新高考高三上学期期中考试数学试题(附参考答案及评分标准)
辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测数学试题(含答案)
辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}，集合B ={2,4}，则(∁U A)∩B =( )A. ⌀B. {2}C. {4}D. {2,4}2.若p:−1≤x ≤2，q:−1≤x ≤1，则p 为q 的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3.幂函数y =f (x )的图象经过点(2 2,2)，则f(18)=( )A. 12B. 14C. 18D. 1164.已知复数z =1+3i3−i ，z 是z 的共轭复数，则z ⋅z =A. 12B. −12C. 1D. −15.如图所示，已知x 轴上一点A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟点A 在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为( )A. 4π7B. 5π7C. 4π7或5π7D. 无法确定6.在正方形ABCD 中，BC−DC +AB =( )A. BDB. DBC. ADD. DA7.已知函数f(x)为偶函数，且x ≥0时，f(x)=x +12sin x ，则关于x 的不等式f(x)>f(2x−1)的解集为A. {x|1<x <3} B. {x|x <1}C. {x|x <13或x >1}D. {x|13<x <1}8.已知函数f(x)=sin 2x +cos x 下列结论中错误的是( )A. f(x)是偶函数B. 函数f(x)最大值为54C. π2是函数f(x)的一个周期D. 函数f(x)在(0,π3)内是增函数二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题1. 已知集合M ，N ，若，，则( )A. B.C. D.2. 已知，，则p 的否定是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在数列中，则( )A. 36B. 15C. 55D. 664. 已知数列的前n 项和为，且满足，，则( )A. 0B.C. 1D.5. 已知数列满足，，则数列( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项6.已知数列是等差数列，且若是和的等差中项，则的最小值为( )A.B. C. D.7. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，与中至少有一个不小于M ，则记作▹，那么下列命题正确的是.( )A. 若▹，则数列各项均不小于MB. 若▹，▹，则▹C. 若▹，则D.若▹，则▹8. 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项( )A.B.C. D.9. 已知数列的通项公式为，则( )A.B.C. D.10. 已知等差数列的前n 项和为，公差为d ，则( )A.B.C.D.11. 已知函数，则下列叙述正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的图象关于对称D. 不存在单调递减区间12. 对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：则( )A. B. 数列为等比数列C. 数列不单调D.13. 已知锐角满足，则__________.14. 已知数列是等差数列，，，则__________.15.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前n项和为，则__________，__________.16. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计__________年初的存栏量首次超过8900头参考数据：，17. 已知数列满足，，设证明：数列为等比数列;设数列，记数列的前n项和为，请比较与1的大小.18.记数列的前n项和为，已知，求的通项公式；若，数列的前n项和为，，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值.19.在中，设角所对的边分别为，且满足求证：；求的最小值．20. 已知函数，当时，比较与2的大小；求证：，21. 记等差数列的前n项和为，公差为d，等比数列的公比为，已知，，求，的通项公式；将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.22. 已知函数求函数的极值;若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，集合的包含关系判断，交集运算，属于基础题.根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【解答】解：，，对于A，当集合时，M不是N的子集，故A错误；对于B，当集合时，N不是M的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判断，解分式不等式，属于基础题.求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【解答】解：由，解得或，所以p的否定为：，因为不是的子集，且是的子集，所以p的否定是q的必要不充分条件.故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题.利用递推公式，代入计算即可.【解答】解：由题意得，，则故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用分组法求和，属于基础题.由求解即可.【解答】解：故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于一般题.根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断.【解答】解：因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列，又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，等差中项，利用基本不等式求最值，属于中档题.易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或舍，又因为是和的等差中项，所以，则，则，所以，且m，，且，，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义▹，属于较难题．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故可得D正确．【解答】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，数列各项均不小于M不成立，故A不正确；B中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，M可以为，而各项均为3，则▹不成立，故B不正确；C 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，此时不正确，故C错误；D 中，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故▹，故D正确．故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定，等比数列的通项公式，函数与数列的综合应用问题，属于较难题.由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式，利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到【解答】解：函数的定义域为R，且，为偶函数，图象关于y轴对称，的零点关于y轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查求数列的项，求数列的前n项和，属于中档题.由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断.【解答】解：由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系，结合等差数列的性质，进而可得即可.【解答】解：由题意得：对于选项A：当时，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：由上可知，则，即C错误；对于选项D：因为，且，所以，即D正确.故选：11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用特殊值可判断AC，利用奇函数的定义可判断B，利用导数可判断【解答】解：因为，所以，，故A错误；令，则，所以是奇函数，故B正确；又，所以，所以的图象不关于对称，故C错误；因为，所以不存在单调递减区间，故D正确.故选12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等比数列的判定与证明，属于中档题.对于A，利用列举法即可判断；对于B，由3是质数，得与互质的数有个，可得，根据等比数列的定义判断即可；对于C，举特例判断不单调即可；对于D，由7为质数，可得与不互质的数共有个，结合对数运算即可求解.【解答】解：不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，，所以数列是以3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增，又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用同角三角函数基本关系化简求值，二倍角的正弦公式，属于基础题.利用同角三角函数基本关系及倍角公式计算即可.【解答】解：因为，所以，又为锐角，，所以，即，所以，所以故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.令，可得，，根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【解答】解：令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以故答案为：15.【答案】43【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【解答】解：由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第n圈的8n个点对应的8n项的和为0，即，设在第k圈，则，当时，，由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以故答案为：16.【答案】2036【解析】【分析】本题考查等比数列在实际生活中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，构造数列求出数列通项公式，由此能求出结果．【解答】解：由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，化简得，令将代入得，，得，故，即，故数列是以700为首项，为公比的等比数列，故，令，解得，两边取对数得，即因为，故，则，故预计2036年初存栏量超过8900头，故答案为：17.【答案】证明：数列满足，，则，由于，故，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.解：由得，所以，所以，，因为，所以【解析】本题考查了等比数列的判定和通项公式，裂项相消求和，属于中档题.根据题意可得，进而得，可证明结论；根据的结论求得，再根据裂项相消法可求得，即可求得结论.18.【答案】解：当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即，又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，符合，所以的通项公式为；由得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以，令，得，又，解得，当时，可得，此时数列单调递减，故数列中的最大项为第2项，即【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，等差数列的通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，属于中档题.当时，得，当时，利用，即可得到通项公式；由得，利用错位相减法求得，代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.19.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：，即由正弦定理得到，又，故，因为，所以，因为，所以所以由得，所以，，由，得，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；由得到，，得，再由基本不等式可得最值.20.【答案】解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，证明：由知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，【解析】本题考查利用函数导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．利用函数的导数求出的单调性，结合，即可得出结论．根据的结论，当时，，令，，有，利用累加以及对数的运算，证得结论．21.【答案】解：由，得，因为，所以，结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；由可知，当时，，又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项，将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组法求和，属于较难题.根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.22.【答案】解：由题意得：，，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，为，无极大值.由已知得，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则对任意恒成立，下证：对任意恒成立，令，则在上恒成立，且仅当时取"="所以在上单调递减，，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，即a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数解不等式，属于较难题．对函数求导，得到函数的单调性，即得到函数的极值;原不等式可化为对任意恒成立，令，利用函数单调递增求a的取值范围.。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2024-2025学年高三上学期期中检测数学模拟试卷(含答案)
（2）由（1）得， cn n 2n ，
设数列cn 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n ，
2Sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n1 ，相减得，
2 1 2n
Sn 21 22 23 2n n 2n1 1 2 n 2n1 .
x
x
f (x) 的减区间是 (
1 , ); 增区间是 (0,
1 ).
2a
2a
f (x) 极大值为 f (x)极大值 =f (
1 ) 1 (1 ln 2a); 2a 2
无 f (x)极小值.无极小值
（2）依题意：设 A f (x) x 1, B g(x) x 0 A B
2x 1, 0 x 1 g(x) {x, 1 x 2 . B (, 2]
4 x, x 2
① 若 1 1，在 x (1, ), f (x) (, 1 1 ln 2a) A B
2a
22
1 1 ln 2a 2 a 1 e5
22
2
故 a [ 1 e5, 1 ) ； 22
② 若 0 1 1, 在 x (1, ), f (x) (, f (1)) A (, 2], 2a
∴ Sn n 1 2n1 2 ，
∴数列cn 的前 n 项和为 n 1 2n1 2 . 18.（1）依题意， f x sin 2x cos 2x 2 sin(2x ) ，
4
所以 f x 的最小正周期为 π ；
由 π 2kπ 2x π π 2kπ, k Z ，得 3π kπ x π kπ, k Z ，
2024-2025 年高三上学期期中检测模拟试卷
一、单选题
1．已知集合 A x 5 2x 1 5 ， B x y 9 3x ，则 A B （ ）
江苏省徐州市2024-2025学年高三上学期11月期中抽测数学试题(含解析)
2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数的虚部为（ ）A.1B.C.D.3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.B. C. D.5.等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A.588B.448C.896D.5486.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）A.1C.27.已知，则（ ）A.B. C. D.{}{}230,3,1,0,1,2,3A xx x B =-≤=--∣A B ⋂={}1,2,3{}0,1,2,3{}3,1--{}3i 11i-+1-i i-()()2,1,3,4a b == ab 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭65π100π94000π81400π91000π81{}n a 1234327,2a a a a a a ++==+789a a a ++=xOy 1y kx =+224x y +=,A B AOB ()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=22cos cos αβ-=136136-1616-8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A.B.C.是增函数D.是减函数二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.在区间单调递减D.当时，的值域为10.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）A.直线与直线的夹角为B.直线与平面C.点到平面D.三棱锥11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）()0,∞+()f x ()()()f xy xf y yf x =+()e e f =()22e 1ef =()1010e 10e f =()f x ()f x x()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2sin2g x x =π3()f x ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2⎤⎦1111ABCD A B C D -,M N 111,CC C D MN 1AD 60MN 11AB D A 1B MN 11C B MN -e e 1x y =-+()ln e 1y x =+-ΓA.有对称轴B.的弦长的最大值为C.直线被D.的面积大于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从二项分布，若，则__________.13.在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.14.