220
1M D F F N p F N p F
补充方程：
⎩⎨
⎧==221
1N f F N f F s s
五个方程，五个未知量s f N F N F ，2211,,,，可得方程：
02222
=+⋅⋅-⋅M f D p f M S S 解得
491.4,223.021
==S S f f 。

当491.42=S f 时有：
0)1(2)
1(2
221<+-=
S S f f p N
即棒料左侧脱离V 型槽，与题意不符，故摩擦系数
223.0=S f 。

2-33均质杆AB 长40cm ，其中A 端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD 保持平衡，如图所示。

设cm AD cm BC 25,15==，平衡时α角的最小值为o
45。

试求均质杆与墙之间的静摩擦
因数s f。

解：
当0
45=α时，取杆AB 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
⎪⎩⎪
⎨⎧===∑∑∑000A
y x M F F
⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅-⋅-⋅=-+=-0sin 2cos sin sin cos 0cos 0sin ααθαθθθAB
p AC T C AC T p T F T F S N 附加方程：
N S S F f F =
四个方程，四个未知量
s S N f T F F ，,,，可求得646.0=s f 。

2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A ，B 为支点，如图所示。

若AC BC AB ==，
A 和
B 于斜面间的静摩擦因数分别为
1s f 和2s f ，
试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大
倾角α。

解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。

假设棱柱边长为a ，重为P ，列平衡方程
⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑000x B A F M M ⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-+=+⋅+⋅-=+⋅-⋅0sin 032sin 2cos 032sin 2cos αααααP F F a P a P a F a P a P a F B A NA
NB
如果棱柱不滑动，则满足补充方程⎩⎨⎧==NB
s B NA
s A F f F F f F 21时处于极限平衡状态。

解以上五个方程，可求解五个未知量
α,,,,NB B NA A F F F F ，其中：
32)
(3tan 1221+-+=
s s s s f f f f α (1)
当物体不翻倒时0≥NB
F ，则：
060≤α
(2)
即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。

3-10 AB ,AC 和DE 三杆连接如图所示。

杆DE 上有一插销H 套在杆AC 的导槽内。

试求在水平杆DE 的一端有一铅垂力F 作用时，杆AB 所受的力。

设DE BC HE DH DB AD ===,,，杆重不计。

解：
假设杆AB ，DE 长为2a 。

取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：
∑=0C M 02=⋅a F By
=By F
取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
∑=0H M 0
=⋅-⋅a F a F Dy
F
F Dy =
∑=0B M 02=⋅-⋅a F a F Dx F F Dx 2=
取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
∑=0y F
0=++By Dy Ay F F F
F
F Ay -=(与假设方向相反)
∑=0A M
02=⋅+⋅a F a F Bx Dx
F F Bx -=(与假设方向相反) ∑=0
B M
02=⋅-⋅-a F a F Dx Ax
F Cx
F Cy
F Bx
F By
F Dx
F Dy
F Hy
F Ax F Ay
F F Ax -=(与假设方向相反)
3-12AD AC AB ,,和BC 四杆连接如图所示。

在水平杆AB 上作用有铅垂向下的力F 。

接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F 的位置如何，杆AC 总是受到大小等于F 的压力。

解：
取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
∑=0C M 0=⋅-⋅x F b F D
F b x F D =
取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
∑=0A M 0=⋅-⋅x F b F B
F b x F B =
杆AB 为二力杆，假设其受压。

取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示， 列平衡方程：
∑=0E M 02)2(2)(=⋅--⋅+⋅+b
F x b F b F F AC D B
解得F F AC
=，命题得证。

注意：销钉A 和C 联接三个物体。

3-14两块相同的长方板由铰链C 彼此相连接，且由铰链A 及B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M 的力偶。

如b a >，忽略板重，试求铰链支座A 及B 的约束力。

解：
取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零， 因此有：
F C x
F C y
F D
F ABx
F ABy
F B
F Ex
F Ey
F AC
B
∑=0A M
0)(=+-M M F M B A
即B F 必过A 点，同理可得A F 必过B 点。

