[精选]假设检验基本概述

sn
利用服从t分布的统计量去检验总体均值的方 法称为t检验法。
2计学
1、t检验
❖ 〔2〕具体做法：根据题意提出假设；构造检
验统计量t并根据样本信息计算其具体值；对 于给定的检验水平α ，由t分布表查得临界值； 将所计算的t值与临界值比较，作出检验结论。
❖
双侧检验时，假设︱t︱＞ H0，反之则接受H1。
❖ 解：根据题意检验目的是观察产品的平均每袋重量
是否与标准重量一致。建立假设：H0 : 1000, H1 : 1000
❖ 〔2〕假设的提出根据检验问题具体而 定，并采取“不轻易拒绝原假设〞原 则，即把没有充分理由不能轻易否认 的命题作为原假设，把没有足够把握 不能轻易肯定的命题作为备择假设。
9计学
1、提出原假设和备择假设
❖ 〔3〕假设有三种形式： H 0 : 0 , H1 : 0 (双侧检验),如例6 1 ：H 0 : 4厘米, H1 : 4厘米0
反之，接受原假设H。0 : 0 ( 0 ), H1 : 0 假设采用右侧检验， 则反临之界，值接为受Z 原α/2假，设当。Z ＞ Z α/2 时，拒绝原假设；
9计学
2、例子
❖ 根据过去大量资料，某厂生产的产品的使用寿 命服从正态分布N〔1020，1002〕。现从最近生 产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均 寿命为1080小时。试在0.05的显著水平下判断 这批产品的使用寿命是否有显著提高？
0计学
两类错误概率的关系图
p(x)
βα
0
0
z
1
1计学
3、两类错误概率的关系
❖ 〔2〕α和 β的选择：取决于犯两类错误的代 价。假设拒真代价大，则取较小的α而容忍较 大的β ；反之，假设取伪代价更大，则取较 大的α以求较小的β 。通常先确定α ，即原假 设为真时拒绝它的概率事先得到控制。再次 可见，原假设受到保护不轻易否认。
7计学
三、假设检验的步骤
v 一般有以下四步： v 1、提出原假设和备择假设； v 2、选择适当统计量，并确定其分布形式 v 3、选择显著性水平，确定临界值； v 4、作出结论。
8计学
1、提出原假设和备择假设
❖ 〔1〕原假设又称零假设，是正待检验 的设假后设可记供为选择H0的；假备设择，假记设为是H拒1绝。原二假者 相互对立，检验结果取其一。
❖ 解：根据题意，提出假设：H 0 : 1020, H1 : 1020
检验统计量 ❖
z x 0 1080 1020 2.4
n
100 16
❖ 由α=0.05，查表得临界值：zα= 1.645，由于
Z=产2.品4 ＞的使zα=用1寿.64命5,显所著以提应高拒.绝H0而接受H1,这批
t
α/2时，拒绝原假设
❖
左侧检验时，假设当t H0，反之则接受H1。
＜－
t
α时，拒绝原假设
❖
右侧检验时，假设当t 反之则接受H1。
＞
t
α时，拒绝原假设H0，
3计学
2、例子
❖ 某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重 量服从正态分布，每包标准重量为1000克。某日随 机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准 差为24克。试问在0.05的检验水平上，能否认为这 天自动包装机工作正常？
❖ 假设检验中，原假设可能为真或不真，
我们的判断〔决策〕有接受和拒绝两 种。因此，检验有四种可能情况，如 下表：
H0真实 H0不真实
接受H0 判断正确 取伪错误(β)
拒绝H0 弃真错误(α) 判断正确
9计学
3、两类错误概率的关系
❖ 〔1〕二者互为消长： ❖ 由于样本的随机性，完全防止两类错误是不可能
-Zα/2
Zα/2
〔a〕双侧检验
〔c〕右侧检验
α
-Zα 0
α
0 Zα
5计学
4、作出结论
❖ 根据样本资料计算出统计量的具体值，并用 以与临界值比较，作出接受或拒绝原假设的 结论。如果检验统计量的值落在拒绝域内， 说明样本所描述的情况与原假设有显著性差 异，应拒绝原假设；反之接受原假设。
6计学
1、概念
❖ 〔1〕第一类错误：当原假设为真，但由于样 本的随机性使样本统计量落入拒绝区域，这 时所做判断是拒绝原假设，也称拒真错误。 事实上，小概率只是发生概率小，并不是不 发生。
❖ 犯第一类错误的概率也称拒真概率，即显著 性水平 ，P{拒绝H0/ H0为真}=