已知双曲线上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5（1）求关于的经验回归方程；（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：ΓΓx y t +=Γ)e 2-Γ2e 4-ξ()10,B p ()3111E ξ+=p =ABCD ABC ACD DA DC =ACD ⊥ABC E BD ACDE ABCD 1:2D AC E--()2222:10,0x y C a b a b-=>>C θ2268x y xy ++=C x t y t /tx /t y y x ˆˆˆy bx a =+100t 90t 100t t 1221ˆ()ˆˆ.ni i i ni i x y nxy b x n x ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑16.（15分）已知椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，点，求.17.（15分）已知数列满足为常数.（1）若，求；（2）若的各项均为正数，证明：.18.（17分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）点分别在边上，且平分平分，.①求证：；②求.19.（17分）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.（1）求证：函数具有性质；（2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：；（3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点()2222:10x y C a b a b +=>>C 22y x =+C ,A B 11,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ {}n a (*111,n nd n d a a +-=∈N )1211,3a a ==11nk k k a a +=∑{}n a 212n n n a a a +++≤ABC ,,A B C ,,a b c ()1cos sin b C B +=C ,P Q ,AC AB BP ,ABC CQ ∠ACB ∠BC BQ PB PC +=+AB APBC PC=ABC ∠R ()f x ()f x 'k ()x ϕ()()()244f x x kx x k ϕ=-+'()0x ϕ>x ()f x ()W k ()3212413f x x x x =-++()1W ()g x ()2W ()22121212,,sincos x x x x x x αθθ<=+2212cos sin x x βθθ=+θ∈R ()()()()12g g g x g x αβ-≤-()h x (),P a b ()()22()()L x x a h x b =-+-()()00,Q x h x ()L x 0x x =Q P h ()h x ()W k.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.()()()()()()121,,1,P t h t t P t h t t ϕϕ-++-t ∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h k2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，，选B.2.【答案】A 【解析】，虚部为1，选A.3.【答案】A【解析】在上的投影向量，选A.4.【答案】C【解析】，内切球半径，选C.5.【答案】B【解析】，则舍或2，选B.6.【答案】D 【解析】D.7.【答案】D【解析】，选D.8.【答案】B【解析】，则，则{}03A xx =≤≤∣{}0,1,2,3A B ⋂=()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+a b()210683,4,2555||a b b b ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭π13π65π,5,12rl r r h ==∴==1121021021313103R ⨯⨯⨯==++2100400π4π4π99S R ==⋅=4322a a a =+222,20,1q q q q q =+--==-()6789123764448a a a a a a q ++=++=⨯=111,22AOB d AB S AB d =≤==⋅=⋅ =≤()()()()2211111sin ,sin ,cos cos sin sin 23236αβαβαβαβαβ+=-=-=-+-=-⨯=-()()()f xy xf y yf x =+()()()(),ln f xy f y f x f x x xyyx x=+=，即对.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】关于对称，A 对.向左平移个单位变为错.，则的一个单调减区间而在单调递减，C 对.，则.D 错.选AC.10.【答案】ABD【解析】与的夹角为与的夹角即为正三角形，，A 对.面与平面，B 对.设平面的法向量()()1010ln ,ee10f x x x f ==⋅()1010e 10,B ef =()π0,3f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭π,03⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3()π2π2sin 2,B 33g x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2232x <+<()π7π,1212x f x <<∴π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭()πππ7π,,,1221212f x ⎛⎫⎛⎫⊂∴⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π02x <<ππ4ππ02π,2,2sin 223333x x x ⎛⎫<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭MN ∥1,CD MN 1AD 1CD 1AD 11,AD C AD C ∠ 160AD C ∠∴= 1CA ⊥()()111111,2,2,2,0,2,2,cos ,AB D CA D C CA D C =-=-==MN ∴11AB D 1B MN ()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ⎧⋅=-+=⎧⎪=∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩不放设，则错.对于D ，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为D 对.11.【答案】ACD【解析】由的反函数为，两者关于对称，A 正确.对于B ，，令在上单调递减；上单调递增，注意掉在和有一个零点，另一个零点为，B 错.对于与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离直线被正确.1x =()182,2,1,2,2,,C 3AB n z y n d n ⋅=-=-=--==1C MN MN ,P MN =22222132,,12(2)2OP R R R OP R ⎧+=⎪⎪∴==⎨⎪-+>⎪⎩()e e 1e e 1,ln e 1,e e 1xxxy y x y y =-+⇒=+-∴=+-∴=-+()ln e 1y x =+-y x =e e 1e e 1x x y x y x⎧=-+⇒-=-⎨=⎩()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-()h x (),0∞-()0,∞+()()()()120,12e 010,e h h h h x ->-=+-<=∴()2,1--0x ()()001,1,1,,A B x y ∴)01AB x ∴=->∴C,x y t +=ΓAB e e 1x y =-+P y x =P AB P ()e e 1xf x =-+()e 10x f x x ==⇒='()000,2e ,P P -y x =d =∴x y t +=Γ)e 2,C -对于D ，ВD 正确，选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】设，则，取中点为中点平面平面二面角为.14.【答案】4【解析】设在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x ∴>=⋅-⋅-=-->- ( )021,x -<<-∴13()()110,,10,313130111,3B p E p E E p p ξξξξ~=+=+=+=∴=122DA DC ==AC =AC 1,2B ACD E ACD V BF DF BD E V --====∴BD ACD ⊥,ABC BD DE EF ∴===D AC E --1,cos 2DFE DFE ∠∠∴=(),P x y 2268x y xy ++=(),P y x ∴'2268x y xy ++=(),P y x ''--∴2268x y xy ++=y x=±而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线联立实轴端点为，的虚轴长为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16.【解析】（1）由题意，椭圆：.（2），解得或.17.【解析】（1）.∴y x=-y x∴=221,68y xxx y xy=⎧⇒=±∴⎨++=⎩()()1,1,1,1--a∴=2c b⇒==C∴44114.5, 4.5,84.5,4 3.5i i i ii ix y x y x y xy=====-=∑∑4213.5ˆˆ45,0.7, 4.50.7 4.5 1.355iix x b a=-=∴===-⨯=∑0.7 1.5ˆ3.y x∴=+100,71.35x y==71.35t9071.3518.65-=∴18.65t222124,222ca ab c bca b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪⋅=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩22184x y+=2222184y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩2xy=⎧⎨=⎩()1616149,0,2,,14999xA By⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩113514113514637,2,24369436914416MA MB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯-⨯=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12111111,,2,121213n n na a n na a a+==∴-=∴=+-=-1111111,21(21)(21)22121n nnk kan k k k k==⎛⎫∴=∴=-⎪--+-+⎝⎭∑∑11111111112335212122121nn n n n⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（2）整理得显然成立，.18.【解析】（1）.（2）①证明：在和中分别使用正弦定理（2）同理()()1111111,0,0,11n n n d a d a a a n d a =+->≥∴=+-()()21111211111211n n n a a a nd n d n d a a a +++≤⇔≤+++-++2221111nd nd d a a ⎛⎫⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n n n a a a +++∴≤()sin 1cos sin ,sin 0B C C B B +=> ππcos 12sin 1,63C C C C ⎛⎫-=⇒-== ⎪⎝⎭ABP BCP sin 4sin ,sin 3sin ABAP AB AP BC PC BC PC ∠θ∠θ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩①①②②()sin60sin sin60sin sin 60PB PC BC PB PCθθθ+===++ ()()1sin30sin 230sin 2302BC BQ BC BQθθ+==+++ ()()1sin 2302sin 230BC BQ PB PC θθ+++=+⇒=+19.【解析】（1）取，则具有性质.（2）具有性质函数使得时对恒成立在上单调递增，当且且另一方面，同理（3）设，，()1260sin 302θθ⇒+=<<+()12cos 602θ∴+==- ()()()22cos 3011cos 602cos 602θθθ-∴+=⇒--=()()()2cos 30sin 602602θθθ∴-+-=- ()()2cos 302cos 902θθ⇒-=- 30290,40,80ABC θθθ∠-=-∴==()()2244144f x x x x x '=-+=⋅-+()1x ϕ=()()()()244,f x x x x f x ϕ=⋅-+∴'()1W ()g x ()2,W ∴∃()x ϕ()()()2248g x x x x ϕ=-+'()()22240x x x ϕ=⋅-+>x ∀∈R ()g x ∴R ()()1212,x x g x g x <∴< 2222222111sin cos ,cos sin x x x x x x αθθβθθ≤+=≥+=()()()()()()()()2121,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≤≥∴-≤-22111sin cos x x x αθθ≥+=2x β≤()()()()()()()()1212,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≥≤∴-≥-()()()()()()2112g g g x g x g x g x αβ∴-≤-=-()()()()221(1)[]L x x t h x h t t ϕ=-++--()()()()222(1)[]L x x t h x h t t ϕ=--+-+()()()()()()1212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=-++--⎦'⎣'对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，①，②，①-②具有性质恒成立故恒成立综上：的取值范围为.()()()()()()2212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=--+-+⋅⎦'⎣' t ∀∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h ()000,,P x y x ∴()1L x ()2L x 0,x ∴R ()()10200L x L x ∴==''()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤⇒-++--=⎣⎦'()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤---+⎣'+=⎦()()()()()00044010h x t h x t h x ϕϕ⇒-⋅='⇒'⋅'⇒=>()h x ()()()0,00W k t h x ϕ∴>⇒>'2440kx x k -+>2116160k k k >⎧⇒⇒>⎨-<⎩k ()1,∞+。
山东高三高中数学期中考试带答案解析
山东高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．7.在中，若，则（）A．B．C．D．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．2.已知，，则__________．3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.山东高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合或，集合，所以，或，所以可得，，故选D.2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数，，故选B.3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当,,所以不是的充分条件,同理,当时,所以不是的必要条件,即是的既不充分又不必要条件,选D.4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在和上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，幂函数在上递增，指数函数在上递增递减，，，即，故选C.6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是非奇非偶的，故可排除选项，对于选项当趋向于时，趋向于，故可排除选项，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，，所以,故选Ｃ．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如图所示，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，依次类推，第七次循环：，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：？执行框②应填入，③应填入：，故选B.9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，又点在函数的图象上，则，由定积分几何意义，围成图形的面积为，故选B.10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，解得满足的的取值范围是，故选C.11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为的零点，为图象的对称轴，即，即为正奇数，在，则，即，解得，当时，，，此时在不单调，不满足题意，当时，，，此时在单调，满足题意，故的最大值为，故选D.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，又，当时，上述两个函数都是关于对称，画出两函数图象，如图，由图象可得两函数图象在区间上有三个交点，所以方程在区间上的实根有个，满足满足，方程在区间上的所有实根之和为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数与方程思想，属于难题. 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．【答案】【解析】非零单位向量满足，则，，设与的夹角是的夹角是，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.2.已知，，则__________．【答案】【解析】，解得故答案为：3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．【答案】【解析】由于函数的周期为，故个周期即，故把函数的图象向右平移个周期，故把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数的解析式为，故答案为.4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为.三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，从而可得结果；（2）由为，可得，所以，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知，所以，，所以，解得，又因为，所以.（2）因为，所以，则，所以，因为，则，解得.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量频数假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据卖出一枝可得利润元,卖不出一枝可得赔本元，以花店一天购进枝玫瑰花为分点即可建立分段函数；（2）根据表格中的数据，讨论需求量得到这天的日利润的平均数，利用天的销售量除以即可得到结论.试题解析：（1）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以.（2）当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以日利润的平均数（元）.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合范围，解得，可得的值；（2）由三角形的面积公式可求，利用余弦定理解得的值，即可得解的周长.试题解析：（1）由已知，化简得，因为，解得，因为，所以.（2）由已知，所以，又因为，解得，所以，解得，所以的周长为.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为，；（2）.【解析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可将函数解析式化为，利用三角函数的有界性求解函数的最值，令，可得对称轴方程；（2）由，得,所以，则.试题解析：（1）由已知，，因为，所以，则的最大值为，最小值为.令，解得，，（2）因为，所以所以，则.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.【答案】（1）极大值是；（2）无零点.【解析】（1）求出，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点.试题解析：（1）当时，，当时，，所以，则单调增，当时，，所以，则单调减，所以是的极大值点，极大值是.（2）由已知，当时，，所以，令，令，在上递减，又，在上有唯一的零点，，当时，则，所以在内单调递增；当时，则，所以在内单调递减则.故当时，，故，所以当时，在定义域内无零点.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数在上单调递增，等价于恒成立，得，则；（2）函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，可求得，结合韦达定理可得，利用导数研究函数的单调性，证明函数的最小值大于零即可.试题解析：（1）由已知，所以所以当时，恒成立，即…（*）因为，则由（*）得，则.（2）由已知因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令，对称轴为则，解得且则，同理可得.令则因为，所以，又有，所以，则在上单调递增，所以，即，所以.。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案