也就是A F 和B F 是大小相等， 方向相反且共线的一对力，如图所示。

取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
∑=0C M
045cos 45sin 00=-⋅-⋅M b F a F A A
解得：
b
a M
F A -=
2(方向如图所示)
3-20如图所示结构由横梁BC AB ,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。

试求A 处的约束力及杆1，2，3所受的力。

解：
支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。

选梁BC 为研究对象，受力如图所示。

其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。

列平衡方程：
∑=0B M 0245sin 03=-⋅-⋅M a qa a F
)2(
23qa a
M
F +=(受压)
选支撑杆销钉D 为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：
∑=0x F 045cos 0
31=-F F qa a
M F 21+=(受压)
∑=0y F
045sin 032=--F F
)2(2qa a M
F +-=(受拉)
选梁AB 和BC 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0x F
045cos 03=+F F Ax
)2(
qa a
M
F Ax +-=(与假设方向相反) ∑=0y F 0445sin 032=--++qa P F F F Ay qa P F Ay 4+=
∑=0A M 0345sin 242032=-⋅+⋅-⋅-⋅+M a F a qa a P a F M A
F Cx
F Cy F Bx
F By
F 3
F
F Ax
F Ay F 3
F 2 M A
P
F Ax F Ay N 1
M Pa qa M A -+=242(逆时针)
3-21二层三铰拱由DG BC AB ,,和EG 四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。

试求支座B A ,的约束力。

解：
选整体为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：
∑=0A M 022=⋅-⋅a F a F By F F By = ∑=0B M 022=⋅-⋅-a F a F Ay F F Ay -= ∑=0x F 0=++F F F Bx Ax (1)
由题可知杆DG 为二力杆，选GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点G ， 受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：
F F E 22=。

取CEB 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0C M
045sin 0
=⋅-⋅+⋅a F a F a F E By Bx
2F F Bx -
=
代入公式(1)可得：
2F F Ax -
=
3-24均质杆AB 可绕水平轴A 转动，并搁在半径为r 的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC 拉在销钉A 上，杆重16N ，r AC r AB 2,3==。

试求绳的拉力和杆AB 对销钉A 的作用力。

解：
取杆AB 为研究对象，设杆重为P ，受力如图所示。

列平衡方程：
F Ax F Ay
F Bx
F By F E
F G
F E
F G
F
F Cy
F Cx F E F By
F Bx
∑=0A M 060cos 23301=⋅
-⋅r
P r N )(93.61N N =
∑=0x F 060sin 01=-N F Ax
)(6N F Ax = ∑=0y F 0
60cos 01=-+P N F Ay
)
(5.12N F Ay =
取圆柱C 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑
=0x F
030cos 30cos 001=-T N )(93.6N T = 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A 处的约束力不是杆AB 对销钉的作用力。

3-27均质杆AB 和BC 完全相同，A 和B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。

设静
摩擦因数353
.0=s f 。

试求平衡时θ角的范围。

解：
取整体为研究对象，设杆长为L ，重为P ，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0A M
0cos 22sin 2=⋅
-⋅θθL P L F N
θ
tan 2P
F N =
(1)
取杆BC 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0B M
0cos cos 2
sin =⋅-⋅
+⋅θθθL F L
P L F s N P F S =
(2)
补充方程：
N s s F f F ⋅≤，
将(1)式和(2)式代入有：2
tan s
f ≤θ，即010≤θ。

3-30如图所示机构中，已知两轮半径量cm R 10=，各重N P 9=，杆AC 和BC 重量不计。

轮与地面间的静摩擦因数
2.0=s f ，滚动摩擦系数cm 1.0=δ。

今在BC 杆中点加一垂直力
F 。

试求：平衡时F 的最大值m ax F ； 当
max F
F =时，两轮在D 和E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。

解：
取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00y x F F
⎩⎨
⎧
=--+=-020P F F F F F NE ND SE SD
F Ax
F Ay F N
F s
P
P
F Bx
F By
F N
F s
P
由题可知，杆AC 为二力杆。

