九年级期末试题(2)(解析版)

专题08 寒假综合提高训练（2）
实战演练
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019•江夏区校级模拟）方程x2＝4x的根是（）
A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4
【点拨】原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．（3分）（2017秋•电白区期末）下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A．B．
C．D．
【点拨】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，
圆柱的主视图是长方形，
圆台的主视图是梯形，
球的主视图是圆形，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3分）（2019春•鱼台县期末）如图，丝带重叠的部分一定是（）
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．都有可能
【点拨】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，因为两条彩带宽度相同，
所以AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ＝AF ．
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵S ▱ABCD ＝BC •AE ＝CD •AF ．又AE ＝AF ．
∴BC ＝CD ，
∴四边形ABCD 是菱形．
故选：C ．
【点睛】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4．（3分）（2019•费县二模）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格
点上，则tan A 的值是（ ）
A ．√55
B ．√105
C ．2
D ．12 【点拨】首先构造以A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接BD ．
则BD=√2，AD＝2√2，
则tan A=BD
AD
=√2
22
=12．
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
5．（3分）（2019•站前区校级模拟）若矩形的面积为6cm2，则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．C．D．
【点拨】写出y与x的函数关系式，然后根据x的范围即可判断．
【解答】解：长ycm与宽xcm之间的函数关系是：y=6
x，其中x＞0．
故选：C．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
6．（3分）（2018秋•北碚区期末）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6
【点拨】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理
得到AF
FH =
AE
ED
=
1
3
，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴AF
FH =
AE
ED
=
1
3
，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（3分）（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4B．2C．1D．﹣4
【点拨】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）（2019秋•松北区期末）反比例函数y=2k
x的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（）
A．3B．−7
2C．
7
2
D．﹣3
【点拨】将点（﹣2，3）代入解析式可求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数y=2k
x的图象经过点（﹣2，3），
∴2k ＝﹣2×3＝﹣6，
∴k ＝﹣3，
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．
9．（3分）（2019•盘锦）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将
△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的坐标为（ ）
A ．（4，3）
B ．（3，4）
C ．（5，3）
D ．（4，4）
【点拨】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ，进而结合已知得出答案．
【解答】解：∵点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′， ∴点P 在A ′C ′上的对应点P ′的坐标为：（4，3）．
故选：A ．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
10．（3分）（2019•嘉祥县一模）如图，是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④a ﹣2b +c ＞0．其中正确的命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③④
【点拨】根据抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x =−b 2a =−1对
②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，得到c ＜0，而a +b +c ＝0，则a ﹣2b +c ＝﹣3b ，由b ＞0，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵x ＝1时，y ＝0，
∴a +b +c ＝0，所以①正确；
∵x =−b 2a =−1，
∴b ＝2a ，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x ＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
∴ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜0，
而a +b +c ＝0，b ＝2a ，
∴c ＝﹣3a ，
∴a ﹣2b +c ＝﹣3b ，
∵b ＞0，
∴﹣3b ＜0，所以④错误．
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x =−b 2a ；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．（4分）（2019•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （﹣3，0），B （0，1），形状相同的抛物
线∁n （n ＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB 上，其对称轴与x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C 2的顶点坐标为 （3，2） ；抛物线C 8的顶点坐标为 （55，583） ．