2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。
上海市2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含解析
2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。
2024年高三数学期中试卷及答案
2024年高三数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 3，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. -2{答案：B}2. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 21B. 19C. 23D. 17{答案：A}3. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求点Q的坐标。
A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (-3, -2){答案：A}4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(f(-1))的值。
A. 4B. 2C. 0D. -2{答案：A}5. 设函数g(x) = |x - 1| - |x + 1|，求g(2)的值。
A. 1B. -1C. 2D. -2{答案：B}6. 若直线y = 2x + 3与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5相切，求圆心到直线的距离。
A. 1B. √5C. 2D. 3{答案：B}7. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. 4B. -4C. 5D. -5{答案：B}8. 已知复数z = 3 + 4i，求复数z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 25{答案：A}9. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值。
A. 2B. 3C. 4D. 5{答案：A}10. 若f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x - 1{答案：A}二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求第5项的值。
{答案：2 * 3^4}2. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点为Q，求点Q的坐标。
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷及答案
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级姓名座号一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合{(2)0}A xx x =->∣，{12}B x x =-<<∣，则(∁R A)∪B =（）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．(1,)-+∞D ．(,2)-∞2．在数列{}n a 中，12n n a a +=-，且21a =，则n a =（）A ．22n -B ．2(2)n --C ．12n -D ．1(2)n --3．已知在矩形ABCD 中，13AE AB = ，线段,AC BD 交于点O ，则EO =（）A ．1126AB AD + B ．1163AB AD +C ．1136AB AD +D ．1162AB AD+ 4．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin ,2sin 3A bB ==，则=a （）A ．23B ．32C ．6D ．165．设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．197．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（）A ．3+B ．2+C ．6D ．3-8．函数()()1sin π1f x x x =+-，则()=y f x 的图象在()24-，内的零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）A ．aB ．a b ⋅=C ．bb a⊥-)(D ．//a b10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若3232a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}n S 是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ≤），()11π12f x f ⎛≥⎫ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称D ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A ．4a b=B ．26c b =C ．a b c +-的最大值为34D ．a b c +-的最大值为38三、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）1355cos 1212ππ-=______14．已知向量a ，b 夹角为45︒，且1= a ，2a b += ；则b = ______．15．写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________.16．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．在△ABC 中，b =，6a =.(1)若π6A =，求c 的值;(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.cos B C =；②cos sin B C =；③2B C =.18．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足113a =，且*131(N )n n S S n +=+∈．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)求n S .19．已知函数()=f x a b ⋅，其中()=2cos ,a x x -，=(cos ,1)b x，x R ∈．(1)求函数=()y f x 的单调递减区间．(2)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()=1f A -，a =(3,sin )m B与=(2,sin )n C共线，求边长b 和c 的值．20．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.21．已知集合{}2=5+40M x x x -≤，函数()228f x x ax =-+．(1)求关于x 的不等式()28f x a ≥+的解集；(2)若命题“存在0∈x M ，使得()00f x ≤”为假命题，求实数a 的取值范围．22．设函数22()(1488)f x x m mn x m =+-++，其中1m >，n *∈N ．(1)若()f x 为偶函数，求n 的值；(2)若对于每个n *∈N ，()f x 存在零点，求m 的取值范围．2022-2023学年第一学期期中考试高三数学参考答案及评分标准1．B 2．B∵122,1n n a a a +=-=，∴112a =-，12n na a +=-．{}n a 是公比为2-的等比数列，∴121(2)(2)2n n n a --=-⨯-=-．故选：B ．3．D依题意得，结合图形有：()212111323262EO EB BO AB BD AB AD AB AB BD =+=+=+-=+ .故选：D4．A 由正弦定理sin sin a bA B =，整理得sin 122sin 33b A a B ==⨯=故选：A ．5．Aln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又 121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c<<故选：A 6．D225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 7．A因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111a b+=，所以()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号，所以2a b +的最小值为3+，故选：A.8．B由()()1sin π01f x x x =+=-可得()1sin π1x x =--，则函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点，又函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象都关于点()1,0对称，作出函数()sin πy x =与函数11y x =--的大致图象，由图象可知()=y f x 在()24-，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.9．AC由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = 知：在A 中，2= a A 正确；在B 中，2a b ×=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-= ，∴()-⊥a b b r r r ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误.故选：A C .10．AC∵在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，3232a a =，2312a a +=，解得24a =，38a =，∴2q =，或者28a =，34a =，∴12q =，不符合题意，舍去，故A 正确，21422a a q ===，则()12122212n n n S +-==--，2112222n n n n S S +++-==≠-常数，∴数列{}n S 不是等比数列，故B 不正确；()8821251012S -==-，故C 正确；∵2n n a =，∴lg lg 2n a n =，2lg 2lg 2lg 2-=，∴数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，故D 错误，故选：AC 11．ABD ∵πT =，∴22T πω==．依题意得()min 11π11πsin 1126f x f ϕ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11ππ2π62k k ϕ+=-∈Z ，且π2ϕ≤，∴π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A 正确；令()π2π3x k k -=∈Z ，即()ππ26k x k Z =+∈，当0k =时，对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则B 正确；将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数()4πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象不关于y 轴对称，则C 错误；∵π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则D 正确．故选：ABD.12．BD对于A ，由2240a ab b c -+-=，则41c a b ab b a =+-1≥-=3，当且仅当2a b =时，等号成立，故A 错误，对于B ，当c ab 取最小值时，=3=2cab a b⎧⎪⎨⎪⎩，则26c b =，故B 正确；对于C 、D ，222133********a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =，38c =，等号成立，故()max 38a b c +-=，故C 错误，D 正确.故选：BD.1355cos 1212ππ-5152cos 12212ππ⎫=-⎪⎪⎭552sin cos sin cos 126612ππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭52sin 2sin 1264πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.14∵12a a b =+=，∴2(2)a b + =2244a a b b +⋅+=10，代入数据可得2||b =10，化简可得2||b +6=0，，或﹣（负数舍去）15．因为()+1221,>=+2,x x a g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+1=21x g x -在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22=+2=1+1g x x x x ---，画出+1=21x y -，2=+2y x x -的图象如下所示：要使函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）16．6-1（）当40a =时，4707S a ==，所以55S =-，又535S a =，所以31a =-，所以，4310a a d -==>，故4n a n =-，令0n a ≥，则4n ≤，所以n S 的最小值为46S =-．2（）当45a =-，74735S a ==-，不合题意．综上所述：40a =，55S =-，70S =，n S 的最小值为6-．故答案为：6-．17．（1）由题意得2222cos a b c bc A =+-，即2223633c c c =+-，得6c =，-------4（2）选条件①，由正弦定理得sin B C =，-----5cos B C =，化简得sin 2sin 2B C =，-----6而B C >，则22πB C +=，π2B C +=，---8故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == -------10选条件②，cos sin B C =，而B C >，则π2B C +=，------7故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == ------10选条件③，由正弦定理得sin B C =，而2B C =，则sin 2sin cos B C C =，得cos C =，(0,π)C ∈，-----7故π6C =，π3B =，π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==----912ABC S bc == -----1018．（1）解：因为*131(N )n n S S n +=+∈①所以当2n ≥时，得*131(N )n n S S n -=+∈②------2则①-②得：1133n n n n S S S S +---=-----3即13n n a a +=，即113n na a +=-------4又当1n =时，2131S S =+，所以1213()1a a a +=+，其中113a =所以219a =，则2113a a =-------6故数列{}n a 是以113a =为首项，13为公比的等比数列-----7所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.------8（2）解：由（1）可得111111333122313n n n S ⎛⎫-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-.---------1219．（1）2()==2cos f x a b x x ⋅- -------1=cos2+1x x -=2cos(2+)+13x π，-----------3由题意有()22++2Z 3k x k k ππ≤≤ππ∈，-----4解得++63k x k ππ-π≤≤π()Z k ∈------5所以单调递减区间为()+,+Z 63k k k ππ-ππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦；-------6（2）()=2cos(2+)+1=13f A A π-，-------77cos(2+)=1,0<<,<2+<3333A A A ππππ-π∴ ，-------82+=,=33A A πππ∴，---------9(3,sin )m B = 与向量(2,sin )n C = 共线，33sin =2sin ,3=2,=2C B c b b c ∴∴，--------1022227=7=+2cos =,=2,=334a b c bc c c b π-∴.--------1220．（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为4a 是2a 和8a 的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d =⋅⇒+=++且11a =-----3则1d =或0d =（舍）-----4则()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，即通项公式n a n =-------6（2）因为k a 与1k a +（1k =，2，…）之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n ，所以()1020212110102101212T -+=⨯+=-------------1221．