长沙市八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，2,30,105AC ABC BAC =
∠=︒∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，15ACD =︒∠，把ACD △沿直线AC 翻折，得到ACD '△，CD '与BA 延长线交
于点E ，则D E '的长为（ ）
A ．333+
B ．333-
C ．336+
D ．
336
- 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24
B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40
C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5
D ．a ＝8，b ＝17，c ＝15 3．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A ．10πcm
B ．20πcm
C ．102cm
D ．52cm 4．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点
E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．17cm
D ．94
cm 5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，
10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）
A ．4.2尺
B ．4.3尺
C ．4.4尺
D ．4.5尺
6．如图所示，在Rt ABC 中，90,3,5C AC BC ∠=︒==，分别以点A 、B 为圆心，大于
12
AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则线段CD 的长是（ ）
A ．85
B ．165
C ．175
D ．245
7．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -＝0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）
A ．5
B ．5或7
C ．12
D ．12或7+7 10．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．
A ．21cm
B ．22cm
C ．42cm
D ．23cm 11．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）
A ．152
B ．152
C ．3
D ．125
二、填空题
13．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π
，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）
14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．
15．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．
16．在Rt ABC 中，90,8cm,4cm C BC AC ∠=︒==，在射线BC 上一动点D ，从点B
出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_____________秒．
17．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．
18．如图，ABC 中，17AB =，10BC =，21CA =，AM 平分BAC ∠，点D ．E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________．
19．已知一个三角形三边的长分别为5,10,15，则这个三角形的面积是
_________________．
20．已知：直角三角形两直角边a ，b 满足a+b=17，ab=60，则此直角三角形斜边上的高为__________；
三、解答题
21．在锐角ABC ∆中，∠BAC =45°．
（1）如图1，BD ⊥AC 于D ，在BD 上取点E ，使DE =CD ，连结AE ，F 为AC 的中点，连结
EF 并延长至点M ，使FM =EF ，连结CM 、BM ．
①求证：△AEF ≌△CMF ；
②若BC =2，求线段BM 的长．
（2）如图2，P 是△ABC 内的一点，22AB = （即28AB =），AC =3，求2PA +PB +PC 的最小值，并求此时∠APC 的度数．
22．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为150m 和200m ，又AB ＝250m ，拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域．
（1）学校C 会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
23．如图，ABC 中，90C ∠=︒，16AC =，8BC =．
（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交AC 于点D ，求CD 的长．
24．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
25．在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在射线BC 上（不与点BC 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE ．
（1）如图1，点D 在BC 边上．
①求证：2AB BE BD =+；
②若22BE BD ==，求CD 的长．
（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB BD BE 、、之间的数量关系（直接写出结论）．
26．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上的动点（BD ＞CD ），作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ． （1）依题意补全图形，直接写出∠AFE 的度数；
（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先根据三角形的内角和定理60CDE ∠=︒，再根据翻折的性质可得
,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒，从而可得
90,30CED D AE '∠=︒∠=︒，设D E x '=，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得(3,323AE x CE x ==+，最后在Rt ACE △中，利用勾股定理即可得．
【详解】
3150,105,ABC B D A AC C ∠=︒∠=∠=︒︒，
30018BCD ABC BAC ACD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，
60ABC BC CDE D ∴∠=∠+∠=︒，
由翻折的性质得：,60,15AD AD D CDE ACD ACD '''=∠=∠=︒∠=∠=︒， 30DCE ACD ACD '∴∠=∠+∠=︒，
90,9030CED D AE D ''∴∠=︒∠=︒-∠=︒，
设D E x '=，则2,AD AD x AE '===，
(
2DE AD AE x ∴=+=，
在Rt CDE △中，((222,3CD DE x CE x ==+==+，
在Rt ACE △中，222AE CE AC +=，即
)(2223x ⎡⎤++=⎣⎦，
解得x =或0x =<（不符题意，舍去），
即36
D E '= 故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】
解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，
∵AB =5cm ，BC =
