2021-2022年高三上学期第二次考试 数学(文)

2021-2022年高三上学期第二次考试 数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U Z A x x x x Z B ==--<∈=-，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.设复数满足，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.某公司过去五个月的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：
工作人员不慎将表格中的第一个数据丢失．已知对呈线性相关关系，且回归方程为，则下列说法：①销售额与广告费支出正相关；②丢失的数据（表中处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加万元；④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为70万元．其中，正确说法有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4. 若幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是的事件是
A.至少选一个海滨城市
B.恰好选一个海滨城市
C. 两个都选海滨城市
D.至多选一个海滨城市
6.已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ）
A ．2
B ．2或6
C ．6
D ．
7.公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（ ）
A.18
B.24
C.60
D.90
8．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A ．
B 312x x x x +++
C ．
D ． 9.一个几何体的三视图如图（1）．它的各个顶点都在球的球面上，球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
（图1） （图2）
10. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图（2）是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（ ）
参考数据：，，.
A.12
B.24
C.48
D.96
11. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B ．2 C ． D ．
12. 定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二．填空题：共4小题，每小题5分.
13.设向量，，且，则锐角为________．
14.在区域内随机撒一把黄豆,落在区域()4,|0x y N x y y x x ⎧+<⎫⎧⎪⎪⎪=>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭
的概率是________.
15.在中，已知，是边上的一点，，，，则 .
16.已知函数的定义域是，若存在常数，对任意，有，则称为函数。

给出下列函数：①；②；③ ；④；⑤是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有1212()()2f x f x x x -≤- ，其中是函数的序号为________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，其前项和为.
(1）求数列的通项公式及；
(2）若等比数列的前项和为，且，，求.
18.（本小题满分12分）
为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按右图方式分成五组：
第一组[13,14)；第二组[14,15)；...；第五组[17,18].按上述
分组得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个
组的频率之比为3:8:19，且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在
[16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数
（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩
的差的绝对值大于1秒的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，为正三角形，,,,
⊥⊥=⊥平面．
AB AD AC CD PA AC PA
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
20.（本小题满分12分）
已知函数2
=-+-，.
()ln(21)
f x x x ax a x
（1）设，求的单调区间；
（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．
请考生在22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线（为参数），曲线（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．
（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，求的长．
23.（本小题满分10分）不等式选讲
已知，为不等式的解集.
（1）求；
（2）求证：当时，
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