（1）因为()2=2+8f x x ax -，且()2+8f x a ≥，所以222+8+8x ax a -≥即()()2+0x a x a -≥，--------2因为()()2+=0x a x a -的实数根为1x a =或2=2a x -，当=0a 时，此时120x x ==，所以不等式的解集为R ；---------3当>0a 时，此时>2a a -，所以不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；-------4当a<0时，此时<2a a -，所以不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；-------5综上所述，当=0a 时，不等式的解集为R ；当>0a 时，不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；当a<0时，不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；----------6（2）因为{}{}2=5+40=14M x x x x x ≤≤≤-，-----------7所以命题“存在[]01,4x ∈，使得2002+80x ax -≤”的否定为命题“任意[]1,4x ∈，使得22+8>0x ax -”是真命题，---------8所以可整理成[]8<2+,1,4a x x x∈，令()[]8=2+,1,4h x x x x∈，则()min <a h x ，--------9因为()8=2+h x x x ≥，当且仅当82x x =即=2x 时，取等号，----------11则<8a ，故实数a 的取值范围{}<8a a ---------1222．（1）()f x 为偶函数，14880m mn ∴-+=，-------1714n m∴=+．-----------21m > ，101m∴<<，77111444m ∴<+<，--------3即71144n <<．又*n ∈N ，2n ∴=．-----------5（2）由题意，得22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥．-----6当2n =时，32(2)0m ∆=-≥，2m ∴≤，又1m >，12m ∴<≤．-------7当2n ≠时，223m n ≤-或12m n ≥-．-------8①当223m n ≤-时，1m > ，n ∴只能取2，舍去--------9②当12m n ≥-时，1m > ，---------10∴从3n =开始讨论：令1()2g n n =-，由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g >==-．综上所述，m 的取值范围是(1,2]------------12。
江苏省徐州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用并集与补集的概念计算即可.【详解】由题意可知{}3,4U B =ð，所以(){}1,3,4U A B ⋃=ð.故选：A 2.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得复数z ，即可得z ，可得其对应的点的坐标，即可得答案.【详解】由题意知2i 1iz -=+，故i(1i)21i z =++=+，故1iz =-则复数z 对应的点为(1,1)-，在第四象限，故选：D3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】先确定a 可能的取值，再结合余弦定理判断三角形为钝角时a 的取值，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则a 的取值可能为1,2,3,4,5,6，有6种可能；,4,5a 能够构成三角形时，需满足19a <<，若,4,5a 能够构成钝角三角形，当5所对角为钝角时，有2222450,9a a +-<∴<，此时2a =；当a 所对角为钝角时，需满足2222540,41a a +-<∴>，此时没有符合该条件的a 值，故,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是16，故选：D4.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2-B.52-C.2D.112【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量定义及向量的数量积、向量的模计算即可.【详解】因为()()0,2,1,a b t =-=，所以向量b 在向量a上的投影向量为2142||||b a a t a a a a⋅-⋅==-，所以1t =，故2a b ⋅=-故选：A5.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由911a a <可得q 的取值范围，说明1q <-时不能推出1114a a <；继而说明1114a a <成立时推出1q >，即可推得911a a <，由此可判断答案.【详解】由题意知等比数列{}n a 的首项为3，设公比为q ，由911a a <，则81033q q <，即21,1q q >∴>或1q <-，当1q <-时，01114133(1)0q a a q -=->，即1114a a >，即“911a a <”不是“1114a a <”的充分条件；当1114a a <时，即1013,1q q q <∴>，则810q q <，即81033q q <，即911a a <，故“911a a <”是“1114a a <”的必要条件，故“911a a <”是“1114a a <”的必要不充分条件，故选：B 6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-【答案】C 【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式，二倍角的正切公式求解即可.【详解】因为ππ36θ-<<，所以ππ032θ<+<，所以3cos 5π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，故4tan 3π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，πππsin 2cos 232πππ13tan 2tan 2ππ632ππsin 2tan 2cos 23332θθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎢ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭+=+-==-=-⎪ ⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π161tan 17394π2422tan 33θθ⎛⎫-+-⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，故选：C7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>【答案】D 【解析】【分析】利用偶函数的性质及复合函数的单调性计算即可.【详解】由()1y f x =-为偶函数可知()f x 的图象关于=1x -轴对称，又1x ≥-时，()222312u x x x =++=++单调递增，ln y u =单调递增，故()()2ln 23f x x x =++在()1,-+∞上单调递增，(),1-∞-上单调递减，即()()()()()()221212121212111120f x f x x x x x x x x x >⇒+>+⇒+-+=-++>.故选：D8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.2B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为H ，A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，由题意和抛物线的定义可得3HH '=，即2H x =，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出直线AB 的斜率，求得H 的坐标，进而求出其中垂线方程，可得D 的坐标，结合弦长公式和三角形面积公式计算即可求解.【详解】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，设A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，则1()2HH AA BB '''=+，由抛物线的定义可知，,,6AF AA BF BB AF BF ''==+=，所以6AA BB ''+=，得3HH '=,即点H 的横坐标为2，设直线AB ：3y kx =+，代入抛物线方程，得22(64)90k x k x +-+=，由22(64)360k k ∆=-->，得13k <且0k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，则122464k x x k -+==，解得2k =-或12（舍去）.所以直线AB ：23y x =-+，(2,1)H -，所以AB 的中垂线方程为11(2)2y x +=-，令0y =，解得4x =，即(4,0)D ，则DH =又122994x x k==，所以AB =所以1122ABD S AB DH == .故选：C.Q二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据方差和极差判断A ，B 选项，根据中位数判断C 选项，根据百分位数和众数判断D 选项.【详解】前4天的极差361719-=，后4天的极差423012-=，A 正确;前4天的平均数25.5，方差222210.50.58.5 2.547.254+++=，后4天的平均数34，方差2222834122.54+++=,前4天的方差大于后4天的方差，B 选项错误;数据从小大排列17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,这组数据的中位数为3133322+=，C 选项错误;这组数据的第60百分位数100.66⨯=是第6个数和第7个数的平均数3333332+=与众数33相同，D 选项正确.故选:AD.10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据极小值可得A ，再根据极值点与零点关系可得周期，进而可得ω，再代入极小值点求解即可；对B ，根据解析式判断即可；对C ，代入ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭判断是否为减区间即可；对D ，根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.【详解】对A ，由题意2A =-，且周期T 满足5πππ12644T -==，故πT =，即2ππω=，2=ω，故()()2cos 2f x x ϕ=+.因为()f x 在5π12x =处取得极小值2-，故()5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，即()π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，故π6ϕ=，则()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由诱导公式()2ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ，ππππ2cos 22cos 22sin 23362y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对C ，ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭则ππ5π2,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，不为余弦函数的单调递减区间，故C 错误；对D ，π5π,46x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则1π22π1π,366x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，故,πc 2os 216x ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎣⎭⎭，则π2cos 26x ⎡∈-⎣⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为3D.点1B 到平面1A EF 的距离为45【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅=⋅，则1AF 与平面1B EB所成角的余弦值为3=，C 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111117A B n n ⋅==，D 错误.故选：BC12.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5【答案】ABD 【解析】【分析】直接代入即可判断A ，令()()()22a g a f a a =--，利用导数说明函数的单调性，即可判断B ，由()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求出()min f x '，即可求出a 的取值方程，即可判断C ，首先说明2a <-，得到()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，利用对数均值不等式得到121x x >，即可得到122x x +>，再说明()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x 且431x x =，最后利用基本不等式证明即可.【详解】对于A ：当1ln 8a =时()()()11ln 1ln 8f x x x x =-++，则()12ln3ln23ln 23ln 208f =+=-+=，11111331ln 1ln ln 2ln 202282222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：()()()()211ln 1ln f a a a a a a a a a =-++=-++，令()()()()()()222221ln 21ln a a a a a a a a a g a f a a a --+--=--+==++，则()112ln ln 21a a a a a a ag a '=+-++=-++，令()()1ln 21a a am a g a -+=+'=，则()2222217211214820a m a a a a a a a '⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=--==<，所以()g a '在()0,∞+上单调递减，又()10g '=，所以当01a <<时()0g a '>，当1a >时()0g a '<，所以()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110g a g ==-<，所以当0a >时，()22f a a a <-，故B 正确；对于C ：()1ln 0x f x a x x+'=++≥在()0,∞+上恒成立，令()()1ln x h x f x a x x +'==++，则()22111x h x x x x-'=-=，所以当01x <<时()0h x '<，当1x >时()0h x '>，所以()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 120f x f a ''==+≥，解得2a ≥-，故C 错误；对于D ：因为()10f =，即1为()f x 的一个零点，当2a =-时()0f x '≥，()0f x '=有且仅有一个根1，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()f x 和()f x '都只有1个零点，不符合题意；当2a >-时()0f x ¢>，则()f x '无零点，()f x 只有一个零点，不符合题意；当2a <-时()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，所以11221ln 101ln 10a x x a x x ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，所以211221ln ln x x x x x x -=>-，所以121x x >，所以122x x +>=，且()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，且()10f =，所以()10f x >，()20f x <，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x ，又()()()11111111ln 11ln f a a x x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=--++=-⎡⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以431x x =，所以()123412*********x x x x x x x x ⎛⎫++++=++++>++= ⎪⎝⎭，故D 正确.ln ln a ba b-<-的证明如下：ln ln a b a b -<-，只需证ln ln ln aa b b -=⇔=1x =>，只需证12ln x x x <-，1x >，设1()2ln n x x x x=-+，1x >，则()22221(1)10x n x x x x-'=--=-<，可得()n x 在(1,)+∞上单调递减，∴1()(1)02ln n x n x x x<=⇒<-，得证.故选：ABD【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据正态分布的性质求得(7)P X ≥，根据正态分布的对称性求出(3)0.2P X ≤=，继而可求得答案.【详解】由题意知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(7)10.80.2P X ≥=-=，故(3)0.2P X ≤=，故(35)0.5(3)0.50.20.3P X P X <<=-≤=-=，故答案为：0.314.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.【答案】270【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：27015.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.【答案】9π2【解析】【分析】根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，即可求得圆锥的高，继而利用圆锥的母线和高之间的夹角的正弦求得内切球半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥内切球的半径为R ，则π515π,3r r ⨯⨯=∴=，则圆锥的高为22534h =-=，设圆锥的母线和高之间的夹角为π,(0,)2θθ∈，则33sin ,452R R R θ==∴=-,故该圆锥的内切球的体积为3439ππ(322⨯=，故答案为：9π216.