黑龙江省大兴安岭地区2019-2020学年高二下学期期末2份数学统考试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
2
1,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．4
2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
3．已知函数()x
f x e =，()1
ln 22
x g x =+的图象分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为( ) A ．2 B ．2ln2+ C ．2
1+
2
e D ．32ln
2
e - 4．若函数
与函数
的图象有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =
A ．{1,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
6．设函数
'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使
得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,
)
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)⋃+∞
7．函数2cos 3y x x =+0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是（ ）
A ．
32
π
B ．
6
π
C ．23
D ．138．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设(),,0a b m m > 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若
012
220
2020202020222a C C C C =+⋅+⋅+
+⋅，()mod8a b ≡，则b 的值可以是
A ．2015
B ．2016
C ．2017
D ．2018
9．设i 为虚数单位，复数2a i
i
+-为纯虚数，则a =（ ）． A ．2
B ．-2
C ．1
2
-
D ．
12
10．已知函数ln ,0
(),0x x f x ax x >⎧=⎨⎩
，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，1）
C ．（－∞，0）
D ．（0，
1
e
） 11．设函数()()()
2
2
2
ln 2f x x a x a
=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()04
5
f x ≤
成立，则实数a 的值为（）
A ．
15B ．25C ．1
2
D ．1 12．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题：本题共4小题
13．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为____. 14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球表面积为________
15．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222
233=333388=44
41515
=按照以上规律，若55
5n n
=具有“穿墙术”，则n =______. 16．已知F 为抛物线C ：264y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FA FB >，则
FA
FB
=_______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln (,)f x x bx a a b =-+∈R . （1）讨论函数()f x 在(1,)+∞上的单调性； （2）当1b =时，若()1212
110f
f x x x x ⎛⎫⎛⎫
==≠
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时，求证：122x x >-. 18．已知函数()2
()x
f x e ax a R =-∈．
（1）若()
()1
f x
g x x =
+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3
()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655
μ<<
． 19．（6分）如图，已知三点A ，P ，Q 在抛物线2:8C x y =上，点A ，Q 关于y 轴对称（点A 在第一象限）， 直线PQ 过抛物线的焦点F .
（Ⅰ）若APQ ∆的重心为8,33G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线AP 的方程；
（Ⅱ）设OAP ∆，OFQ ∆的面积分别为2212,S S ，求22
12S S +的最小值．
20．（6分）函数()3
2
2
2312f x x ax a x a =+-+
（1）若函数()f x 在[]2,2x ∈-内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()2f x ≤在[]0,1x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（6分）为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性或50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图.
（1）完成下列 22⨯列联表：
（2）能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”. 附：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b a d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++ 22．（8分）选修4-5：不等式选讲 已知函数11
()22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
根据已知，将选项代入验证即可. 【详解】
由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B
【点睛】
本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题. 2．B 【解析】
分析：利用二项展开式的通项公式求出()6
1x +的第1r +项，令x 的指数为2求出展开式中2x 的系数．然后求解即可． 详解：()61x +6
展开式中通项16r r
r T C x +=，
令2r
可得，222
3615T C x x == ，
∴()6
1x +展开式中x 22x 项的系数为1， 在()6
1x x +的展开式中，含3x 项的系数为：1． 故选：B ．
点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键． 3．B 【解析】
由题意，()12,,2,m A lnm m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其中，122m e lnm -
>，且0m >，所以122m AB e lnm -=-.
令1
2
y 2,0x e
lnx x -
=->，则12
1
y 2x e
x
--'=，y '为增函数. 令y 0'=，得12
x =. 所以102x <<
.时y 0'<，1
2
x >时y 0'>, 所以1
2y 2,0x e lnx x -=->在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,2
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
所以1
2
x =时, 22min AB ln =+. 故选B.
点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：
（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式； （2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理. 4．B 【解析】 【分析】
通过参数分离得到，换元法设，画出函数和的图像，根据图像有三个
交点得到范围.