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1、概念
❖ 〔2〕第二类错误：当原假设为不真，但由于样本的 随机性使样本统计量落入接受区域，判断是接受原 假设，也称取伪错误。
❖学习以下问题： ❖1、Z检验法； ❖2、例子。
6计学
1、Z检验法
❖ 〔1〕设总体 X ~ N (, 2 ), 2为已知，(x1, x2 ,, xn )
为总体的一个样本，样本均值为
__
x
。
现在对总体均值
进行检验。H
0
:
0
(或
0
,
）
0
根据抽样分布定理5.1，样本均值
__
x
~
N (,
2
/
n)
在H0成立时，检__ 验统计量Z及其分布为
3计学
4、检验成效
❖ 〔2〕影响检验成效的因素有显著性水平α 、 样本容量、原假设与备选假设间的差异程度。
❖ 给定 α而使 β 减少，就必须增大样本容量n。
因为增大n能降低抽样平均误差，样本统计量
分布更集中，分布曲线更尖峭，使曲线尾部
面积α和 β都减小；原假设与备选假设间的差
异程度越大， β越小，结合α 和β关系图得知，
2计学
4、检验成效
❖ 〔1〕检验效果好与坏，与犯两类错误的概率 都有关，首先α不能太大；另外α 得到控制的 条件下，犯取伪错误的概率要尽可能地小， 即不取伪的概率1-β应尽可能增大。1-β越大， 意味着当原假设不真实时，检验判断出原假 设不真实的概率越大，检验的判别能力就越 好；反之亦然,可见1-β是反映统计检验判别 能力大小的重要标志，我们称1-β为检验成效 或检验力。
❖ 犯第二类错误的概率称为取伪概率，用 β 表示，即 P{接受H0/ H0不真}= β
❖ 可见接受原假设是因为没有发生小概率事件，没有 充足的理由拒绝它。所以，接受原假设并非肯定原 假设正确，含义是“不否认原假设〞或“保存原假 设〞，即原假设可能为真，需要进一步检验证实。
8计学
2、假设检验的四种情况
H0
:
0, H1
:
0 (或H 0
:Leabharlann 0,H1:
）
0
（左侧检验）
H0
:
0,
H1
:
0
(或H 0
:
0
,
H1
:
）
0
（右侧检验）
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1、提出原假设和备择假设
❖ 〔4〕左侧检验和右侧检验统称单侧检验。 采用那种检验根据实际问题决定，假设 只需判断有无显著差异或要求同时注意 总体参数偏大或偏小，则采用双侧检验； 假设关心总体参数是否比某个值偏大或 偏小，则采用单侧检验。
(x)
Z 2
❖即
x
Z
2
(
x
)，样本均总体均值之差超出
误差范围，发生概率为 ，它又很小，小概
率事件发生，拒绝假设，认为发生显著变化。
4计学
1、例子和小概率原理
〔3〕本例解，
x 3.95, 0.1, n 100
假设 4，给定 0.01 ，则有 Z 2.58 ，
2
__
可计算得 x
3计学
3、选择显著性水平，确定临界值
❖ 〔2〕不同形式假设H0 的接受区域和 拒绝区域不同。双侧检验的拒绝区域 位于统计量分布曲线的两侧；左侧检 验的拒绝区域位于统计量分布曲线的 左侧；右侧检验的拒绝区域位于统计 量曲线的右侧。如下图。
4计学
假设检验的接受区域和拒绝区域
α/2
1–α
α/2
❖ 〔b〕左侧检验
假设真值 右移，1 则
1 0
增大，以1为中心的曲线右移，使曲线左尾
阴影局部减小。
4
第二节 总体均值、比例和方差 的假设检验
❖学习以下问题： ❖一、总体方差对正态总体均值的检
验； ❖二、总体方差未知对正态总体均值
的检验； ❖三、总体比例的假设检验； ❖四、总体方差的假设检验。
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一、总体方差对正态总体均值的 检验
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1、例子和小概率原理
❖ 〔1〕例1：某企业生产一种零件，过去大量资料
说明，零件的平均长度为4厘米，标准差为0.1。 工艺 后，抽查100个零件，测得样本平均长度为 3.94厘米。问工艺 前后零件长度是否发生显著 变化？
❖ 〔2〕分析：A、这是有关 前后零件平均长度是 否为4的假设检验。有两种可能：一是没有变化， 但抽样随机性使样本均值与总体均值有差异，又 未超出误差范围，则认为总体均值不变；二是发 生显著变化，即样本均值与总体均值差异超出误 差范围，认为总体均值发生显著变化。