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.3【解析】【分析】由题意求出22||b PF a =，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x ya b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故3e =，即C 33【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）y =或y =-【解析】【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆经过的点，列出方程组，解之即可求解；（2）易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212,x x x x +，根据弦长公式化简可得2212(1)34k AB k +=+，结合165AB =计算求出k 的值即可求解.【小问1详解】由题意，222222212()21c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，即y kx k =+，()()1122,,,A x y B x y ，22143y kx kx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=，22222(8)4(34)(412)990k k k k ∆=-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，2212(1)34k AB k+==+，又165AB=，所以2212(1)16534kk+=+，解得k=，所以直线l的方程为yy=-.18.在①()()21212n n nS S a n-+=+≥，②1na=+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a的前n项和为1,1nS a=，且__________，*Nn∈.（1）求{}n a的通项公式；（2）设11,n nn nb Ta a+=为数列{}n b的前n项和，证明：12nT<.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21na n=-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选择①，根据n a和n S的关系得到12n na a+-=，确定等差数列得到通项公式；若选择②，根据n a和n S的关系得到12n na a+-=，确定等差数列得到通项公式；（2）确定11122121nbn n⎛⎫=-⎪-+⎝⎭，再根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】若选择①：()()21212n n nS S a n-+=+≥，则()21121n n nS S a+++=+，相减得到：()()()1112n n n n n na a a a a a++++=+-，0na>，故12n na a+-=，()122221S S a+=+，解得23a=，212a a-=，故数列{}n a为首项是1，公差为2的等差数列，故21na n=-；若选项②：1na=+，则()241n nS a=+，()21141n nS a++=+，相减得到：()()2211411n n n a a a ++=+-+，整理得到()()1120n n n n a a a a +++--=，0n a >，故120n n a a +--=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；【小问2详解】()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，故()21111111112335212122211n T n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪-++⎝<⎭ .19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D，且BD =，若b =ABC 的面积.【答案】（1）13-（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得cos B ，即得答案；（2）根据同角三角函数关系求出sin 3B =，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，由二倍角余弦公式求出cos 3θ=，利用等面积法推出()32a c ac +=，结合余弦定理即可求得12ac =，从而利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】由题意cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-可得sin cos sin cos 3sin cos 3sin B C C B B A C +=-，即sin()3sin cos 3sin()B C B A A B +=-+,即sin 3sin cos 3(sin cos cos sin )3sin cos A B A A B A B A B =-+=-，而(0,π),sin 0A A ∈∴>，故1cos 3B =-；【小问2详解】由(0,π)B ∈，1cos 3B =-可得sin 3B =，角B 的平分线交AC 边于点D ，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，则213cos 2cos 1cos 33B θθ=-=-∴=，111sin sin sin 2222ABC S c a ac θθθ=⋅+=⋅ ，()32323ac a c ac =⋅∴+=，由b =22212483b a c ac ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，即()24483a c ac +-=，则()()224448,129093a c ac ac ac -=∴-+=，则12ac =（负值舍去），故21s in 11232ABC ac B S =⨯⨯== 20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）4495（2）分布列见解析，24475【解析】【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X 的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.【小问1详解】从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为223225C C 2C 5P +==，记事件A 为最后摸出的2个球颜色不同，事件B 为这2个球是从丙箱中摸出的，则()()()|P AB P B A P A =，()111111113342222665661242C C C C C C C C 21433855C 5C 55C 5C 7523P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，()111143223663C C C C 2148855C 5C 375P AB ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以()8844375|389575P B A ==；【小问2详解】X 的所有可能取值为2，3，4，则()222342226662C C C 214333255C 5C 55C 25P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()38375P X ==，()2222322542226666C C C C 2143228455C 5C 55C 5C 753P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列如表：X 234P32538752875故()33828181141122442342575757575E X ++=⨯+⨯+⨯==.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PAD --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）46(0,9【解析】【分析】（1）过点P 作PE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥平面ABC ，进而证得BC ⊥平面PAB ，即可得到BC AB ⊥；（2）设2,2AB a BC b ==，得到22(4)3P ABC V a a -=-，令()22(4)3f a a a =-，利用导数求得函数的单调性，得到233a =时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，建立空间直角坐标系，设BD m =，求得平面CPA 与PAD 的法向量分别为12,1)n = 和246(2,1)3n m= ，结合向量的夹角公式和题设条件，列出不等式，求得m 的取值范围即可.【小问1详解】证明：过点P 作PE AB ⊥于点E ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，且PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又因为PA BC ⊥，且PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.【小问2详解】解：设2,2AB a BC b ==，因为BC AB ⊥，可得222AB BC AC +=，即224416a b +=，所以224a b +=，所以b =，又由PE ==所以2112222(4)3233P ABC V a b a a -=⨯⨯⨯==-，令()22(4)3f a a a =-，可得()22(43)3f a a '=-，令()0f a ¢=，解得233a =，当03a <<时，()0f a '>，()f a 单调递增；当23a <<时，()0f a '<，()f a 单调递减，所以当3a =时，即,33AB BC ==时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，,BC BA 所在的直线分别为,x y 轴，以过点B 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BD m =，可得4643232643(,,0),(0,,(,33333CA PA DA m =-=-=- ，则(,0,0),(,0,0),(0,,(0,,0)3333D m C P A ，设平面CPA 与平面PAD 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z == ，由11114643033033x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，可得111,1x z ==，所以1n = ，又由2222232603303y z mx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1y =，可得22,13x z m ==，所以2()3n m = ，设二面角C PA D --的平面角的大小为θ，所以12123cos cos302n n n n θ⋅===，解得09m <<，所以BD 的长的取值范围为(0,9.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.【答案】（1）38（2）2a =或1a =【解析】【分析】（1）求出曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程，然后求出与x 轴，y 轴的交点，表示出切线与两坐标轴围成的三角形面积，然后利用导数求最大值即可；（2）令()00f '=求出a 的值，然后验证a 的值使函数()f x 在0x =处取到极值.【小问1详解】由已知()2e 32cos xf x a a x '=-+，01a <<则()2320f a a '=-+，()201f a =-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()22321y a a x a =-++-，01a <<当0x =时，21y a =-，当0y =时，12a x a +=--，设线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为()h a ，则()()221111112222a a a a a a h a ++=-=-⋅--，01a <<()()()()()()()()()23222321211213112222h a a a a a a a a a a a a +---+-∴-+-=⋅=--'-，令()0h a '>，则102a <<，即()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0h a '<，则112a <<，即()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 111132112481222h a h +⎛⎫=-⋅= ⎪⎛⎫= ⎪-⎝⎝⎭⎭，即曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为38；【小问2详解】由（1）()2e 32cos x f x a a x '=-+，因为当0x =时，函数()f x 取得极值，得()20032f a a '=-+=，解得2a =或1a =，当2a =时，()4e 62cos x f x x '=-+，设()()4e 62cos xg x f x x '==-+，则()4e 2sin x g x x -'=，令()()4e 2sin xr x g x x =-'=，则()4e 2cos x r x x -'=，明显()4e 2cos x r x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()02r x r ''∴>=，即()4e 2sin x g x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4g x '∴>，即()4e 62cos x f x x '=-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()4620f x '∴>-+=，即函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增又明显()4e 2sin 0x g x x -'=>在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则()4e 62cos x f x x '=-+在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ''∴<=，即函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，当1a =时，()e 32cos x f x x '=-+，设()()e 2cos 3xt x f x x '=+-=，则()e 2sin xt x x -'=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，明显()0t x '>，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为e 1,sin x x x x ≥+≥，()()()e 2sin 12sin sin 1sin 0x t x x x x x x x '∴-=≥+=-+-≥-()e 2sin 0x t x x -'∴=≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()e 32cos x f x x '∴=-+在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '=，∴函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，故2a =或1a =.现证明e 1x x ≥+，设()=e 1x m x x --，则()=e 1xm x '-，令()0m x '>，得0x >，()m x 在()0,∞+上单调递增，令()0m x '<，得0x <，()m x 在(),0∞-上单调递减，()()00m x m ∴≥=，即e 1x x ≥+，现证明πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭，设()sin n x x x =-，则()1cos 0n x x ='-≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立即()n x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()00n x n ∴≥=，即πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭.。
2022学年数学高三上期中测试卷含答案解析版(全国卷新高考地区)
全国卷新高考地区2022学年高三上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.已知集合A={x|x2−x−6>0}，集合B={x∈Z|x2≤4x}，则(∁R A)∩B=（）A．{x|0≤x≤3}B．{−1,0,1,2,3}C．{0,1,2,3}D．(3,4]【答案】C【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】∵A={x|(x−3)(x+2)>0}=(−∞,−2)∪(3,+∞)，B={x∈Z|0≤x≤4}={0,1,2,3,4}，∴(∁R A)∩B={0,1,2,3}.故答案为：C．【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义进行计算，即可得出答案.2.若复数z=1+ia+i−i为纯虚数，则实数a的值为（）A． -1B．−12C．0D．1【答案】A【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】化简原式可得：z=1+ia+i−i=(1+i)(a−i)a2+1−i=a+1+(a−a2−2)ia2+1z为纯虚数时，a+1a2+1=0，a−a2−2≠0即a=−1，A符合题意，BCD不符合题意.故答案为：A【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义，即可得出答案.3.设随机变量X~N(0.2,δ2)，若P(X>2)=0.2，则P(X>−1.6)等于（）A．0.5B．0.9C．0.8D．0.7【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为随机变量X~N(0.2,δ2)，且P(X>2)=0.2，所以P(X>−1.6)=1−P(X>2)=0.8，故答案为：C【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线对称性求解.4.现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．420种B．780种C．540种D．480种【答案】B【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.①若用5种颜色完成涂色，则 A 55=120 种方法； ②若用4种颜色完成涂色，颜色有 C 54 种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有 C 54×4×A 44=480 种； ③若用3种颜色完成涂色，颜色有 C 53 种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有 C 53×3×A 33=180 种. 所以不同的着色方法共有 120+480+180=780 种. 故答案为：B ．【分析】依题意，依次分析五个区域的着色方法数目，由分步计数原理，计算可得答案.5.