【详解】
若函数与函数的图象有三个交点
有三个解.
设
当时单调递减，当单调递增.
画出图像：
是奇函数且是单调递增
有两个解，设为
有一个解，图象有三个交点
必须是两个解
故答案为B
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，参数分离换元法是解题的关键. 5．C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 6．A 【解析】 【分析】 【详解】
构造新函数()()
f x
g x x
=
,()()()2
'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()
f x
g x x
=
单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()
0f x g x x
=
>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造
()()f x g x x
=
.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x
g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x
f x
g x e
=
，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x
g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()
2x
f x
g x e
=
，等便于给出导数时联想构造函数. 7．B
【解析】 【分析】
函数()2cos 0,
2f x y x x x π⎡⎤
==+-∈⎢⎥⎣⎦
，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性． 【详解】
函数()2cos 0,
2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦
， ()'12sin f x x =-，
令()'0f x =，解得6
x π
=．
∴函数()f x 在0,6π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6
x π
=
时函数()f x 取得极大值即最大值．
2cos 66
66f ππ
ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．
故选B ． 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决. 8．C 【解析】
分析：首先求得a 的表达式，然后列表猜想205的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：()
()20
20
2021385a =+==-，结合二项式定理可得：
()()()()0
1
19
20
020********
02020202085858585a C C C C =⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-，
计算()*
5n
n N ∈的数值如下表所示：
据此可猜想205最后三位数字为625，则：205除以8的余数为1， 所给选项中，只有2017除以8的余数为1， 则b 的值可以是2017. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．D 【解析】 【分析】 整理
2a i i +-得：()()21225
a a i
a i i -+++=-，由复数2a i i +-为纯虚数列方程即可得解． 【详解】
因为()()()()()()22122225
a i i a a i
a i i i i ++-+++==--+ 又它是纯虚数，所以2105a -=，解得：1
2
a = 故选D 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】
由方程的解与函数图象的交点关系得：方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于()y f x =的图象与()()y g x f x ==--的图象有5个交点，作图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点
即可。

利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y
x e
=，即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，得解． 【详解】
设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，
方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y lnx =切于点0(P x ，0)y ，由1()f x x
'=， 则过原点的直线与y lnx =相切，000
1
()y lnx x x x -=-， 又此直线过点(0,0)，所以01lnx =， 所以0x e =，即f '（e ）1e
=
， 即过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=， 即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。

11．A 【解析】
试题分析：函数f （x ）可以看作是动点M （x ，lnx 2
）与动点N （A ，2A ）之间距离的平方， 动点M 在函数y=2lnx 的图象上，N 在直线y=2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y=2lnx 得，y'=
2
x
=2，解得x=1，
∴曲线上点M （1，0）到直线y=2x 的距离最小，最小距离
5=， 则f （x ）≥45
， 根据题意，要使f （0x ）≤
45，则f （0x ）=45，此时N 恰好为垂足， 由2021112MN a a k a a -===---，解得15
a = 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
12．B
【解析】
【分析】 求得圆心角的弧度数，用l r α
=
求得扇形半径. 【详解】 依题意150为5π6，所以5656
l r ππα===．故选B. 【点睛】
本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题
13．15
【解析】
分析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为5，基本事件的区域长度为1，利用几何概率公式可求．
详解：“长为5的木棍”对应区间[05]， ，“两段长都大于2”为事件 A ， 则满足 A ，
的区间为[2]3， ， 根据几何概率的计算公式可得，321505P
A -==-（）． 故答案为：15
． 点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解． 14．50π
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体,可知该几何体为四棱锥,底面ABCD 为矩形,4,
5,3AB BC PA ===.求出PC 长
度,可得四棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式即可求得.
【详解】
由三视图还原几何体如图,该几何体为四棱锥,底面ABCD 为矩形, 4,5,3AB BC PA ===,该几何体外接球的半径为2221152345222
PC =++=. ∴该“阳马”外接球表面积为252450S ππ
⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故答案为: 50π.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体,考查几何体外接球的表面积,难度较易.
