2016-2017学年九年级数学同步精品课堂(提升版)：专题24.3 正多边形和圆(讲)(原卷版)

第二十四章圆
第三节正多边形和圆
☆情境引入☆
观看下列美丽的图案．
问题1:这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
问题2:你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？
☆探索新知☆
【探究活动】
问题1:将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．
问题2:如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？
问题3:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例
【教师释疑】
如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
弧BCE=弧CDA，
∴∠A=∠B.
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
1．中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 2．半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径
3．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 4．边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距
画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图.
【例题讲解】
题型一：正多边形和圆的关系的应用
例1. 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．
变式训练：
1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，
•
求正六边形的周长和面积． D
E B O M
题型二:画正多边形
例2.利用你手中的工具画一个边长为2cm 的正六边形
变式训练：
1.利用你手中的工具画一个半径为3cm的正五边形．
☆课堂提高☆
1.下列命题正确的是( )
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
2.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化
3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.22.5°
4.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为.
5.已知正六边形的边心距为,则正六边形的边长为.
6.用等分圆周的方法画出下列图案：。