在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， 2AB =AA 1 ，则 B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角的正切值为（ ）A ． √104B ． √5117C ． √155D ． √63【答案】 B【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】取 AB 中点 D ，连接 B 1D,CD ，∵ 三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 为正三棱柱， ∴△ABC 为等边三角形， AA 1⊥ 平面 ABC ， ∵D 为 AB 中点， CD ⊂ 平面 ABC ， ∴CD ⊥AB ， CD ⊥AA 1 ，又 AB,AA 1⊂ 平面 AA 1B 1B ， AB ∩AA 1=A ， ∴CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ， ∴B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角为 ∠CB 1D ，不妨设 AB =a ，则 AA 1=BB 1=2a ， ∴CD =√32a ， B 1D =√172a ，∴tan∠CB 1D =CDB 1D =√5117 ，即 B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角的正切值为 √5117 .故答案为：B ．【分析】取 AB 中点 D ，连接 B 1D,CD ， 证明CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ， B 1C 与平面 AA 1B 1B 所成角为 ∠CB 1D ， 不妨设 AB =a ，则 AA 1=BB 1=2a ， 根据tan∠CB 1D =CDB 1D 可得答案.6.函数 f(x)=4cosxe x +e−x 在 [−π,π] 上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 A【考点】函数的图象【解析】【解答】 ∵f(−x)=4cos(−x)e −x +e−(−x)=4cosxe −x +e x =f(x) ， ∴f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，可排除BC ；当 x →+∞ 时， f(x)→0 ，可排除D ，知A 符合题意. 故答案为：A ．【分析】根据函数的奇偶性，可排除BC ； x →+∞ 时， f(x)→0可排除D ，可得答案.7.已知 a ， b 为正实数，直线 y =x +a 与曲线 y =e x−b 相切，则 23a +14b的最小值是（ ）A ． 2B ． 4√2C ． 1112+√63 D ． 2√2 【答案】 C【考点】基本不等式【解析】由 y =e x−b 得： y ′=e x−b ；当 y ′=1 时， x =b ，∴ 直线 y =x +a 与曲线 y =e x−b 相切的切点坐标为 (b,1) ， ∴a +b =1 ，又 a,b 为正实数，∴23a +14b =(23a +14b )(a +b)=1112+2b 3a +a 4b ≥1112+2√2b 3a ⋅a 4b =1112+√63 （当且仅当 2b 3a =a4b ，即 a =8−2√65 ， b =4√6−610 时取等号）， ∴23a +14b 的最小值为 1112+√63 . 故答案为：C ．【分析】 直线与曲线相切,则切点在直线与曲线上,且切点处的导数相等,求出a, b 的关系,再利用基本不等式求所求分式的最值.8.已知 f(x) 是可导的函数，且 f ′(x)≤2f(x) ，对于 x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A ． e 2f(0)>f(1),e 4040f(1)>f(2021)B ． e 2f(0)<f(1),e 4040f(1)>f(2021)C ． e 2f(0)>f(1),e 4040f(1)<f(2021)D ． e 2f(0)<f(1),e 4040f(1)<f(2021) 【答案】 A【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】令 g(x)=f(x)e 2x ，则 g ′(x)=f ′(x)⋅e 2x −2e 2x ⋅f(x)(e 2x )2=f ′(x)−2f(x)e 2x ， ∵f ′(x)≤2f(x) ， e 2x >0 ， ∴g ′(x)≤0 ， ∴g(x) 在 R 上单调递减，∴g(0)>g(1) ， g(1)>g(2021) ，即f(0)e 0>f(1)e 2 ， f(1)e 2>f(2021)e4042 ， ∴e 2f(0)>f(1) ， e 4040f(1)>f(2021) . 故答案为：A ．【分析】 构造新函数g(x)=f(x)e2x ， 求导后易证得g(x)在R 上单调递减，从而有g(0)>g(1) ， g(1)>g(2021) ，即 f(0)e 0>f(1)e 2 ， f(1)e 2>f(2021)e4042 ， 故而得解.二、多选题9.下列四个函数中，最小值为2的是（ ）A ． y =11+√1−sinx +cosx,x ∈[0,π2]B ． y =lnx +1lnx ，x>1C ． y =x+6√x 2+3D ． y =21x +21−x【答案】 B,D【考点】基本不等式【解析】【解答】对于A ： y =1+√1−sinx cosx =1+√1−sinx+√1−sin 2x≥1+√1−sinx+1+√1−sinx −1≥2−1=1当且仅当 {1+√1−sinx =1sin 2x =sinx，即 sinx =1 时，等号成立；对于B ：因为 x >1 ，故 lnx >0 ，因此 y =lnx +1lnx ≥2√lnx ⋅1lnx=2 ，当且仅当 lnx =1lnx ，即 x =e 时，等号成立； 对于C ：若 x +6≤0 ，即 x ≤−6 ，则 y =x+6√x +3=−√1+12x+33x 2+3， 令 t =12x +33≤−39 ，则 x =t−3312 ，即 y =−√1+144tt 2−66t+1521=−√1+144t−66+1521t，由 t <0 ，则 t −66+1521t ≤−2√1521−66=−144 ，故 144t−66+1521t≥−1 ，即 y ≤0 ，当且仅当 t =1521t，即 t =−39 ，即 x =−6 时，等号成立； 若 x +6>0 ，即 x >−6 ，则 y =√x +3=√1+12x+33x 2+3 ，令 t =12x +33>−39 ，则 x =t−3312 ，即 y =√1+144tt 2−66t+1521=√1+144t−66+1521t， 若 t >0 ，则 t −66+1521t ≥2√1521−66=12 ，故 144t−66+1521t≤12 ，即 y ≤√13 ， 当且仅当 t =1521t ，即 t =39 ，即 x =12 时，等号成立； 对于D ：因为 21x >0 ，故 y =21x +21−x≥2√21x ⋅21−x =2 ，当且仅当 21x =21−x ，即 x =0 时，等号成立；综上所述，只有BD 两个选项可取得最小值2，故答案为：BD ． 【分析】逐项利用基本不等式判断即可，注意等号成立的条件. 10.下列说法正确的是（ ）A ． 若 xy ≥0 ，则 |x +y|+|x|+|y|≥2|x −y|B ． 若 a +bi =(1−i)(2+i) ，则 a +b =2C ． “ x >a+b2是 x >√ab ”的充分必要条件D ． “ ∀x >0 ， e x >x +1 ”的否定形式是“ ∃x ≤0 ， e x ≤x +1 ” 【答案】 A,B【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，基本不等式 【解析】【解答】对于A ，若 xy ≥0 ，则 x ≥0 ， y ≥0 或 x ≤0 ， y ≤0 ；当 x ≥0 ， y ≥0 时， |x +y|+|x|+|y|=2x +2y ， 2|x −y|=2x −2y 或 2y −2x ，∵(2x +2y)−(2x −2y)=4y ≥0 ， (2x +2y)−(2y −2x)=4x ≥0 ， ∴|x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ； 当 x ≤0 ， y ≤0 时， |x +y|+|x|+|y|=−2x −2y ， 2|x −y|=2x −2y 或 2y −2x ，∵(−2x −2y)−(2x −2y)=−4x ≥0 ， (−2x −2y)−(2y −2x)=−4y ≥0 ， ∴|x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ；综上所述：若 xy ≥0 ，则 |x +y|+|x|+|y|≥2|x −y| ，A 符合题意；对于B ，由 a +bi =(1−i)(2+i)=3−i 得： a =3 ， b =−1 ， ∴a +b =2 ，B 符合题意；对于C ，当 x <0 ， a <0 ， b <0 时，若 x >a+b2，此时 x <√ab ，充分性不成立，C 不符合题意；对于D ，由全称命题的否定知原命题的否定为： ∃x >0 ， e x ≤x +1 ，D 不符合题意. 故答案为：AB ．【分析】 直接利用三角不等式的应用即可判定A 的正误；由 a +bi =(1−i)(2+i)=3−i 得： a =3 ， b =−1判定B 的正误；利用基本不等式的应用和充分条件和必要条件的应用判定C 的正误；利用特称和全称命题的应用判定D 的正误.11.已知函数 f(x)=sinx −cosx ， g(x) 是 f(x) 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A ． 函数 f(x) 的值域与 g(x) 的值域不相同B ． 把函数 f(x) 的图象向右平移 π2 个单位长度，就可以得到函数 g(x) 的图象C ． 函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (−π4,π4) 上都是增函数D ． 若 x 0 为是函数 f(x) 的极值点，则 x 0 是函数 g(x) 的零点 【答案】 C,D【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】 f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4) ， g(x)=f ′(x)=cosx +sinx =√2sin(x +π4)函数 f(x) 的值域与 g(x) 的值域均为 [−√2,√2] ，A 不符合题意；函数 f(x) 的图象向右平移 π2 个单位长度，得 y =√2sin(x −π2−π4)=√2sin(x −3π4) ，不是 g(x)=√2sin(x +π4) 的图像，B 不符合题意；x ∈(−π4,π4) 时 x −π4∈(−π2,0) ， f(x) 是单调递增函数， x +π4∈(0,π2) ， g(x) 是单调递增函数，C 符合题意；x 0 为是函数 f(x) 的极值点，则 g(x 0)=f ′(x 0)=0 ，即 x 0 是函数 g(x) 的零点，D 符合题意.故答案为：CD ．【分析】 求出函数f (x)的导数g(x) ,再根据三角函数的图象与性质判断选项中的命题是否正确.12.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， A =π6， a =2 ， ⊙O 为 △ABC的外接圆， OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，给出下列四个结论正确的是（ ） A ． 若 m =n =1 ，则 |OP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3 ； B ． 若P 在 ⊙O 上，则 m +n 的最大值为2； C ． 若P 在 ⊙O 上，则 m 2+n 2+mn =1 ；D ． 若 m,n ∈[0,1] ，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 2√3 . 【答案】 A,C,D【考点】基本不等式，轨迹方程，正弦定理【解析】【解答】 ∵ A =π6， a =2 ， ⊙O 为 △ABC 的外接圆∴ 2R =a sinA =212=4⇒R =2∠BOC =2∠A =60∘,OB =OC =2 对于A ：若 m =n =1 ，则 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12⇒|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3 ,A 符合题意 对于BC ：由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mnOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2+4n 2+4mn =4(m 2+n 2+mn)若P 在 ⊙O 上，则 OP =24(m 2+n 2+mn)=4⇒m 2+n 2+mn =1∴(m +n)2=1+mn ≤1+(m +n 2)2⇒34(m +n)2≤1 ∴m +n ≤2√33 （当且仅当 m =n 时取等号） B 不符合题意，C 符合题意；对于D ：若 m,n ∈[0,1] ，则点P 的轨迹：当 m =0,n ∈[0,1] 时, OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时点 P 在线段 OC ; 当 n =0,m ∈[0,1] 时, OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时点 P 在线段 OB ; 当 m =1,n ∈[0,1] 时， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造平行四边形 OBCD ,此时点 P 在线段 BD 上；当 n =1,m ∈[0,1] 时， OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造平行四边形 OBCD ,此时点 P 在线段CD 上；当 m,n ∈(0,1) 时， OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点 P 在菱形 OBCD 内部，综上 P 点的轨迹为菱形 OBCD 组成的图形区域，则 S 菱形OBCD =2S △OBC =2×12×2×2×sin60∘=2√3 ， D 符合题意.故答案为：ACD ．【分析】 由正弦定理可得2R =a sinA=212=4⇒R =2 ， 进而可得OB =OC =2 ， 对于A:若m=n=1时，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 两边平方,即可判断A 是否正确；对于B:由B 知 m 2+n 2+mn =1 ， 结合基本不等式即可判断B 是否正确;对于C:对 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，可得OP →2=(mOB →+nOC →)2又|OP| = 2,即可判断C 是否正确;对于D:分别分析，当 m =0,n ∈[0,1] 时, 当 n =0,m ∈[0,1] 时，当 m =1,n ∈[0,1] 时，当 n =1,m ∈[0,1] 时， 点P 的轨迹即可判断D 是否正确. 三、填空题13.若关于 x 的不等式 ax −b <0 的解集是 (1,+∞) ，则关于 x 的不等式 ax+bx+5>0的解集是 .【答案】 （-5，-1）【考点】其他不等式的解法 【解析】【解答】 ∵ax −b <0 的解集是 (1,+∞) ， ∴a =b 且 a <0 ， 由 ax+b x+5>0 得： (ax +b)(x +5)=(ax +a)(x +5)=a(x +1)(x +5)>0 ，∴(x +1)(x +5)<0 ，解得： −5<x <−1 ，∴ 不等式 ax+bx+5>0 的解集为（-5，-1）. 故答案为：（-5，-1）.【分析】 关于 x 的不等式 ax −b <0 的解集是 (1,+∞) 得a =b 且 a <0 ， 由此对于x 的不等式 ax+bx+5>0 进行求解即可.14.已知 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(2,3,5) ，则以 a ⃗ ,b ⃗ 为邻边的平形四边形面积是 . 【答案】 √3【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】 ∵cos <a ,b ⃗ >=a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗ |a ⃗⃗ |⋅|b ⃗⃗ |=√14×√38=2√133 ， <a ,b ⃗ >∈[0,π] ， ∴sin <a ,b⃗ >=√32√133， ∴ 以 a ⃗ ,b ⃗ 为邻边的平形四边形面积 S =|a |⋅|b ⃗ |sin <a ,b⃗ >=√3 . 故答案为： √3 .【分析】根据向量坐标运算可求得cos <a →,b →> ， 进而得到sin <a →,b →> ，由S =|a →|⋅|b →|sin <a →,b →> 可求得结果.15.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A ．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件 B ，则 P(B̅|A)= . 【答案】 78【考点】条件概率与独立事件 【解析】【解答】同时抛掷两颗骰子共有 6×6=36 种结果；其中“红骰子向上的点数大于2”共有 4×6=24 种结果， ∴P(A)=2436=23； “红骰子向上的点数大于2”且“两颗骰子的点数之和等于6”有 (3,3) ， (4,2) ， (5,1) ，共3种结果，则 P(AB ̅)=24−336=712， ∴P(B ̅|A)=P(AB ̅)P(A)=71223=78 . 故答案为： 78 .【分析】分别求出P(A) ， P(AB) 再由条件概率的公式求出结果.16.定义方程 f(x)=f ′(x) 的实数根 x 0 叫做函数 f(x) 的“G 点”. （1）.设 f(x)=sinx ，则 f(x) 在 (0,π) 上的“G 点”为 ；（2）.如果函数 g(x)=ln(4+x) 与 ℎ(x)=e x −3x −1 的“G 点”分别为 x 1,x 2 ，那么 x 1+x 2 与 0 的大小关系是 .【答案】 （1）π4（2）x 1+x 2<0【考点】函数零点的判定定理 【解析】【解答】（1） ∵f(x)=sinx ， ∴f ′(x)=cosx ，令 f(x)=f ′(x) ，即 sinx =cosx ，得 tanx =1 ， ∵x ∈(0,π) ，解得 x =π4 ，所以，函数 y =f(x) 在 (0,π) 上的“ G 点”为 π4；（2） ∵g(x)=ln(x +4) ， ℎ(x)=e x −3x −1 ，则 g ′(x)=1x+4， ℎ′(x)=e x −3 ，令 φ(x)=ln(x +4)−1x+4 ，则 φ′(x)=1x+4+1(x+4)2>0 对任意的 x ∈(−4,+∞) 恒成立，所以，函数 φ(x)=ln(x +4)−1x+4 在定义域 (−4,+∞) 上为增函数，∵φ(−3)=−1<0 ， φ(−2)=ln2−12=ln2−ln √e >0 ，由零点存在性定理可得，唯一的 x 1∈(−3,−2) ，使得 g(x)=g ′(x) ，令 ℎ(x)=ℎ′(x) ，即 e x −3x −1=e x −3 ，解得 x 2=23 ，所以， x 1+x 2<0 .故答案为：（1） π4 ；（2） x 1+x 2<0 .【分析】 (1)根据题意,求出函数f(x)的导数,由“G 点”的定义可得sinx =cosx ,变形可得tanx =1 ， 结合x 的范围分析可x 的值，即得答案;(2)根据题意,求出h(x)与g(x)的导数，令 φ(x)=ln(x +4)−1x+4,求导，由“G 点”的定义可得x 2的值，利用函数图象的性质，即可得 x 1+x 2 与 0 的大小关系 . 四、解答题17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①第5项的系数与第3项的系数之比为5:2； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；③ C n+13−C n−15=63 .已知在 (√x −1√x3)n的展开式中， .（1）.求展开式中二项式系数最大的项；（2）.求展开式中含 1x 的项.【答案】 （1）解：若选①， (√x −1√x3)n 展开式通项公式为 T r+1=(−1)rC nr x 3n−5r 6 ，则第5项的系数为 C n 4 ，第3项的系数为 C n 2 ， ∴C n 4:C n 2=5:2 ，解得： n =−3 （舍）或 n =8 ；若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为 C n 1 和 C n n−2，∴C n 1+C n n−2=C n 1+C n 2=36 ，解得： n =−9 （舍）或 n =8 ；若选③，由 C n+13−C n−15=63 得： n =8 ；∴(√x −1√x3)8 的展开式通项公式为 T r+1=(−1)r C n rx 24−5r 6 ；当 n =8 时，若 C 8r 取得最大值，则 r =4 ，即第5项的二项式系数最大，∴ 展开式中二项式系数最大的项为 T 5=C 84x 23=70x 23（2）解：令 24−5r6=−1 ，解得： r =6 ，∴ 展开式中含 1x 的项为 T 7=C 86x −1=28x【考点】二项式定理，二项式系数的性质 【解析】【分析】 (1 )由题意利用，二项式系数的性质，求得n 的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项；(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含 1x的项.18.