15．24
【解析】
【分析】
观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n 的值.
【详解】
解：观察所给式子的规律可得：
222223213==-，23333338318==-244444154115==-， 故可得：2555
55124=-故答案为：24.
【点睛】
本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.
16．322+【解析】
【分析】
直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径公式得出,FA FB ，求比值即得。

【详解】
联立21664y x y x
=-⎧⎨=⎩，可得2296160x x -+=，
解得962
x ±
==48±
FA FB ==
故答案为：3+
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦半径公式。

解题方法是直接法，即解方程组得交点坐标。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）当0b 时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当1b 时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递减；当01b <<时，函数()f x 在11,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）对()f x 求导后讨论b 的范围来判断单调性； （2）构造函数111()ln g x f a x x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，借助a 得到212121ln x x x x x x -=，设21
1x t x =>，使得21212ln 22ln t t t x x t
⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=，设21()ln (1)2t h t t t t -=->，根据该函数性质即可证明 【详解】
（1）由题意可知，1()f x b x =
-'，(1,)x ∈+∞， （i ）当0b 时，1()0f x b x
'=->恒成立， 所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；
（ii ）当0b >时，令1()0f x b x '=
-=，得1x b =， ①当101b
<≤，即1b ≥时，()0f x '<在(1,)+∞上恒成立， 所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减；
②当11b
>，即01b <<时， 在11,b ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 在11,b ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增；
在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述，当0b 时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；
当1b 时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递减；
当01b <<时，函数()f x 在11,b ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （2）证明：令111()ln g x f a x x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
， 由题意可得()()120g x g x ==，不妨设120x x <<. 所以121211ln ln a x x x x =+=+，于是212121
ln x x x x x x -=. 令211x t x =>，11ln t t tx -=，则11ln t x t t
-=， 21211(1)ln t x x x t t t -+=+=，21212ln 22ln t t t x x t
⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=. 令21()ln (1)2t h t t t t
-=->， 则2
2(1)()02t h t t
-'=>，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为1t >，所以()(1)0h t h >=，且ln 0t >，
所以1220x x +->，即122x x >-.
【点睛】
本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想
18．（1）111,
,22e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）若()()
1f x g x x =+有三个极值点123,,x x x ，只需()20x
h x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根；（2）()31f x ax ≥-+恒成立即()231x e a x x -≥-.变量分离，转化为函数最值问题.
（1）()2
1
x e ax g x x -=+，定义域为()(),11,-∞-⋃-+∞， ()()()(
)()
22211x x e ax x e ax g x x --'-+=+ ()()221x x e ax a x --=+，∵()00g '=， 只需()20x h x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根，()x h x e a '=-，
①当0a ≤时，()0h x '>，∴()h x 单增，()0h x =最多只有一个实根，不满足；
②当0a >时，()0x
h x e a =-='⇒ 0ln x e a x a =⇒=， 当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单增；
∴()0h x 是()h x 的极小值，
而x →+∞时，()2x h x e ax a =--→+∞，x →-∞时，()2x
h x e ax a =--→+∞， 要()0h x =有两根，只需()00h x <，由()00020x
h x e ax a =--< ln ln 20a e a a a ⇒--< ln 0ln 10a a a a ⇒--<⇒--< 1ln 1a a e ⇒>-⇒>
，又由()1001202h a a ≠⇒-≠⇒≠， 反之，若1a e >且12a ≠时，则()110h a e
-=-<，()0h x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-. 在定义域中，连同0x =，()0g x '=共有三个相异实根，且在三根的左右，()g x '正负异号，它们是()g x 的三个极值点.