作用在杆BC 上的力有主动力F ，以及B 和C 处的约束力B F 和
AC F ，由三力平衡汇交，可确定约束力B F 和AC F 的方向如图所示，其中：
31
tan =
θ，杆
AC 受压。

取轮A 为研究对象，受力如图所示，设AC F 的作用线与水平面交于F 点，列平衡方程：
∑=0A M
0=-⋅D SD M R F
∑=0F M 0)(=-⋅-D ND M R P F
取轮B 为研究对象，受力如图所示，设B F 的作用线与水平面交于G 点，列平衡方程： ∑=0B M 0=⋅-R F M SE E
∑=0G M
0tan )(=⋅-+θR F P M NE E
解以上六个方程，可得：
F P F ND 41+
=，
F
P F NE 43+=， F F F SE SD 41==， FR
M M E D 41
==
若结构保持平衡，则必须同时满足：
ND D F M δ≤，NE E F M δ≤，ND s SD F f F ≤，NE s SE F f F ≤
即：
P R f P f f P f P R P R F s s s s δδ
δδδδ-=----≤4}314,14,34,4min{
，
因此平衡时F 的最大值36.0max
=F ，此时：
)(091.0N F F SE SD ==， )(91.0cm N M M E D ⋅==
3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。

解：
由图可见杆桁架结构中杆CF ，FG ，EH 为零力杆。

用剖面SS 将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
F ND
F NE
F SD F SE
M E M D
B
SD
F S F
G F H
∑=0C M 0346cos 1=⋅-⋅+⋅G H F F F θ )(58.141kN F -=(受拉) ∑=0x F 0sin 31=---H F F F θ 3.313-=F (受拉) ∑=0y F 0cos 12=-+G F F F θ 67.412=F (受压)
3-38如图所示桁架中，ABCDEG 为正八角形的一半，GB GC AE AD ,,,各杆相交但不连接。

试求杆BC 的内力。

解：假设各杆均受压。

取三角形BCG 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0x F
0=-CD F F
F F CD =(受压)
取节点C
⎪⎩⎪⎨
⎧==∑∑
00
y x F F ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--0sin 45sin 0cos 45cos 00θθCG BC CG CD BC F F F F F
其中：
222
1tan ++=
θ，解以上两个方程可得：F F BC 586.0=(受压)
3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。

解：
取整体为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0A M
0322=⋅-⋅-⋅a F a F a F B
F F B 5.2=
F EG
F CD F AB
F BC
F CD C
G C
S
F 1 F 3
用截面S-S 将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：
∑=0C M 032=⋅-⋅+⋅a F a F a F B
F F 67
2=
(受拉) ∑=0X
F
0221=--F F F
F F 6
5
1=(受拉)
4-1力铅垂地作用于杆AO 上,115,6DO CO BO AO ==。

在图示位置上杠杆水平，杆DC 与
DE 垂直。

试求物体M 所受的挤压力M F 的大小。

解：
1.选定由杆OA ，O 1C ，DE 组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。

作用在系统上的主动力为M F F ,。

2.该系统的位置可通过杆OA 与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。

选参数θ为广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA 有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下：
δθδ⋅=A O r A ，δθδ⋅=B O r B ，δθδ⋅=C O r C 1
δθδ⋅=D O r D 1，C B r r δδ=，E D r r δδ=
代入可得：E A r r δδ30=
4.由虚位移原理0)(=∑i
F W δ有：
0)30(=⋅-=⋅-⋅E M E M A r F F r F r F δδδ
对任意0≠E r δ有：F F M 30=，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-4如图所示长为l 的均质杆AB ，其A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。

忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度θ。

解：4a
1.选杆AB 为研究对象，该系统具有理想约束。

设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB 与z 轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。