【点拨】根据A （﹣3，0），B （0，1）的坐标求直线AB 的解析式为y =13x +1，因为顶点C 2的在直线AB 上，C 2坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C 8的横坐标为55，代入直线AB 的解析式y =13x +1中，可求纵坐标．
【解答】解：设直线AB 的解析式为y ＝kx +b
则{−3k +b =0b =1
解得k =13，b ＝1
∴直线AB 的解析式为y =13x +1
∵抛物线C 2的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB 上
∴抛物线C 2的顶点坐标为（3，2）
∵对称轴与x 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…
∴每个数都是前两个数的和
∴抛物线C 8的顶点坐标的横坐标为55
∴抛物线C 8的顶点坐标为（55，583）．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．
12．（4分）（2019•怀柔区模拟）如图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：
S △CDE ＝1：3，则S △BDE ：S 四边形DECA 的值为 1：15 ．
【点拨】根据题意得到BE ：EC ＝1：3，证明△BED ∽△BCA ，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵S △BDE ：S △CDE ＝1：3，
∴BE ：EC ＝1：3，
∵DE ∥AC ，
∴△BED ∽△BCA ，
∴S △BDE ：S △BCA ＝（BE BC ）2＝1：16，
∴S △BDE ：S 四边形DECA ＝1：15，
故答案为：1：15．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．（4分）（2019秋•上海月考）原价为500元的商品经过连续两次降价后的价格为356元，设这两次降价
的百分率为x ，那么可得方程为 500（1﹣x ）2＝356 ．
【点拨】设平均每次降价的百分率为x ，则原价×（1﹣x ）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，
由题意得，500（1﹣x ）2＝356．
故答案是：500（1﹣x ）2＝356．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
14．（4分）（2019•辽阳）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC
̂的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝ 60° ．
【点拨】连接OB ，求出∠D ，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：连接OB ．
∵AB
̂=BĈ，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC=1
2∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（12分）（2017•赤壁市一模）（1）计算：4sin60°﹣|3−√12|+（1
2
）﹣2；
（2）解方程：x2−√3x−1
4
=0．
【点拨】（1）本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）利用配方法或公式法解答此题，均可得结果．
【解答】解：（1）原式＝2√3−2√3+3+4
＝7；
（2）方法一：移项，得x2−√3x=1 4，
配方，得（x−√3
2）
2＝1
由此可得x−√3
2
=±1，
x1＝1+√3
2，x2＝﹣1+√3 2
方法二：a＝1，b=−√3，c=−1 4．
△＝b2﹣4ac＝（−√3）2﹣4×1×（−1
4）＝4＞0
方程有两个不等的实数根
x=−b±√b2−4ac
2a
=√3±√4
2×1
=√32±1，
x1＝1+√3
2，x2＝﹣1+√3 2
【点睛】本题考查实数的综合运算和一元二次方程的解法，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂的运算、二次根式化简、绝对值等考点的运算以及公式法和配方法的运用．16．（6分）（2017•启东市一模）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，∠AEC＝90°．求证：四边形AECF为矩形．
【点拨】连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由已知条件得出OE＝OF，证出四边形AECF为平行四边形，再由∠AEC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BE＝DF，
∴OE＝OF．
∵OA＝OC，
∴AECF是平行四边形；
∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形AECF是解决问题的关键．
17．（8分）（2019•常德模拟）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角
分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
【点拨】过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB＝6米，即可得出关于x的方程，解出即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
则AD=√3CD=√3x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
则BD＝CD＝x，
由题意得√3x﹣x＝6，
解得：x═3（√3+1）≈8.2．
答：生命所在点C的深度为8.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．
18．（8分）（2020•武汉模拟）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6（1）一次性随机抽取2张卡片，用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率（2）随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率．
【点拨】（1）用列表法举出所有情况，看两张卡片上的数都是偶数的情况占总情况的多少即可；
（2）画出树形图即可求出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率．
【解答】解：（1）依题意列表如下：
123456
12，13，14，15，16，1
21，23，24，25，26，2
31，32，34，35，36，3
41，42，43，45，46，4
51，52，53，54，56，5
61，62，63，64，65，6
由上表可知，随机抽取2张卡片可能出现的结果有15个，它们出现的可能性相等，其中“两张卡片上的数都是偶数”的结果有3个，
所以P（两张卡片上的数都是偶数）=1 5；
（2）画树形图得：
随机抽取2张卡片可能出现的结果有36个，第二次取出的数字小于第一次取出的数字有15种，所以其
概率=15
36
=512．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）（2019•平顶山三模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分
别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=−1