综上，a 的取值范围为111,
,22e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）()321x f x ax e ax ≥-+⇔- ()32311x ax e a x x ≥-+⇔-≥-对[]0,1x ∀∈恒成立，
①当0x =或1时，a R ∈均满足；
②()
231x e a x x -≥-对()0,1x ∀∈恒成立231x e a x x -⇔≤-对()0,1x ∀∈恒成立， 记()231x e u x x x -=-，()0,1x ∈，max 23min
1x e a x x μ⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，()0,1x ∈， 欲证23min 261265555
x e x x μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭， 而()23min min 1x e u x x x ⎛⎫-=< ⎪-⎝⎭
)118111248u ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，
只需证明
)2613811520<⇐<
331089 2.722520400
e ⇐<⇐<=，显然成立.
下证：2323min
1155x x e e x x x x ⎛⎫-->⇐> ⎪--⎝⎭，()0,1x ∈，23551x e x x >-+，()0,1x ∈， 先证：2311126
x e x x x >+++，()0,1x ∈， 3211162
x e x x x ⇐--->，()0,1x ∈. 令()321162
x v x e x x x =---，()0,1x ∈， ()2112
x v x e x x '=---，()1x v x e x '=--'，()1x v x e =''-'，∴()v x ''在()0,1上单增， ∴()()00v x v ''''>=，∴()v x '在()0,1上单增，∴()()00v x v ''>=，∴()v x 在()0,1上单增， ∴()()01v x v >=，即证.
要证：23551x e x x >-+，()0,1x ∈. 只需证232311155126x x x x x +++≥-+，()323190,1062
x x x x ∈⇐-+≥ 32312760x x x ⇐-+≥ ()
2312760x x x ⇐-+≥ 2312760x x ⇐-+≥，()0,1x ∈ 而2274316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.
点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a 满足的表达式，再求这个表达式的范围．
19． (Ⅰ) :5480AP x y --=
；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设A,P,Q 三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q 在抛物线上，可解得A,P 两点坐标，进而求得直线
AP ；(Ⅱ)设直线PQ 和直线AP ，进而用横坐标表示出2212S S +，讨论求得最小值。

【详解】
(Ⅰ)设()11,A x y ,()22,P x y ,11,Q x y -（）则2122,33x y y G +⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以212833233
x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以()128,82A P （，），，所以:5480AP x y --= (Ⅱ)设2PQ y mx =+：
由228y mx x y
=+⎧⎨=⎩得28160,x mx --=所以()1216,x x -=-即1216x x = 又设:AP y kx n =+
由28y kx n x y
=+⎧⎨=⎩得2880x kx n --=，所以12816,x x n =-=所以2n =- 所以2,AP y kx =-：即AP 过定点0-2E （，） 所以1212112
OAP OEP OEA S S S S OE x x x x ∆∆∆==-=-=- 21112
OFQ S S OF x x ∆==⋅= 所以(
)2222221221121223223232S S x x x x x x +=-+=-+≥-= 当且仅当7
94412
2,2x x ==时等号成立 所以2212S S +
的最小值为
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
20．（1）10a -≤< 或01a <≤．（2）(]1,0,23
⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）先对函数()f x 求导、然后因式分解，根据函数在()f x 在[]2,2x ∈-内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.（2）先对函数()f x 求导并因式分解.对a 分成0,0,0a a a =><三种情况，利用()f x 的单调性，结合不等式()2f x ≤在[]0,1x ∈上恒成立列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知，()()()22661262f x x ax a x a x a '=+-=-+． 有022222a a a ≠⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩
得：10a -≤< 或01a <≤．
（2）()()()22
661262f x x ax a x a x a '=+-=-+．
①当0a =时，()3
202[]f x x =∈，，符合题意． ②当0a >时，令()0f x '>，得x a >或2x a <-，
此时函数()f x 的增区间为(),2-∞-a (),a +∞，减区间为()2,a a -．
此时只需：()()202112422f a f a a ⎧=≤⎪⎨
=-++≤⎪⎩ 解得：123a ≤≤或0a ≤，故123
a ≤≤． ③当0a <时，令()0f x '>，得2x a >-或x a <，
此时函数()f x 的增区间为(),a -∞，()2,-+∞a ，减区间为(),2a a -，
此时只需：()()202112422f a f a a ⎧=≤⎪⎨=-++≤⎪⎩
解得：0a ≤，故0a <， 由上知实数a 的取值范围为(]1,0,23⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
21． (1)答案见解析；(2) 不能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.