选参数θ为广义坐标。

由几何关系可知：
θtan a h =
杆的质心坐标可表示为：
θθcos 2tan ⋅-=
l
a z C
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB 逆时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C 的虚位移：
δθθδθθ
δ⋅+
-
=sin 2sin 2l
a
z C
4.由虚位移原理
)(=∑i F W δ有：
δθ
δr A
δr C
δr B δr D
δr E
0)sin 2sin (2=+
-
⋅-=⋅-δθθθ
δl
a P z P C
对任意0≠δθ有：
0sin 2sin
2
=+
-
θθ
l
a
即杆AB 平衡时：
3
1
)2arcsin(l a
=θ。

解：4b
1.选杆AB 为研究对象，该系统具有理想约束。

设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB 与z 轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。

选参数θ为广义坐标。

由几何关系可知：
θsin R z A =
杆的质心坐标可表示为：
θθcos 2sin ⋅-=
l
R z C
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB 顺时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C
的虚位移：
δθθδθθθ
δ⋅+
⋅-
=sin 2cos sin 2l
R
z C
4.由虚位移原理
)(=∑i F W δ有：
0)sin 2cos sin (2=+
-⋅-=⋅-δθθθθ
δl
R P z P C
对任意0≠δθ有：
0sin 2cos sin 2=+
-
θθθl
R
即平衡时θ角满足：0sin cos 23
=-θθl R 。

4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。

打字机和搁板重P ，弹簧原长为2a
，试求系统在θ
角保持平衡时的弹簧刚度系数值。

解：
1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。

设弹簧力21,F F ，且21F F =，将弹簧力视
为主动力。

此时作用在系统上的主动力有21,F F ，以及重力P 。

2. 该系统只有一个自由度，选定θ为广义坐标。

由几何关系可知：
θsin ⋅==a z z B A
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：
δθθδδδ⋅===cos a z z z B A C
弹簧的长度
2sin
2θ
a l =，在微小虚位移δθ下： δθ
θ
δ⋅=2cos a l
4.由虚位移原理
)(=∑i F W δ有：
)2cos cos (22=⋅-⋅=⋅-⋅δθθ
θδδa F Pa l F z P C
其中
)
22sin 2(2a
a k F -=θ，代入上式整理可得： 0
2)]2cos sin 2(cos 2[=--δθθθθa
ka P
由于0≠a ，对任意0≠δθ可得平衡时弹簧刚度系数为：
)
2cos sin 2(cos 2θ
θθ
-=
a P k
4-6复合梁AD 的一端砌入墙内，B 点为活动铰链支座，C 点为铰链，作用于梁上的力
kN F kN F kN F 3,4,5321===，以及力偶矩为m kN M ⋅=2的力偶，如图所示。

试求固
定端A 处的约束力。

解：
解除A 端的约束，代之以A
Ay Ax M F F ,,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力
M F F F ,,,321的作用。

系统有三个自由度，选定A 点的位移A A y x ,和梁AC 的转角ϕ为
广义坐标。

1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0==≠δ
ϕδδA A y x ，如图所示。

由虚位移原理
0)(=∑i
F W δ有：
0=⋅A Ax x F δ
对任意0≠A x δ可得：
0=Ax F
2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0=≠=δ
ϕδδA A y x ，如下图所示。

由虚位移原理0)(=∑i
F W δ有：
332211=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-δθδδδδM y F y F y F y F A Ay
(1)
由几何关系可得各点的虚位移如下：
A C y y y y δδδδ===31 A C y y y δδδ3
1
312==
A C y y δδδθ3
131
==
代入(1)式：
0)31
31(321=⋅+-+
+-A Ay y M F F F F δ
对任意0≠A x δ可得：)
(4kN F Ay =，方向如图所示。

3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0≠==δ
ϕδδA A y x ，如上图所示。

由虚位移原理
0)(=∑i
F W δ有：
0332211=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-δθδδδδϕM y F y F y F M A
(2)
有几何关系可得各点的虚位移如下：
δϕδ21=y δϕδδ33==C y y δϕδθ=
δϕδθδ==2y
代入(2)式：
0)32(321=⋅+-++-δ
ϕM F F F M A 对任意0≠δϕ可得：
)(7m kN M A ⋅=，逆时针方向。