已知 △ABC 的面积为 b212sinB ， cosAcosC =−13.（1）.求 B 的大小；（2）.若 b =6 ，求三角形内切圆半径 r .【答案】 （1）解： ∵S △ABC =12acsinB =b212sinB，由正弦定理得： 12sinAsinCsinB =sin 2B12sinB ，又 sinB ≠0 ， ∴sinAsinC =16，∴cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =13+16=12 ，又 B ∈(0,π) ， ∴B =π3（2）解： ∵S △ABC =3612sin π3=3√32=2√3 ， ∴12acsinB =√34ac =2√3 ，解得： ac =8 ； 由余弦定理得： b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −2accos π3=(a +c)2−24=36 ，∴a +c =2√15 ， ∴a +b +c =6+2√15 ，∵S △ABC =12(a +b +c)⋅r =(3+√15)r =2√3 ， ∴r =√5−√3【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】 (1)由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求 sinAsinC =16,进而根据两角和的正弦公式可求cosB 的值，结合B 的范围可求B 的值；(2)由三角形的面积公式可求 ac =8 ,进而根据余弦定理可求a+c 的值，设三角形内切圆半径为r,则= S △ABC =12(a +b +c)⋅r =(3+√15)r =2√3 即可求解三角形内切圆半径r.19.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 25外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 23 .假设各局比赛结果互相独立.（1）.分别求甲队以 3:0 ， 3:1 ， 3:2 胜利的概率；（2）.若比赛结果为 3:0 或 3:1 ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3:2 ，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分 X 的分布列及数学期望.【答案】 （1）解：甲队以 3:0 胜利的概率 p 1=(23)3=827；甲队以 3:1 胜利的概率 p 2=C 31×(23)2×(1−23)×23=827 ；甲队以 3:2 胜利的概率 p 3=C 42×(23)2×(1−23)2×25=16135（2）解：由题意知： X 所有可能的取值为 0,1,2,3 ，∴P(X =0)=p 1+p 2=1627 ， P(X =1)=p 3=16135 ，P(X =2)=C 42×(23)2×(1−23)2×(1−25)=845 ，P(X =3)=(1−23)3+C 31×(1−23)2×23×(1−23)=19 ，∴ 数学期望 E(X)=0×27+1×135+2×45+3×9=135【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)甲队获胜有三种情形，①3: 0,②3: 1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率;(2) X 的取值可能为0, 1, 2, 3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率列出分布列，最后根据数学期望公式求解即可.20.如图，A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且ÐAOB ＝45°，OE ＝1，EF ＝ √3 ，设∠AOE ＝ α .（1）.写出△AOB 的面积关于 α 的函数关系式 f(α) ； （2）.求（1）中函数 f(α) 的值域.【答案】 （1）解： ∵OE =1 ， EF =√3 ． ∴∠EOF =60° ．当 α∈[0°,15°] 时， △AOB 的两顶点 A 、 B 在 EF 上，且 AE =tanα , BE =tan(45°+α) ．∴f(α)=S △AOB =12[tan(45°+α)−tanα]=12[sin(45°+α)cos(45°+α)−sinαcosα] =12[sin45°cosα+sinαcos45°cos(45°+α)−sinαcosα]=sin45°2cosα⋅cos(45°+α)=√22cos(2α+45°)+√2当 a ∈(15°,45°] 时， A 点在 EF 上， B 点在 FG 上，且 OA =1cosα， OB =√3cos(45°−α) ． ∴f(α)=S ΔAOB =12OA ⋅OB ⋅sin45°=12cosα⋅√3cos(45°−α)⋅sin45°=√62cos(45°−2α)+√2综上 f(α)={√22cos(2α+45°)+√2α∈[0°,15°]√62cos(2α−45°)+√2α∈(15°,45°]（2）解：由（1）得：当 α∈[0°,15°] 时， 2α+45°∈[45°,75°] ，故 cos(2α+45°)∈[√22,√6−√24] ， 因此 f(α)=√22cos(2α+45°)+√2∈[12,√3−1] ， 且当 α=0° 时， f(α)min =12 ； α=15° 时， f(α)max =√3−1 ； 当 α∈(15°,45°] 时， −15°≤2α−45°≤45° ， f(α)=√62cos(2α−45°)+√2∈[√6−√3,√32] ．且当 α=22.5° 时， f(α)min =√6−√3 ；当 α=45° 时， f(α)max =√32 ． 综上所述， f(α)∈[12,√32] 【考点】函数的值域，函数解析式的求解及常用方法【解析】【分析】 (1)根据 OE =1 ， EF =√3 ,可得∠EOF=60°，由于A 、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°， ∠AOE ＝ α ,故要进行分类讨论:当 α∈[0°,15°] 时，△AOB 的两顶点 A 、 B 在 EF 上； 当 a ∈(15°,45°] 时， A 点在 EF 上， B 点在 FG 上，从而可求相应的面积 f(α) ，进而得出结论；(2)由(1)分类求函数的值域:当 α∈[0°,15°] 时 f(α)=√22cos(2α+45°)+√2∈[12,√3−1] ， 当 α∈(15°,45°] 时，f(α)=√62cos(2α−45°)+√2∈[√6−√3,√32] ， 故可得结论.21.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， n =a +b +c +d . ，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下 2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？K 2 的观测值 k =100×(37×24−16×23)53×47×60×40≈4.523>3.841 ， 所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.（2）解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 20100=15 ， 设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为 ξ ，则 ξ~B(20,15) ， 其中 P(ξ=k)=C 20k (15)k (45)20−k ， k =0,1,2,...,20 ； 由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ，得 {C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k+1(15)k+1(45)19−k C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k−1(15)k−1(45)21−k 化简得 {4(k +1)≥20−k 21−k ≥4k ，解得 165≤k ≤215 ； 又 k ∈Z ，所以 k =4 ，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人.【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型【解析】【分析】 （1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 的观测值K 2 ， 对照题目中的表格，得出统计结论．（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，由题意可知变量ξ服从二项分布ξ~B(20,15) ，由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1)， 求出k 的取值范围，再利用k ∈Z ，即可求出k 的值．22.已知函数 f(x)=xe x +ax 2+2 .（1）.当 a =1 时，讨论 f(x) 的单调性；（2）.对 ∀x ∈[β,+∞) ， β≥0 ，有 f(x)≥x +2 ，求 a 的取值范围.【答案】 （1）解：当 a =1 时， f(x)=xe x +x 2+2 ，则 f ′(x)=(x +1)e x +2x ，f ″(x)=(x +2)e x +2 ， f ‴(x)=(x +3)e x ，∴ 当 x ∈(−∞,−3) 时， f ‴(x)<0 ；当 x ∈(−3,+∞) 时， f ‴(x)>0 ； ∴f ″(x) 在 (−∞,−3) 上单调递减，在 (−3,+∞) 上单调递增，∴f ″(x)min =f ″(−3)=2−e −3>0 ， ∴f ″(x)>0 在 R 上恒成立，∴f ′(x) 在 R 上单调递增， 又 f ′(−12)=2√e −1<0 ， f ′(0)=1>0 ， ∴∃x 0∈(−12,0) ，使得 f ′(x 0)=0 ， 则当 x ∈(−∞,x 0) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈(x 0,+∞) 时， f ′(x)>0 ； ∴f(x) 在 (−∞,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，其中 x 0∈(−12,0)（2）解：由 f(x)≥x +2 得： xe x +ax 2−x ≥0 ，则当 x ≥β≥0 时， xe x +ax 2−x ≥0 ；①当 x =β=0 时， 0≥0 恒成立，则 a ∈R ；②当 x ≥β>0 时， e x +ax −1≥0 ， ∴−a ≤e x −1x ， 令 g(x)=e x −1x ，则 g ′(x)=xe x −(e x −1)x 2=(x−1)e x +1x 2， 令 ℎ(x)=(x −1)e x +1 ，则 ℎ′(x)=e x +(x −1)e x =xe x ，当 x >0 时， ℎ′(x)>0 ， ∴ℎ(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， ∴ℎ(x)>ℎ(0)=0 ，∴g ′(x)>0 ，则 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， ∴g(x)≥g(β)=e β−1β ， ∴−a ≤e β−1β ， ∵g(β) 在 (0,+∞) 上单调递增，由洛必达法则可知： lim β→0g(β)=lim β→0e β=1 ， ∴g(β)>1 ， ∴−a ≤1 ，即 a ≥−1 ；③当 x >β≥0 时，由②可知： ∴g(x)>g(β)=e β−1β ， ∴−a ≤e β−1β ，同理可得： a ≥−1 ；综上所述： a 的取值范围为 [−1,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x 求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号,即可得到所求单调性；(2)讨论 x =β=0 时， 0≥0 恒成立 ; x ≥β>0 时，运用参数分离和构造函数,求得导数,判断单调性和最值，进而得到 a 的取值范围 .。
数学新高考-2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷及答案答案
2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案 2022.11一、单项选择1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B 8.解：由于cos36cos 45>可得2cos362>b c >．又由于()22213log 3log 2log 422>+=>a c >．由于5832<，5ln38ln 2<，28log 35a =<，12cos362 1.64b ==⨯>， 所以b ac >>．选B 项．二、多项选择9．BD 10．ABD 11．ABC 12．AD12.解：因为()y f x =图象关于直线2x =对称，当3x =时，(3)(1)0f f ==，于是930a b ++=，当4x =时，(4)(0)0f f ==，于是1640a b ++=，于是7a =-，12b =，所以5a b +=．2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x =--+=---=--+，令24t x x =-，4t ≥-，则2()(3)3g t t t t t =+=+，4t ≥-，因为2()3g t t t =+图象开口向上，对称轴是32t =-，所以()g t 的最小值为94-．联立方程(1)(3)(4)82y x x x x y x =---⎧⎨=-⎩，4x =是方程组的解，约分4x -，而方程(1)(3)2x x x --=-有三个解，所以()f x 与直线280x y +-=不能相切．函数()y f x =在4x =处的切线方程为12480x y --=．三、填空题13．(- 14．2- 15．9- 16．500729，4 15解：由31cos 32A =得到31cos cos sin sin 32B C B C -=-，由1cos()8B C -=得到 1cos cos sin sin 8B C B C +=，于是27cos cos 64B C =-，35sin sin 64B C =，于是35tan tan 27B C =-．在ABC ∆中，tan tan tan()tan 1tan tan 31B C B C A B C ++==-=--，于是tan tan 9B C +=-．再由35tan tan 27B C =-，解方程组得到tan 9B =-或tan 3B =，由于B C >，取tan 9B =-． 四、解答题17．解：（1）由正弦定理，2sin b R B =，2sin c R C =，代入2sin 0b A =，有22sin sin 2sin 0R B A R A ⨯-=，因为A 是三角形的内角，sin 0A ≠，所以sin B =， …………………2分 注：不说明sin 0A ≠，扣1分。
高三第一学期期中质量监测 数学参考答案及评分建议
2023一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1~4 D C A C 5~8 C B B D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9． ACD 10． BC 11． ABD 12． BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 2 14． 5315． 5π112， 答案不唯一，一般形式 π5π1212k ， 16. 1e ；ln 202，四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）【解】（1）因为22n n n S a ①，所以2n ≥时，11122n n n S a ②，①-②得112222n n n n n a a a ，即11222n n n a a n ，≥， …… 2分 所以1112222n n n n a a n ，≥． 在①式中，令1n ，得12a ，所以数列2n n a是以1为首项12为公差的等差数列． …… 4分 所以111(1)222n nan n ， 所以1(1)2n n a n ． …… 6分 （2）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n， …… 8分 所以123n b b b b0011211111132324242522111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n． 因为110(2)2n n ，所以1231n b b b b ，得证． ……10分18．（12分）【解】sin cos A b A a c ，由正弦定理，sin sin cos sin sin B A B A C A ，sin sin cos sin()sin B A B A A B A ， …… 2分sin cos sin sin B A B A A ．因为sin 0A cos 1B B ， …… 4分 即1sin 62B ． 因为 0B ，，所以666B ，， 所以66B ，即3B ． …… 6分（2）因为点D 在AC 边上，满足3AC AD ，所以2133BD BA BC， …… 7分所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ，因为32AB BD ，，3ABC ，所以241414939992BC BC ，即260BC BC，解得6BC ，即6a ． …… 9分 在ABC △中，由余弦定理，得22236236cos 633AC ，即AC ，所以DC ． ……11分 在BCD △中，由余弦定理，得222261cos 2262CBD． ……12分19．（12分）【解】（1）当0a 时，32()31f x x x ，所以2()363(2)f x x x x x ，令()0f x ，得0x 或2x ． …… 1分 列表如下：所以()f x 在2x 处取极大值，即12x ，且1()5f x ． …… 3分由13()()5f x f x ，所以3233315x x ，即3233340x x ，所以233(1)(2)0x x ．因为13x x ，所以31x ， …… 5分 所以1323x x ． …… 6分（2）由2()36f x x x a ，因为12x x ，分别是()f x 的极大值点和极小值点，所以12x x ，是方程()0f x 的两个不相等的实根，且36120a ，即3a ， 所以12122.3x x a x x,…… 8分 因为323212111222()()(31)(31)f x f x x x ax x x ax22121212121212()()33()2()2x x x x x x x x x x a x x22(2)(2)33(2)2(2)26233a a a a，因为12()()5f x f x ≤，所以625a ≤，解得12a ≥．综上，132a ≤． ……12分20．（12分）【解】（1）（方法一）连结AO．因为AB AD，O为BD中点， 所以AO BD．因为平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCD BD AO，平面ABD所以AO 平面BCD．因为CD 平面BCD，所以AO CD．过点O作OE CD，交CD于点E，连结AE．……2分因为AO OE，平面AOE，AO OE O，所以CD 平面AOE，因为AE AOE，所以CD AE，所以AEO是二面角A CD B的平面角．……4分因为2AB AD BC BD CD，所以直角AOE△中，OE ，1AO ，AE所以sin AEO，即二面角A CD B……6分（方法二）连结AO．因为AB AD，O为BD中点，所以AO BD．因为平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCD BD AO，平面ABD所以AO 平面BCD．