【典型题】高一数学上期末一模试题(及答案)(1)

【典型题】高一数学上期末一模试题(及答案)(1)
一、选择题
1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围
是（ ） A ．1,110⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1
0,
10,
10
C ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()()0,110,⋃+∞
2．已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数3
()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．已知0.1
1.1x =， 1.1
0.9y =，2
3
4
log 3
z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>
C ．y z x >>
D ．x z y >>
5．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当
a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）
A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．7,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
7．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，
()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是
（ ） A ．()3log 2,1 B ．[
)3log 2,1
C ．61log 2,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．61log 2,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
8．已知函数()2log 14
x f x x ⎧+=⎨+⎩ 0
0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t
（单位：小时）之间的函数关系为0kt
P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4
个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8
B ．9
C ．10
D ．14
10．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x
f x x =+-，则不等式
()0f x >的解集为
A ．(]2,7
B ．()
(]2,02,7- C ．()
()2,02,-+∞ D ．[)
(]7,22,7--
11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]
1,0x ∈-时，()cos 12
x
f x π=-，若函
数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()3,5
B ．
()2,4
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,53⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]
g x x =为取整函数，0x 是函数()2
ln f x x x
=-的零点，则()0g x 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．若155325a b c ===，则
111
a b c
+-=__________． 14．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______. 15．已知()|1||1|f x x x =+--，()a
g x x x
=+
，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.
16．求值： 231
2100
log lg += ________ 17．若函数()1
21
x
f x a =
++是奇函数，则实数a 的值是_________. 18．已知函数1,0()ln 1,0
x x f x x x ⎧+≤=⎨
->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；
19．若函数()22x x
e a x e
f x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.
20．若函数()22x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.
三、解答题
21．已知函数2
()ln(3)f x x ax =-+.
(1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥. 22．计算或化简：
（1）1
12
320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）6log 3
32log log 2log 36⋅--
23．已知函数21
()f x x x
=
-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；
（2）若关于x 的不等式(
)
2
20f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，
(2)0f =.
（1）求函数()f x 在R 上的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 25．已知幂函数()()2
23
m
m f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）讨论()()
b
F x xf x =的奇偶性.(),a b R ∈（直接给出结论，不需证明）
26．已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数.
（1）求a ，b 的值；
（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；
（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()
2
(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()
()lg 1f x f <，再由函数
()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单
调性即可求出结果. 【详解】
由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()
()lg 1f x f <， 又
函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得
110
10
x <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x
g x x
'=-
+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1
()0()
f x
g x =
<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =
+-中,10
ln(1)0
x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且
0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．D
解析：D 【解析】 【分析】
令()3
g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．
【详解】
令3
()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，
又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，
所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】
解：0.1
x 1.1 1.11=>=， 1.10
0y 0.90.91<=<=，2
23
3
4
z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
5．C
解析：C 【解析】
当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()2
3
224f x x x x =⋅-⨯=-；
所以()3
4,21
4,12
x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3
4f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，
则()f x 在[]22-,
上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212
23213m m m m
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得12
23m ≤≤，故选C ．
点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()3
4,21
4,12
x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,
上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1
个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛
⎤∴∈-∞ ⎥⎝
⎦，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
7．C
解析：C 【解析】
分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21x
h x =-，
y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：
22log 41log 61
k k <⎧⎨
>⎩，求解不等式组可得：61
log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭． 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y f
f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设
()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，
进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y f
f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，
设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，21
4
t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()1
4
f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3f
f x =有5个解.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据已知条件得出415k
e
-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200
kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】
由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt
P P e -=⋅，所以
()400
180%k
P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 5
4
k =，
则由000.5%kt
P P e -=，得ln 5
ln 0.0054
t =-
， 所以()23554ln 200
4log 2004log 52ln 5
t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.
故选：C. 【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]
2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．
【详解】
当07x <≤时，()26x
f x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为
2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即
27x <≤，
因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．
11．D
解析：D 【解析】
试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数
()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只
有3个交点.由数形结合分析可知，01
11
{log 31,53
log 51
a a a a <<>-⇒
<<<-，故D 正确. 考点：函数零点
【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2
ln f x x x
=-
在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()2
3ln 303
f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，
根据[]
x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
二、填空题
13．1【解析】故答案为
解析：1 【解析】
155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，
252525111
log 15log 5log 3a b c
∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可
解析：10,33⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即
可． 【详解】
解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，
即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，
∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160
a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫
-
-⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．
15．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞
【解析】 【分析】
通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()a
g x x x
=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】
由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与
()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,
，
当0a ≥时，可知()a
g x x x
=+
的值域为(
)
,2,a ⎡-∞-+∞⎣
，
所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()a
g x x x
=+
的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.