4-7图示结构上的载荷如下：m kN q ⋅=2；力kN F 41=；力kN F 122=，其方向与水平成o
60角；以及力偶，其力偶矩为m kN M ⋅=18。

试求支座处的约束力。

解：
将均布载荷简化为作用在CD 中点的集中载荷3F ，大小为q 6。

1.求支座B 处的约束力
解除B 点处的约束，代之以力B F ，并将其视为主动力，系统还受到主动力M
F F F ,,,3
21的作用，如图所示。

在不破坏约束的前提下，杆AC 不动，梁CDB 只能绕C 点转动。

系统有一个自由度，选转角θ为广义坐标。

给定虚位移δθ，由虚位移原理0)(=∑i
F W δ有：
150cos 45cos 330220=⋅-⋅+⋅+⋅y F y F M r F B B δδδθδ
(1) 各点的虚位移如下：
δθδ⋅=26B r
δθδ⋅=92y δθδ⋅=33y
代入(1)式整理可得：
0)323
96(32=⋅--
+δθF F M F B
对任意0≠δθ可得：)(6.18kN F B =，方向如图所示。

2.求固定端A 处的约束力 解除A 端的约束，代之以
A
Ay Ax M F F ,,，并将其视为主动力，系统还受到主动力
M F F F ,,,321的作用。

系统有三个自由度，选定A 点的位移A A y x ,和梁AC 的转角θ为广
义坐标。

2a.求
Ax F
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0==≠δθδδA A y x ，此时整个结构平移，如上图所示。

由虚位移原理
0)(=∑i
F W δ有：
0120cos 0
2211=⋅+⋅+⋅x F x F x F A Ax δδδ
(2)
各点的虚位移如下： A x x x δδδ==21
代入(2)式整理可得：
0)5.0(21=⋅-+A Ax x F F F δ
对任意0≠A x δ可得：)(2kN F Ax
=，方向如图所示。

2b.求
Ay
F
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0=≠=δ
θδδA A y x ，此时梁AC 向上平移，梁CDB 绕D 点转动，如上图所示。

由虚位移原理
0)(=∑i
F W δ有：
30cos 02233=⋅-⋅+⋅-⋅δθδδδM y F y F y F A Ay (3)
各点的虚位移如下：
A C y y y y δδδδ21
2132==
=
A y y δδδθ61
312==
代入(3)式整理可得：
0)614321(23=⋅-+-
A Ay y M F F F δ
对任意0≠A y δ可得：
)
(8.3kN F Ay =，方向如图所示。

2c.求A M
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0≠==δθδδA A y x ，此时梁AC 绕A 点转动，梁CDB 平移，如上图所示。

由虚位移原理
0)(=∑i
F W δ有：
0120cos 0
2211=⋅+⋅+⋅-x F x F M A δδδθ
(4)
各点的虚位移如下： δθδ31=x
δθδδ62==C x x
代入(4)式整理可得：
0)33(21=⋅-+-δθF F M A
对任意0≠δθ可得：)(24m kN M A ⋅-=，顺时针方向。

4-8设桁架有水平力1F 及铅垂力2F 作用其上，且KE DK BE CE DC AD =====，
o 30=α。

试求杆1，2和3所受的力。

解：
假设各杆受拉，杆长均为a 。

1．求杆1受力
去掉杆1，代之以力1P
，系统有一个自由度，选AK 与水平方向的夹角θ为广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK 形状不变，绕A 点转动，
因此有K A r D A r K D ⊥⊥δδ,，且：
δθδδθδ⋅=
⋅=a r a r K D 3,
滑动支座B 处只允许水平方向的位移，而杆BK 上K 点虚位移沿铅垂方向，故B 点不动。

三角形BEK 绕B 点旋转E B r E ⊥δ，且：
δθδδ⋅==a r r D E
对刚性杆CD 和杆CE ，由于E C r D C r E D ⊥⊥δδ,，因此0=C r δ。