因为BC BD，O为BD中点，所以CO BD，所以OC OD OA,,两两互相垂直．……2分以OC OD OA，，为一组基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz．因为2AB AD BC BD CD，所以00)(010)(010)(001)C D B A ，，，，，，，，，，，所以(001)10)01)OA DC AC ，，，，,，所以(001)OA，，为平面BCD 的一个法向量． 设平面ACD 的的法向量()x y z ，，n ，所以00DC AC,,n n即00.y z ,令1x ，得平面ACD的一个法向量(1 n ． …… 4分所以cos OA OA OA，n n n 所以二面角A CD B…… 6分 （2）取AD 中点M ，CD 中点N ． 因为O 为BD 中点，所以OM AB ，因为OM 平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以OM 平面ABC ， 同理ON 平面ABC ．因为OM 平面OMN ，ON 平面OMN ，OM ON O ， 所以平面OMN 平面ABC ．因为E 为平面ACD 内动点(包含边界)，且OE 平面ABC ，所以E 在线段MN 上． …… 8分由11110002222N M NM ，，，，，，，，所以10012NE NM ，，，，，则122OE ON NE ，，． 设OE 与平面ACD 所成角为 ，则sin cos OE，n当34时，sin所以OE 与平面ACD ……12分 21．（12分）【解】（1）由双曲线C 的左焦点为(40)F ，，设:4l x my ，01m ， 联立方程组2248x my x y ，，消x 得22(1)880m y my ． 设11()A x y ，，22()B x y ，，所以1212228811m y y y y m m ，． 因为3AF FB，所以123y y ， …… 2分即1222821m y y y m ，2241m y m ， 所以222224833(11m y m m ， 解得2117m ，…… 4分所以l 的方程为4)y x ． …… 5分（2）由直线1:2(4)AP y k x ，得1(222)Q k ，， 所以2121222222222y k y k k x my，又11111224PA y y k k x my， 所以12112122222y y k k k my my1212112(2)(2)(22)(2)y my my y k my my211111222422(2)my y my mk y my my． …… 8分因为1112mk y y ，1212y y my y ， ……10分 所以121212121212()2()2(2)2m y y y y k k my my y y y（定值）． ……12分22. （12分）【解】（1）设()f x 的极值点为0x ，()(1)e x f x x p ，则000(1)e 0()e 1x x x p x p ，， …… 2分 解得001x p ，，经检验，1p 时满足题意． …… 3分 所以()(1)e x f x x ，()e x f x x ，当0x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，所以()f x 的单调减区间为(0) ，，单调增区间为(0) ，． …… 5分（2）不妨设a b ，因为()()(1)e 0a f a f b a ，由（1）知，01a b ，()(0)1f x f ≥． …… 6分 设函数()e 1ln(1)x g x x ，1x ，则(1)e 11()e 011xx x g x x x≤，所以()g x 在(1) ，上单调递减，所以()(0)0g a g ，即ln(1)1e a a ，所以 ln(1)ln(1)1e (1)e a a a a ，即(ln(1))()()f a f a f b ．又ln(1)00a b ，，所以ln(1)a b ，即e 1b a ． ……10分由()()f a f b ，得e e 111a bb a，又1b ，所以e 1a b ．所以e +e 2a b a b ，即e e 2a b a b ，得证． ……12分 说明：()g x 的生成过程．已得0a b ，要证e e 2aba b ，可以考虑e 1e 1aba b ，，显然不成立． 再考虑e 1e 1.b aa b，由于e 1ln(1)()(ln(1))b a b a f b f a ()(ln(1))(1)e ln(1)1(1)e 1ln(1)0a a f a f a a a a a ， 所以构造函数()e 1ln(1)x g x x ，很巧，()0g x ≤，……．。
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高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）1 C高三上学期期中考试（三角函数、平面向量、数列）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束, 将答题卡交回. 考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 答案不能答在试题卷上.3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷 （选择题 共52分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知向量(1,3),(,1)a b m =-=，若向量,a b 夹角为3π，则m = A ．3B C ．0D ． 2. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．3144AB AD +B ．2141AB AD -+C ．12AB AD +D ．3142AB AD +3. 在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P ，则sin 2α= A.2425 B ．65 C. 35-D 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？” 意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？” (设该金杖由粗到细是均匀变化的)A ．21B ．18C ．15D ．12 5. 已知4sin cos ,(,)342ππθθθ+=∈，则sin cosθθ-= AB ．C ．13D ．13-6. 在ABC △中，60A =︒∠，1AB =，2AC =．若3BD DC =，,AE AC AB R λλ=-∈，且1AD AE ⋅=，则λ的值为 A ．213 B ．1 C ．311 D ．8137. 对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是A ．||||||a b a b ⋅<⋅B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()()||||a b a b a b -+=-D ．22()(||||)a b a b +=+8. 在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=A ．32 B ．94- C ．52- D ．3- 9. 22cos ()sin ()44x x ππ++-=A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10. 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-，则tan β=高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）2 A ．2BC ．23D ．79二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
11.函数22()2(cos sin )f x x x x =--的图象为C ，如下结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．对任意的x R ∈，都有(+)+()01212f x f x ππ-=C ．()f x 在,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 12. 已知平面向量a b c ，，满足1a b c ===，若12a b ⋅=，则()()2a b b c -⋅-的值可能为A ．2-B ．3C ．0D ．13.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．” 若把以上这段文字写成公式，即S=.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:AB C =，且ABC 的面积ABCS=, 请运用上述公式判断下列命题正确的是A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角,,A C B 成等差数列 C ．ABC ∆D ．ABC ∆中线CD 的长为高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）3 第Ⅱ卷（非选择题 共98分）三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
14. 已知向量(cos ,1)a x =-，1(3sin ,)2b x =-，若//a b ，则||=a _________________;15. 已知函数21()sin ,(0)2f x x ωω=->的周期为2π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为______________;16. 已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若2c a b =-，则cos ,a c=___________;17. 已知函数()2cos 21,(0,)f x x x x R ωωω=-->∈，若()f x 在区间(,)ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于(,1)ω-对称，则函数()y f x =的最大值为________,ω=_________________.四、解答题：本大题共6小题，共82分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 为等比数列，且111=()2n n n a a ++--．（1）求公比q 和3a 的值；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：121,1,n n a S a --+成等比数列．19.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积与ADC ∆面积比为35.（1）求sin sin CB；（2）若三边,,c b a 成等差数列，求角A .20.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC ∆中， a , b , c 分别是角,,A B C 的对边，且2sin sin sin C BB-=cos cos a Bb A.（1）求A ； （2）求bc的取值范围. 21.（本小题满分14分）设2())sin (sin cos )12f x x x x x π=+++-.（1）求()f x 的周期及()y f x =图象的对称轴方程；（2）讨论()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及最值.22.（本小题满分14分）已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设221n n n c b b +=-，*n N ∈，求证：{}n c 是等差数列；（2）若11,12a d ==,211n n d c =-(*n N ∈), （Ⅰ）求数列{}2(1)n n b -的前2n 项和2n S ；（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T .23.（本小题满分14分）平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”; 平面内的“向量列” {}n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1,0n n b q b q +=⋅≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）若“向量列”{}n b 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++⋅⋅⋅+；（2）若{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”()1,0d =，110,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”， “公比”2q =，11(,1)2b =，(,)n n n b m k =. 求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅．高三数学试题参考答案二、填空题14.1315. 8π16. 217. 1；6三、解答题18. 解: （1）111=()2nn na a++--11=()2nn na a-∴--两式相除得：12q=··························3分111111111=(()())()()2222n n n nn na a a a-++⎡⎤--=⋅-=-⎢⎥⎣⎦112a=318a=···············································6分（2）11()2nnS=-11()2nnS∴-+=，21211()2nna--=，112a=2221111(1)()()222n nnS-∴-+==⋅121,1,n na S a-∴-+成等比数列·····················12分19. 解：（1）由三角形面积111sin sin sin222ABCS ab C ac B bc A∆===得：1||sin32215||sin22ABDADCAc ADS cAS bb AD∆∆⋅===⋅由正弦定理得sin3sin5C cB b==·····································7分（2）,,c b a成等差数列::3:5:7c b a=，不妨设3,5,7,(0)c x b x a x x===>由余弦定理得：222925491cos2352x x xAx x+-==-⋅⋅23Aπ∴=·············································14分20.解：（1）由正弦定理得：2sin sin sin cossin sin cosC B A BB B A-=化简得：2sin cos sin cos sin cosC A B A A B-=2sin cos sinC A C=1cos2A=3Aπ=·······················································6分（2）由正弦定理得：sin sin(120)11sin sin2tan2b B Cc C C C-===⋅+······························10分因为ABC∆为锐角三角形,所以3090C<<tan3C∴>,1tan C<<·····································12分111222tan2C<+<1,22bc⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭··················································14分21. 解：（1）2())sin(sin cos)12f x x x x xπ=+++-2(1sin2)1x x=-++-cos2)1sin21x x=-++-2sin2)x x=+2sin(2)3xπ=+······························4分令232x kπππ+=+，解得212kxππ=+高三数学试题第4页（共5页）高三数学试题第5页（共5页）4高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）5 ∴周期为π，对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈············7分 （2）5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22,233x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3232x ππ+=，解得712x π=()f x ∴在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减区间为7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值为7()212f π=-()06f π=···················14分 22. 解: （1）n b 是n a 和1n a +的等比中项21n n n b a a +∴=⋅221121n n nn n n n c bb a a a a ++++=-=⋅-⋅12()n n n a a a ++=⋅-12n d a +=⋅122n n c da ++=21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=,*n N ∈{}n c 是等差数列········································4分（2）（Ⅰ）22222221234212n n n S b b b b b b -=-+-++⋅⋅⋅-+2222222143221()()()n n b b b b b b -=-+-+⋅⋅⋅+-1321n c c c -=++⋅⋅⋅+由（1）知21n c n =+21321n n S c c c -=++⋅⋅⋅+2(341)22n n n n +-=⋅=+···········································9分 （Ⅱ）由（1）知21n c n =+221111111()(21)1444(1)41n d n n n n n n n ∴===⋅=-+-+++11111111(1)4223341n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+11(1)41n =-+ 4(1)nn =+·················································14分23. 解: （1）111211,1(1+)1,11n n n nb q b b b b q q q q b q q -⎧=⎪++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⎨-⋅≠⎪-⎩··········6分(2)1(1)n a a n d =+-⋅11,2n n x n y ∴=-=, 即()1,(1,)2n n n a x y n ==-···························8分 11n n b q b -=⋅1122n n m -=⋅,12n n k -=,即111(,)(2,2)2n n n n n b m k --==⋅·····················10分 1112112222222n n n n n n n n a b n -----⋅=⋅+⋅=⋅=⋅令101211221222322n n n n S a b a b a b n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅012121222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式相减得:1012122222n n n S n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅11(12)2212n n n --=-⋅- 11(1)22n n -=-⋅-11(1)22n n S n -∴=-⋅+··········································14分。