1计学
2、选择适当统计量，并确定其 分布形式
❖ 不同的假设选择不同的统计量作为检验统计 量。例6-1，采用
z x 0 , 在H 0为真时，Z ~ N (0,1) n
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3、选择显著性水平，确定临界值
v 〔1〕显著性水平表示H0为真时拒绝H0 的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用
v 表示。假设检验应用小概率原理， 小概率就是指 。给定显著性水平后， 就可由有关的概率分布表查得临界值从 而确定H0的接受区域和拒绝区域。临界 值就是接受区域和拒绝区域的分界点。
Z x 0 ~ N (0,1) / n
利用服从正态分布的统计量Z进行的假设检验
称为Z检验法。
7计学
1、Z检验法
❖ 〔2〕检验时，根据的总体方差、样本 容量和样本均值 ，计_x_ 算出检验统计 量Z的值。对给定的检验水平α ，查正 态分布表得临界值，将Z值与临界值比 较作出检验结论。
8计学
1、Z检验法
1计学
一、假设检验的概念
1、假设检验是统计推断的另一种方式.所谓假 设检验就是首先对总体的分布函数形式或分 布的某些参数做出假设，再根据所得样本数 据，利用“小概率原理〞，对假设的正确性 做出判断的统计推断过程与方法。
2、假设检验与区间估计结合起来，构成完整 的统计推断内容。假设检验分为两类：一类 是参数假设检验，另一类是非参数假设检验 。本章主要讨论参数假设检验。
3.95 4
__
(x)
0.1
100
5 Z 2
2.58
这样小概率事件发生，拒绝原假设，认为工艺 前后零件长度发生明显变化。
5计学
1、例子和小概率原理
〔4〕小概率原理：是指发生概率很小的随机 事件在一次实验中是几乎不可能发生的。这 种事件称为“实际不可能事件〞。小概率的 标准是多大？5%的概率是不是小概率？这 没有绝对的标准，一般我们以一个所谓显著 性水平α〔0<α<1〕作为小概率的界限，α的 取值与实际问题的性质有关。所以，统计检 验又称显著性检验。根据这一原理，可以作 出是否接受原假设的决定
0计学
二、总体方差未知对正态总体 均值的检验
❖学习以下内容：
❖1、t检验； ❖2、例子
1
1、t检验
〔1〕设总体 X ~ N (, 2 ), 2为未知 ，此时对总 体均值检验不能用Z检验法，因为包含未知 参数 2 ，我们可以用总体方差的无偏估计 量样本方差S2代替 2 ，得到t统计量。由定 理5.2可知，在H0成立时，检验统计量t及其 分布为 t x 0 ~ t(n 1)
的，只能尽量控制犯错误的概率。一般，当n固定 时，减少α必然导致β增大，反之减少β必然会增 大α 。以利用Z统计量进行右侧检验的情况为例
P(Z Z / H 0为真） P(Z Z / H 1为真）
❖ 要使小α ，则临界值Z α增大，这必然导致β增大。 反之，要使β 小，则必然导致α 增大，二者关系 如以下图：
6计学
2、假设检验的特点
❖ 〔1〕采用反证法进行逻辑推理，即为检验 某假设是否成立，先假定其正确，再根据抽 样理论和样本信息判断假设产生结果是否合 理，最后决定是否接受原假设；
❖ 〔2〕依据小概率原理，即小概率事件发生， 拒绝原假设，否则接受原假设；
❖ 〔3〕与区间估计的差异主要在于：区间估 计是用给定的概率推断出总体参数的范围， 而假设检验是以小概率为标准，对总体的状 况所做出的假设进行判断。
❖ 〔3〕具体检验时： ❖ 假为设采用双侧检验H，0 : 0 , H1 : 0 则临界值 ❖ － Z α/2或 Z α/2，当︱Z︱＞ Z α/2时，拒绝原假设，
反之则接受原假设H。0 : 0 ( 0 ), H1 : 0 ❖ 假设采用左侧检验， 则临界值为－ Z α/2 ，当Z ＜－ Z α/2 时，拒绝原假设；
3计学
1、例子和小概率原理
❖ 〔 定2理〕分_x_/析n ：~ NB(、0,1根) 据假样设本对平总均体数均的值抽假样设分0布为
真，则给定置信1 度
，应有_x_
__
__
__
(x)
Z 2
❖ 即 x Z 2 ( x )，样本均值与总体均值之差
在误差范围，接受假设。假设_x_
__
__
__