由虚位移原理
0)(=∑i F W δ有：
060cos 60cos )(0
1011=⋅+⋅+E D r P r P F δδ
代入各点的虚位移整理可得：
0)2(11=⋅+δ
θa P F
对任意0≠δθ可得：21
1
F P -=（受压）。

2．求杆2受力
去掉杆2，代之以力2P ，系统有一个自由度，选BK 与水平方向的夹角θ为广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK 绕A 点转动，因此有K A r K ⊥δ，
且：
δθδ⋅=
a r K 3
同理可知B 点不动，三角形BEK 绕B 点旋转E B r E ⊥δ，且：
δθδ⋅=a r E δθδδ⋅==a r r D E
杆AD 绕A 点转动D A r D ⊥δ，由刚性杆DE 上点E 的虚位移可确定D 点位移方向如图所示，
且：
δθδδ⋅==a r r E D
同理可知
0=C r δ。

由虚位移原理0)(=∑i F W δ有：
0120cos 150cos 120cos 0
20201=⋅+⋅+⋅K D D r P r P r F δδδ
代入各点的虚位移整理可得：
0)32(21=⋅+δθa P F
对任意0≠δθ可得：631
2F P -
=（受压）。

3．求杆3受力
去掉杆3，代之以力3P
，系统有一个自由度，选AK 与水平方向的夹角θ为广义坐标，如上
图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK 绕A 点转动，
K A r D A r K D ⊥⊥δδ,，且：
δθδδθδ⋅=⋅=a r a r K D 3,
同理可知B 点不动，E B r E ⊥δ，且：
δθδδ⋅==a r r D E
0=C r δ
由虚位移原理0)(=∑
i F W δ有：
0120cos 150cos 60cos 0
30301=⋅+⋅+⋅K E D r P r P r F δδδ
代入各点的虚位移整理可得：
0)32(31=⋅-δθa P F
对任意0≠δθ可得：
631
3F P =
（受拉）。

4-12杆长2b ，重量不计，其一端作用铅垂常力F ，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。

弹簧刚度系数为k ，当0=y 时为原长。

不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置y ，讨论此平衡位置的稳定性。

解：
F 大小和方向不变，常力也是有势力。

取杆和弹簧构成的系统为研究对象。

该系统为保守系统，有一个自由度，选θ为广义坐标，如图所示。

取0=θ为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：
F
V V V +=弹
)cos 1(2)cos 1(21
)cos 22()cos (21
222θθθθ---=---=Fb kb b b F b b k
由平衡条件0
=θd dV
可得：
0sin ]2)cos 1([=--θθF kb b
有：0sin =θ和02)cos 1(=--F kb θ 即：0=θ和kb
F
21cos -=θ 也就是：0=y 和)(2F kb F k
y -=
两个平衡位置。

为判断平衡的稳定性，取势能V 的二阶导数：
θ
θθ2cos cos )2(22
2kb b F kb d V
d --=
当0=θ时，
θ
022
2<-=Fb d V
d θ
，即0=y 时是不稳定平衡。

当kb
F
21cos -=θ时，
)(4
2
2F kb F k d V d -=
θ
由上式可知：
1． 当kb F 21cos -=θ且F kb >时，02
2>θd V d 即)(2
F kb F k y -=是稳定平衡位置； 2． 当kb
F 21cos -=θ且F kb ≤时，022≤θd V d 即)(2
F kb F k y -=是不稳定平衡位置。

4-15半径为r 的半圆住在另一半径为R 的半圆柱上保持平衡，如图所示。

试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。

解：
取半径为r 的半圆柱为研究对象，圆心为C 。

半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个
半圆心连线与y 轴夹角θ为广义坐标。

作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中π
34r
h =。

由于半圆柱作纯滚动，有：
R r θβ= （1）
取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：
)]cos(34cos )[(θβπθ+-
+==r
r R mg mgz V C
代入（1）式有：
)]cos(34cos )[(θπθr r
R r r R mg V +-
+=
]sin )sin(34)[(θθπθ-++=r r
R r R mg d dV
由平衡条件
0=θ
d dV
可得0=θ为平衡位置。