12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =， 22AC BC +，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，
∵AC=12cm ，
∴CE=AE-AC=3cm ，
设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，
在Rt △CDE 中，根据勾股定理得
CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，
解得x=4，
即CD 长为4cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
5．A
解析：A
【分析】
设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．
【详解】
设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，
ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，
∴2224(10)x x +=-，
解得：x=4.2，
故选：A ．
【点睛】
此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
连接AD ，由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ，推出AD DB =，设AD DB x ==，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，连接AD ，
由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ，
∴AD DB =，
设AD DB x ==，5CD x =-，
在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，
∴222AD AC CD =+，
∴2223(5)x x =+-， 解得：751x =， ∴178555
CD BC DB =-=-
=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理,因AD为公共边可以得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2再把三边关系代入解答即可．【详解】
解：设BC＝n，则有AB＝n＋1，AC＝n﹣1，
AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴ AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2
∴（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝（BD﹣CD）n，
∴BD﹣CD＝4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD﹣CD的长是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8−x，得出（8−x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．
【详解】
∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴22
22
＋，
AB BC+=
6810
∵将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
∴AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE−AB＝10−6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8−x，
∵BD2＋BE2＝DE2，
∴（8−x）2＋42＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5．
故选B．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
∵|m﹣
0，
∴|m﹣3|＝00，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
解得，m＝3，n＝4，
当45，
则△ABC的周长＝3+4+5＝12，
当4，
则△ABC的周长＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
10．C
解析：C
【分析】
结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】
结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长
∵直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm
∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm
∴小正方形的面积=2
⨯
22=4cm
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．
11．D
解析：D
【分析】 13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．
【详解】
解：∵
2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．
【详解】
在AB 上取一点G ，使AG ＝AF
∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4
∴AB=5， ∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，
∴△AEF ≌△AEG （SAS ）
∴FE ＝GE ，
∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，
故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，
此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，
此时，AC BC AB CH =，
∴CH=·AC AB BC
=125， 即：CE+EF 的最小值为
125，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题
13．【分析】要求一只蚂蚁从A点出发从侧面爬行到C点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求在Rt△ABC中AB=
解析：2+4
a
【分析】
要求一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行到C点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求．
【详解】
解：圆柱的展开图如下，
在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求，
在Rt△ABC中，AB=π•a
π
=a，BC=2，则：2222
=+=4
AC AB BC a+，所以2+4
a
2+4
a
2+4
a．
【点睛】
本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．14．6【分析】过D作DE⊥AC于E根据等腰直角三角形的性质推出
DE=AE=CE=AC求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D作DE⊥AC于E∵△ACD是等腰直角三角
【分析】
过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214
S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．
【详解】
如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，
∵△ACD 是等腰直角三角形，
∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，
∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，
∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，
∴DE=AE=CE=
12AC ， ∴21111224
S AC AC AC =⋅=， 同理：2214
S BC =， ∴221211944S S AC BC +=
+=， ∴22AC BC +=36，
在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，
∴S=2AB =36，
∴正方形S 的边长等于6，
故答案为：6．
．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P 根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论
【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ∵AB=AC=5∴BP=BC=3在Rt △ABP 中由勾股定理得AP=4∵点P 是线段BC 上一动点∴AP
【分析】
过A作AP⊥BC于P，根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论．
【详解】
解：过A作AP⊥BC于P，
∵AB=AC=5，
∴BP=1
2
BC=3，
在Rt△ABP中，由勾股定理得，AP=4
∵点P是线段BC上一动点，
∴AP≥4
所以，AP的最小值为4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．
16．10和16【分析】求出当△ADB是等腰三角形时BD的长用其除以点D运动的速度即可注意分情况讨论【详解】解：分三种情况如下图1所示当AD=DB时∵BC=8∴CD=8-BD又AC=6在RT△ACD中由勾
解析：25
4
、10和16
【分析】
求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．
【详解】
解：分三种情况
如下图1所示，当AD=DB时．
∵BC=8，∴CD=8-BD
又AC=6
在RT△ACD中，由勾股定理得222
6(8)
BD BD
+-=
解得
25
4 BD=
除以点D运动的速度得所用时间t为25
4
秒；
如下图2所示，当AB=DB时．
由勾股定理得DB=AB=2222
6810
AC BC
+=+=，除以点D运动的速度得t为10秒；
如下图3所示，当AD=AB时．
∵AC⊥BC
∴CD=BC=8
∴BD=16
除以点D运动的速度得t为16秒．
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为25
4
秒、10秒或
16秒．
故答案为：25
4
、10或16．
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．17．【分析】连接AE设CE＝x由线段垂直平分线的性质可知AE＝BE＝BC＋CE 在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长度【详解】解：如图连接AE设∵
点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析：76
【分析】
连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度．
【详解】
解：如图，连接AE ，
设CE x =， ∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，
∴3AE BE BC CE x ==+=+，
∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+，
即()2
2234x x +=+， 解得76
x =
． 故答案为：76
． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
18．8【分析】过B 点作于点与交于点根据三角形两边之和小于第三边可知的最小值是线段的长根据勾股定理列出方程组即可求解【详解】过B 点作于点与交于点作点E 关于AM 的对称点G 连结GD 则ED=GD 当点BDG 三点在 解析：8
【分析】
过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，根据三角形两边之和小于第三边，可知 BD DE +的最小值是线段BF 的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．
【详解】
过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，
作点E 关于AM 的对称点G ，连结GD ，
则ED=GD ，
当点B 、D 、G 三点在一直线上时较短，BG BF >，
当线段BG 与BF 重合时最短，BD+BE=BD+DG=BF ，
设AF=x ，CF-21-x ，根据题意列方程组：
()222222172110
BF x BF x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得：158x BF =⎧⎨=⎩，158x BF =⎧⎨=-⎩
（负值舍去）． 故BD ＋DE 的值是8，
故答案为8，
【点睛】
本题考查轴对称的应用，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握轴对称的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，会利用轴对称找出最短路径，再利用勾股定理构造方程是解题关键．
19．【分析】根据勾股定理的逆定理判断这是一个直角三角形再结合面积公式求解【详解】解：∵∴∴该三角形为直角三角形∴其面积为故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则熟练掌握勾股定理 522
【分析】
根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．
【详解】
解：∵2215))015+=，2(15)15=， ∴222(5)()10()15+=，
∴该三角形为直角三角形，
∴其面积为
15510222= 522
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
20．【分析】设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c 再利用三角形的面积求解即可【详解】解：设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 则因为此直角三角形的面积=所以故答案 解析：
6013
【分析】 设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c ，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】
解：设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，
则
13c =====，
因为此直角三角形的面积=
1122ab ch =， 所以6013
ab h c ==． 故答案为：
6013
． 【点睛】 本题考查了勾股定理和完全平方公式等知识，正确变形、掌握解答的方法是关键．
三、解答题
21．（1）
①见解析；②
2，此时∠APC =90°
【分析】
（1）①根据SAS 证明△AEF ≌△CMF 即可；
②证明△BCM 是等腰直角三角形，由勾股定理求解即可；
（2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP
、CE ，推荐FP =，∠EAC =135°，作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于H ，求得EH =AH =2，CH =5，在Rt △EHC
中，可得CE C 、P 、F
、E PA +PB +PC 的最小值为CE ，故可得结论．
【详解】
（1）①∵F 为AC 的中点，
∴AF =CF
在△AEF 和△CMF 中