【解析】
分析：（1）根据等高条形图计算可得女生不喜欢打羽毛球的人数为20，男性不喜欢打羽毛球的人数为30.据此完成列联表即可.
（2）结合(1)中的列联表计算可得2100 2.70699K =
<，则不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.
详解：（1）根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为500.420⨯=，
男性不喜欢打羽毛球的人数为500.630⨯=.
填写22⨯列联表如下：
（2）根据列联表中数据，计算
()
221003025202550505545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 100 2.70699
=<， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
22．（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12
x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．
试题解析：（I ）12,,2
11(){1,,22
12,.2
x x f x x x x -≤-=-<<≥ 当12
x ≤-
时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122
x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而
22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此1.a b ab +<+
【考点】绝对值不等式，不等式的证明. 【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，136a a -=，则12n a a a ⋅⋯的最大值为( ) A ．32
B ．128
C ．64
D ．256
2．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =
A ．(1,0)-
B ．(0,2)
C ．(2,0)-
D ．(2,2)-
3．已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（ ） A ．
22
B ．4
C ．±22
D ．±4
4．一个正方体的展开如图所示，点B ，C ，D 为原正方体的顶点，点A 为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为（ ）
A ．
510
B ．
105
C ．
5 D ．
1010
5．在区域0101
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，内任意取一点(,)P x y ，则22
1x y +<的概率是（ ）
A ．0
B ．
142
π
- C ．
4
π D ．14
π
-
6．函数()21cos 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．
D ．
7．已知集合1
2log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭
，{}1,0,1,2,3B =-则A B =（） A ．{}1,0,1-
B ．
1,0,1,2
C ．{}1
D ．{}0,1
8．己知函数()f x =若3(1og )2
f a =,则a =( ) A ．
13
B ．
14 C ．
12
D ．2
9．函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．20,
π⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．20,
π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(0,2]
D ．(0,2)
10．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x =
B ．2
y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．sin y x =
11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）
A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．233
231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．2
3332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．23
323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．用反证法证明命题“若2a >，则方程210x ax ++=至少有一个实根”时，应假设（ ） A ．方程210x ax ++=没有实根 B ．方程210x ax ++=至多有一个实根 C ．方程210x ax ++=至多有两个实根 D ．方程210x ax ++=恰好有两个实根 二、填空题：本题共4小题
13．若复数22(2)(32)z a a a a i =--+-+为纯虚数，则实数a =______.
14．已知复数z =1+mi （i 是虚数单位，m ∈R ），且z ⋅（3+i ）为纯虚数（z 是z 的共轭复数）则z ＝_____ 15．某校高一年级有180名学生，其中女生80人，按男女比例用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数是__________．
16．设i 为虚数单位，复数2i
z i
+=
，则z 的模||z =______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知平面直角坐标系
，直线过点
，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，圆的极坐标方程为
.
（1）求直线的参数方程和圆的标准方程； （2）设直线与圆交于、两点，若
，求直线的倾斜角的值.