势能V 的二阶导数：
]
cos )cos(3)(4)[
(2
2θθπθ-+++=r r
R r r R r R mg d V d
由上式可得当r R )14
3
(->π，0=θ是稳定的。

努力学习吧！
动力学
1－3
解：
运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。

将运动方程对时间求导并将030=θ代入得
34cos cos 22lk lk l y v =
===θ
θθ
938cos sin 22
3
2lk lk y a =-==θ
θ
1－6
证明：质点做曲线运动，
所以质点的加速度为：n t a a a +=,
设质点的速度为v ，由图可知:
a
a
v v y
n cos ==θ，所以: y v v a a n =
将c v y =，ρ
2
n v
a =
代入上式可得 ρ
c v a 3
=
证毕 1－7
证明：因为n
2
a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n
所以：v
a ⨯=3
v ρ
证毕
x
o
y
1－10
解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：
t v L s 0-=，并且 222x l s +=
将上面两式对时间求导得：
0v s -= ，x x s s 22=
由此解得：x
sv x
-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：
2
002v v s x x x
=-=+ (b)
将(a)式代入(b)式可得：32
20220x
l
v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）
取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
g F F a m m N ++=
将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
N F F y
m F mg x
m +-=-=θθsin cos
其中：
2
22
2sin ,cos l x l l x x +=
+=
θθ0,3220=-=y
x l v x
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
2
3220)(1)(x l
x
l v g m F ++=
1－11
o
v
o
v
F N F
g m
y
θ
解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：
θcos A B v v = （a ） 因为
x R x 2
2cos -=
θ （b ）
将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：
22R x x
R
v A -=ω （c ）
由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得：
222222)(x R R x x
ω=-
将上式两边对时间求导可得：
x x R x x R x x
x 2232222)(2ω=--
将上式消去x 2后，可求得：
22242)(R x x
R x
--=ω (d)
由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2
2242)(R x x
R a A -=ω
取套筒A 为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：
g F F a m m N ++=
将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：
mg F F y
m F x
m N -+=-=θθsin cos
其中：
x R x x
R
2
2cos ,sin -=
=θθ, 0,)(2
2242=--=y R x x R x ω
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
25
2
5)(,
)
(22522
2
242R x x R m mg F R x x R m F N --
=-=
ωω
1－13
解：动点：套筒A ；
动系：OC 杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理
r e a v v v +=
有：e a cos v v =ϕ，因为AB 杆平动，所以v v =a ，
由此可得：e cos v v =ϕ，OC 杆的角速度为OA
v e =ω，ϕcos l
OA =，所以 l v ϕω2cos =
当0
45=ϕ时，OC 杆上C 点速度的大小为： l
av
l av a v C 245cos 02=
==ω
1－15
解：动点：销子M
动系1：圆盘
动系2：OA 杆
定系：机座；
a
v
e
v
r v
e1
v e2
v
r2v
r1v
运动分析：
绝对运动：曲线运动
相对运动：直线运动
牵连运动：定轴转动
根据速度合成定理有
r1e1a1v v v +=， r2e2a2v v v +=
由于动点M 的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2v v =，由上两式可得：
r1e1v v +r2e2v v += (a)
将（a ）式在向在x 轴投影,可得：
0r20e20e130cos 30sin 30sin v v v +-=-
由此解得：
s
m b OM v v v /4.0)93(30cos 30sin )(30tan )(30tan 020
120
e1e20
r2-=-=-=-=ωω
32.02e2==ωOM v
s
m v v v v M /529.022r 2
e2a2=+==
1－17
解：动点：圆盘上的C 点；
动系：O 1A 杆；
定系：机座；
运动分析：绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动（平行于O 1A 杆）；
牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理有
r e a v v v += （a ）
a v
e
v
r v
将（a ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影以及在O 1C 轴上投影得：
0e 0a 30cos 30cos v v =，0r 0a 30sin 30sin v v =
ω
R v v ==a e ，
ωR v v ==r a ，
ωω
ω5.02O 1e 1===
R R C v
根据加速度合成定理有
C a a a a a +++=r n
e t e a （b ）
将（b ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影得
C a a a a -+=-0
n e
t
e
a 30sin 30cos 30sin
其中：2a ωR a =，2
1n e 2ωR a =，r 12v a C
ω=
由上式解得：2
t e 112
32R ωα==a
1－19
解：由于ABM 弯杆平移，所以有
M A M A ,a a v v ==
取：动点：滑块M ；
动系：OC 摇杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理 r e a v v v +=
可求得：
a
a
t e a
n e a
r a
C
a
a
v
e
v
r v
m/s 2222e a =====ωb v v v v A M ，m /s 2e r ===ωb v v ，
rad/s 32
45.12211===
A O v A ω
根据加速度合成定理
C a a a a a a +++=+r n e
t e n a t a
将上式沿C a 方向投影可得：
C a a a a +-=-t e
n a
t
a
45sin 45cos
由于221n
a m/s 3
16
=
=l a ω，2t e m/s 1==b a α，2r m/s 82==v a C ω，根据上式可得：
2
t
a
231527316s
/m .a =+=， 2t a 1rad/s 1610.l a ==α
1-20
解：取小环M 为动点，OAB 杆为动系 运动分析 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。