EF FM AFE CFM AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△CMF
②由（1）得△AEF ≌△CMF ，
∴AE =CM ，∠DAE =∠FCM ，
∵BD ⊥AC ，∠BAC =45°，
∴AD =BD
在△AED 和△BCD 中
90DE DC ADE BDC AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△AED ≌△BCD ，．
∴AE =BC ，∠DAE =∠DBC ，
∴BC =CM ，∠FCM =∠DBC ，
∵∠BCF +∠DBC =90°，
∴∠BCF +∠FCM =90°，
∴△BCM 是等腰直角三角形， 由勾股定理得，224
48(22)BM BC CM =+=+=或 （2）将△APB 绕点A 逆时针旋转 90°得到△AFE ，连接FP 、CE ，
易知△AFP 是等腰直角三角形，
∴2FP AP ，∠EAC =135°，
作 EH ⊥CA 交 CA 的延长线于 H ．
在Rt △ EAH 中，228AE AB == ，
∵∠H =90° ， ∠EAH =45°， ∵222EH AH AE +==8，
∴EH =AH =2，
∴CH =5，
在 Rt △EHC 中，2242529CE EH CH =+=+∵2+PC =FP +EF +PC ≥CE ，
∴点C 、P 、F 、E 2PA +PB +PC 的最小值为CE ，
此时，∠AFP+∠AFE=90°，∠BPC +∠APF=180°，
∵∠AFP=∠APF=45°，
∴∠AFE=∠BPC=135°，
∴∠APB=∠BPC=135°
∴∠APC =360°-135°-135°=90°
∴2PA +PB +PC 的最小值为29，此时∠APC =90°
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质，勾股定理，判断出两对三角形全等是解本题的关键．
22．（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出学校C 是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】
解：（1）学校C 会受噪声影响．
理由：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，
∵AC ＝150m ，BC ＝200m ，AB ＝250m ，
∴AC 2+BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．
∴AC ×BC ＝CD ×AB ，
∴150×200＝250×CD ，
∴CD ＝150200250
⨯＝120（m ）， ∵拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域，
∴学校C 会受噪声影响．
（2）当EC ＝130m ，FC ＝130m 时，正好影响C 学校，
∵ED 2222130120EC CD -=-（m ），
∴EF ＝50×2=100（m ），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
23．（1）见解析；（2）6
CD=
【分析】
（1）分别以A，B为圆心，大于1
2
AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设CD=x，则AD=BD=16-x，在Rt△BCD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】
（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
设CD=x，则AD=BD=16-x，
在Rt△BCD中，∵BD2=BC2+CD2，
∴()222
168
x x
-=+，
解得6
x=，
∴CD=6．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质,勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（1）7米；（2）不是
【分析】
（1）利用勾股定理直接求出边长即可；
（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．
【详解】
（1）如图，
由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ， ∴2225247b =-=（米）；
（2）不是，
如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，
由勾股定理，22252015b =-=（米），
1578-=（米），
即梯子的底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 25．（1）①见解析；②2；（2）2BD BE AB =+
【分析】
（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，证明ADF EDB ≌△△得AF
EB =， 再在等
腰直角DFB △求出BF 即可得到结论；
②首先求出BC 的长，再根据CD=BC-BD 即可得到结论；
（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，证明△ADC DEG ≅∆和△EGB 为等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，如图，
则90FDB ∠=︒，
由题意可知AD DE =，90ADE ∠=︒．
∵∠ADF+∠EDF=90°，∠EDB+∠EDF=90°
∴ADF EDB ∠=∠，
∵90C ∠=︒，AC BC =，
∴45ABC DFB ∠=∠=︒，
∴DB DF =．
在ADF 和EDB △中
AD ED ADF EDB DF DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADF EDB ≌△△．
∴AF EB =．
在等腰直角DFB △中，2BF BD =，
∴2AB AF FB BE BD =+=+．
②∵22BE BD ==
∴BD=1，
∴BF=2
由①得222AB BE BD =+=+，
在等腰直角ABC 中222AB BC =
=+，
∴21BC =+， ∴2112CD BC BD =-=+-=．
（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，如图所示，
∵90ADE ∠=︒
∴∠90EDG DEG +∠=︒，90EDG ADC ∠+∠=︒
∴∠DEG ADC =∠
∵,90AD DE ACD DGE =∠=∠=︒
∴△ADC DEG ≅∆
∴DG AC BC ==，EG DC =
∴DC BG =
∴BG GE =
∴△EGB 为等腰直角三角形， ∴222BD DG BG AC BE AB BE =+=+
=+ ∴2BD AB BE =+
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
26．（1）作图见解析；45°；（2）CF+BF=2AF ，证明见解析
【分析】
（1）根据轴对称即可补全图形，延长FB 至点M 使MB=CF ，通过ABM ACF △≌△，进而证得△MAF 是等腰直角三角形，问题即可解决；
（2）由（1）知△MAF 是等腰直角三角形及CF=BF ，再根据勾股定理问题即可解决；
【详解】
（1）补全图形，如图所示：
∠AFE=45°
理由如下：
延长FB 至点M 使MB=CF ，
∵点B 、E 关于AF 对称，
∴AB=AE ，∠ABF=∠AEC ，∠AFB=∠AFE
∵AB=AC ，
∴AC=AE ，
∴∠ACE=∠AEC‘
∴180180ACE ABF ︒-∠=︒-∠ ∠ACE=∠ABF ，
即：ABM ACF ∠=∠，
()ABM ACF SAS ∴△≌△，
,CAF AM AF MAB ∴=∠=∠，
，，
∴∠∠∠∠︒
AMF=AFM MAF=BAC=90
∴∠︒，
AFM=45
∴∠︒
AFE=45
（2）2AF
∠︒
理由如下：由（1）知AM=AF，CF=MB，MAF=90
2222
∴
AF+AM=MF=2AF
∴2AF
+
MF=MB BF
即2AF
∴2，
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，构造全等三角形是解决本题的关键．。