16．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：
解析：3
2
-
【解析】
由题意结合对数、指数的运算法则有：
()2log 3153
2lg 3210022
=-+-=-. 17．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键
解析：1
2
-
【解析】 【分析】
由函数()f x 是奇函数，得到()01
0021
f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()01
0021f a =+=+，解得12
a =-， 当12
a =-
时，函数()11
212x
f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以1
2a =-.
故答案为：1
2
-.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属
解析：)22,2e e ⎡--⎣
【解析】 【分析】
画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】
函数()f x 的图像如下图所示，由图可知
1,22
a b
a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2
()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣.
故答案为：)
2
2,2e e ⎡--⎣
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
19．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合
解析：2 【解析】 【分析】
利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ． 【详解】
由题意()221
22x
x
x x e e
x a e x a e
f x -=++-=+
+-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减． ∴min ()(0)f x f =，
因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =． 故答案为：2. 【点睛】
本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．
20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<
【解析】 【分析】 【详解】
函数()22x
f x b =--有两个零点，
和
的图象有两个交点，
画出
和
的图象，如图，要有两个交点，那么
三、解答题
21．(1)24a ≤<；(2){
0x x ≤或}ln3x ≥ 【解析】 【分析】
（1）根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.
（2）将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解. 【详解】
（1）
()f x 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =-+需单调
递减则12130
a
a ⎧≥⎪
⎨⎪-+>⎩
解得24a ≤<.
（2）将3a =代入函数解析式可得2
()ln(33)f x x x =-+
则由()x f e x ≥,代入可得
()2ln 33x x e e x -+≥
同取对数可得233x x x e e e -+≥ 即2
(e )430x x
e -+≥, 所以(
)
(e 1)30x x
e --≥ 即e 1x ≤或3x e ≥
0x ∴≤或ln x ≥3,
所以原不等式的解集为{}
0ln3x x x ≤≥或 【点睛】
本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题. 22．（1）99；（2）3-. 【解析】 【分析】
（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】
（1）原式211
23
3
2
5
249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
735
1001442
=
++-- 99=.
（2
）原式3
2
3
log 313=---
31422
=
-- 3=-.
【点睛】
本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
23．（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】 【分析】
（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.
（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()2
21212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】
（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，
()()()()22
21121212122222
121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22
110x x >
∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()
()2
201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，
()2
21212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.
【点睛】
本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
24．（1）()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩
（2）(]1,3
【解析】 【分析】
（1）当0x >时，设出二次函数顶点式，结合(2)0f =求得二次函数解析式.根据奇函数
的性质，求得当0x <时，()f x 的解析式，从而求得()f x 在R 上的解析式.
（2）由（1）画出()f x 的图像，结合()f x 在区间[1,2]a --上单调递增列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-且()00f =
当0x >时由已知可设2
()(1)1(0)f x a x a =-+≠，又(2)0f =解得1a =-
所以0x >，2
()2f x x x =-+
当0x <时，0x ->，∴()()()2
2
22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦
又()0f 满足()2
2f x x x =+∴()22
2,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩
（2）由（1）可得图象如下图所示：
由图可知()f x 的增区间为[1,1]-
∵在()f x 区间[1,2]a --上单调递增，∴121a -<-≤ 解得：(]1,3a ∈∴a 的取值范围为：(]1,3 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 25．（1）()4
f x x -=（2）见解析
【解析】 【分析】
(1)由幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减,可推出2230m m --<(m Z ∈),再结合()f x 为偶函数,即可确定m ,得出结论;
(2)将()f x 代入,即可得到()F x ,再依次讨论参数,a b 是否为0的情况即可. 【详解】
(1)∵幂函数()()2
23
m
m f x x m --=∈Z 在区间()0,∞+上是单调递减函数,
∴2230m m --<,解得13m -<<, ∵m Z ∈,∴0m =或1m =或2m =. ∵函数()()2
23
m m f x x m --=∈Z 为偶函数,
∴1m =, ∴()4
f x x -=;
(2)()()()
44b b F x f x x xf x x x
--==⋅23
ax bx -=-, 当0a
b 时,()F x 既是奇函数又是偶函数;
当0a =,0b ≠时,()F x 是奇函数; 当0a ≠,0b =时,()F x 是偶函数; 当0a ≠,0b ≠时,()F x 是非偶非偶函数. 【点睛】
本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用. 26．（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞- 【解析】
【分析】
（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案. （2）化简得到11()221
x f x =
++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离2
12x k x -<，求函数212()x
g x x -=的最小值得到答
案. 【详解】
（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，
即
102b a
-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即1
1
1214a a
-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.
（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211
()22221
x
x x
f x +-==+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()
12
211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为函数2x
y =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又
()()1
22
1210x x ++>，
所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递减.
（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()
2
(21)0f kx f x +->等价于
()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，
因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，
即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
有212x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅， 令1t x =
，1,23t ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
则有2
()2h t t t =-，1
,23
t ⎡∈⎤⎢⎥⎣
⎦
，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，
所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】
本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.。