由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，
其中：
ω
ω
ωr r OM v 260cos 0e ==
=
根据速度合成定理：
r e a v v v +=
可以得到：
ωωθr r v v 3260tan 2tan 0e a === ，ωr v v 460
cos 0
e
r ==
加速度如图所示，其中：
2
2
2
e 260cos ωω
ωr r OM a ===，
n
a a r a
t a a
C a
n
e a
t
e a
B
O
B
2r 82ωωr v a C ==
根据加速度合成定理：
C a a a a ++=r e a
将上式在'x 轴上投影，可得：C a a a +-=θθcos cos e a ,由此求得：2a 14ωr a =
1－21
解：求汽车B 相对汽车A 的速度是指以汽车A 为参考系观察汽车B 的速度。

取：动点：汽车B ；
动系：汽车A （Ox ’y ’）；
定系：路面。

运动分析
绝对运动：圆周运动；
相对运动：圆周运动； 牵连运动：定轴转动（汽车A 绕O 做定轴转动）
求相对速度，根据速度合成定理
r e a v v v +=
将上式沿绝对速度方向投影可得：
r e a v v v +-=
因此 a e r v v v += 其中：A
A
B B R v R v v v =
==ωω,,e a ， 由此可得：m/s 9
380r =+=
B A A B v v R R v
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，
相对速度的大小为常值，因此有：
O x’ y’ ω e
v
a v r v
ω
y’
x’
n r a
O
2
2
r n r
r m/s 78.1===B
R v a a
1-23 质量为m 销钉M 由水平槽带动，使其在半径为r 的固定圆槽内运动。

设水平槽以匀速v 向上运动，不计摩擦。

求图示瞬时，圆槽作用在销钉M 上的约束力。

解：销钉M 上作用有水平槽的约束力F 和圆槽的约束力O F （如图所示）。

由于销钉M 的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。

取销钉为动点，水平槽为动系。

由运动分析可知销钉的速度图如图所示。

e a v v +=由此可求出：θ
θcos cos e a v
v v =
=。

再根据加速度合成定理有：r e a a a a +=
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0e =a ，并且上式可写成：
r n
a t a a a a =+
因为 θ
2
22a n
a
cos r v r v a ==，所以根据上式可求出: θθθ32n
a t a cos sin tan r v a a ==。

根据矢量形式的质点运动微分方程有：
g F F a a m m O ++=+)(n
a t a
将该式分别在水平轴上投影： θθθcos )cos sin (n a t
a O F a a m =+
由此求出：
θ
42
cos r mv F O =
1-24 图示所示吊车下挂一重物M ，绳索长为l ，初始时吊车与重物静止。

若吊车从静止以均加速度a 沿水平滑道平移。

试求重物M 相对吊车的速度与摆角θ的关系式。

v v。