18．已知曲线1C 的参数方程为cos 1
sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14π
ρθ-=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM θα=：(0)2
π
α<<与曲线1C 交点为O 、M 两点，射线4
：ON =+
π
θα与曲线2C 交于
点N ，求1
OM ON
+
的最大值． 19．（6分）已知曲线C 的极坐标方程是2
4cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为122312x t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换
','2,
x x y y =⎧⎨
=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y 132x y +的取值范围. 20．（6分）已知椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦
点弦的弦长为21F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为82（1）求椭圆M 的方程；
（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交
于C ，D 两点.求11AB CD
+的值. 21．（6分）已知函数2
1()ln (1),()2
f x x ax a x a R =+
-+∈．
（1）当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；
（2）若关于x 的方程2
12
f x ax =（
）有两个不同实根12x x ，，求实数a 的取值范围，并证明212•x x e ＞． 22．（8分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和圆222
:O x y b +=，已知椭圆C 的离心率为32
，直
线22260x y --=与圆O 相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点(0,4)M 的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同两点，点()00,N x y 在线段PQ 上.设PM MQ PN
NQ
λ=
=，
试求λ的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得()72
121
()
2
n n n a a a -⋅⋯=，令
()()1
72
f n n n =
-，根据复合函数的单调性即可求出． 【详解】
由1212a a +=，136a a -=，可得11122116a a q a a q +=⎧-=⎨⎩
，解得18a =，1
2q =，
1411
8()()22
n n n a --∴=⨯=，
()()
73210142
1211
()()
22
n n n n a a a ----+++⋯-∴⋅⋯==，
令()()()
2211174977()22228
f n n n n n n =
-=-=--， 当3n =或4n =时，()f n 有最小值，即()6min f n =-，
12n a a a ∴⋅⋯的最大值为61
()642
-=，
故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题 2．A 【解析】
{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选
A. 3．C 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标，推出M 的坐标，然后求解，得到答案． 【详解】
由题意，抛物线2
:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，
若M 为FN 的中点，如图所示，
可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为22±， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．D 【解析】
分析：先还原正方体，将对应的字母标出，CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角，在三角形ABE 中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 详解：
还原正方体，如图所示，设1AD =， 则5,1,22,3AB AF BE AE ====，
CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角，
∴余弦值为10
cos 2522
ABE ∠=
=⨯⨯ D. 点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值. 5．C 【解析】 【分析】
求得区域01
01
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积，x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形
OABC 的内部的面积4
π
，由几何概型的计算公式，可得答案． 【详解】
根据题意，设O （0，0）、A （1，0）、B （1，1）、C （0，1），
01
01x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
表示的区域为以正方形OABC 的内部及边界，其面积为1； x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC 的内部的面积为
2
14
4
ππ
⨯=
，
由几何概型的计算公式，可得点P （x ，y ）满足x 2+y 2＜1的概率是414
π
π=
；
故选C ．
【点睛】
本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算． 6．B 【解析】 【分析】
利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D. 【详解】
()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫
=-= ⎪++⎝⎭
，()1e cos()1e x x
f x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e
(1)cos101e
f -=
<+，排除D ，选B. 故选：B. 【点睛】
本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 7．C 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性对集合A 化简得x|0＜x ＜1}，然后求出A ∩B 即可． 【详解】
12log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭＝1122log log 2x x ⎧⎫
>⎨⎬⎩
⎭{x|0＜x ＜2}，
∴A ∩B ＝{1}， 故选：C 【点睛】
考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．
8．D 【解析】
分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.
详解：根据题意有3(log )f a ===
， 解得2a =，故选D.
点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌. 9．A 【解析】 【分析】
函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数
()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()
g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x
x g x e
e --=-只有唯一一个交点，则
()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．
【详解】
解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于： 函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x
x g x e
e --=-只有唯一一个交点，
()10ϕ=，()10g =，
∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，
又
11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，
11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数， 又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，
∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：
∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，
()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，
2a π∴--，解得2
a
π
，
又
0a >，
∴实数a 的范围为20,π⎛⎤
⎥⎝⎦
．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 10．D 【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可. 详解：四个选项中的函数都是偶函数，
在[]0,1上,,A B C 三个函数在[]0,1上都递减，不符合题意， 在[]0,1上递增的只有D ，而故选D ．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力. 11．C 【解析】 【分析】
由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝
⎭．。