2x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=
k
x的
图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【点拨】（1）求出OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y =−12
x +3求出x ＝2，得出M 的坐标，进而将x ＝4代入y =−1
2x +3得：y ＝1，求出N 点坐标，把M 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）利用S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ，再求出OP 的值，即可求出P 的坐标． 【解答】解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，
将y ＝2代入y =−12
x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），
将x ＝4代入y =−12x +3得：y ＝1， ∴N （4，1），
把M 的坐标代入y =k x 得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y =4x
；
（2）由题意可得：
S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2−1
2
×2×2−12
×4×1 ＝4；
∵△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等， ∴1
2OP ×AM ＝4，
∵AM ＝2， ∴OP ＝4，
∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，注意分类讨论得出P 点坐标是解题关键．
20．（10分）（2019•广东模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ．点P 从B 出发沿BA 向A 运动，速度为每秒1cm ，点E 是点B 以P 为对称中心的对称点，点P 运动的同时，点Q 从A 出发沿AC 向C 运动，速度为每秒2cm ，当点Q 到达顶点C 时，P ，Q 同时停止运动，设P ，Q 两点运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？
（2）设四边形PQCB 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；
（3）四边形PQCB 面积能否是△ABC 面积的3
5？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由；
（4）当t 为何值时，△AEQ 为等腰三角形？（直接写出结果）
【点拨】（1）先在Rt △ABC 中，由勾股定理求出AB ＝10，再由BP ＝t ，AQ ＝2t ，得出AP ＝10﹣t ，然后由PQ ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理得出
AP AB
=
AQ AC
，列出比例式
10−t 10
=
2t 6
，求解即可；
（2）根据S 四边形PQCB ＝S △ACB ﹣S △APQ =1
2AC •BC −12AP •AQ •sin A ，即可得出y 关于t 的函数关系式； （3）根据四边形PQCB 面积是△ABC 面积的3
5
，列出方程4
5
t 2﹣8t +24=
3
5
×24，解方程即可； （4）△AEQ 为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE ＝AQ ；②EA ＝EQ ；③QA ＝QE ，每一种情况都可以列出关于t 的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ， ∴AB ＝10cm ．
∵BP ＝t ，AQ ＝2t ， ∴AP ＝AB ﹣BP ＝10﹣t ． ∵PQ ∥BC ， ∴AP AB =
AQ AC
， ∴
10−t
10
=
2t 6
，
解得t =30
13；
（2）∵S 四边形PQCB ＝S △ACB ﹣S △APQ =1
2AC •BC −1
2AP •AQ •sin A ∴y =
12×6×8−1
2×（10﹣t ）•2t •810 ＝24−4
5t （10﹣t ） =4
5t 2﹣8t +24，
即y 关于t 的函数关系式为y =4
5t 2﹣8t +24；
（3）四边形PQCB 面积能是△ABC 面积的3
5，理由如下：
由题意，得4
5
t 2﹣8t +24=
3
5
×24， 整理，得t 2﹣10t +12＝0，
解得t 1＝5−√13，t 2＝5+√13（不合题意舍去）．
故四边形PQCB 面积能是△ABC 面积的3
5，此时t 的值为5−√13；
（4）△AEQ 为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①如果AE ＝AQ ，那么10﹣2t ＝2t ，解得t =5
2； ②如果EA ＝EQ ，那么（10﹣2t ）×
610=t ，解得t =30
11
； ③如果QA ＝QE ，那么2t ×6
10=5﹣t ，解得t =2511． 故当t 为5
2秒
3011
秒
2511
秒时，△AEQ 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键． 四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．（4分）（2018秋•自贡期末）x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个根，则代数式x 12+3x 1+x 2＝ 1 ． 【点拨】先根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣2，再利用x 1是方程x 2+2x ﹣3＝0的根得到x 12+2x 1﹣3＝0，即x 12+2x 1＝3，则x 12+3x 1+x 2＝x 12+2x 1+x 1+x 2，然后利用整体代入得方法计算． 【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个根， ∴x 12+2x 1﹣3＝0，即x 12+2x 1＝3，x 1+x 2＝﹣2， 则x 12+3x 1+x 2 ＝x 12+2x 1+x 1+x 2 ＝3﹣2 ＝1， 故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b
a
，x 1x 2=c
a ．也考查了一元二次方程解的定义．
22．（4分）（2012秋•贵溪市校级期中）平行四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，∠ABC ＝30°，则S ▱ABCD
＝ 6 ．
【点拨】利用正弦定理求出三角形ABC 的面积，再求平行四边形的面积． 【解答】解：由正弦定理得
三角形ABC 的面积为1
2AB •BC •sin ∠ABC ＝3．
故平行四边形的面积为2×3＝6． 故答案为6cm 2．
【点睛】考查了利用正弦定理求三角形的面积．
23．（4分）（2019•铜仁市模拟）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的面积为 24 cm 2．
【点拨】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可． 【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ， ∴这个菱形的面积=1
2
×6×8＝24（cm 2）． 故答案为：24．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键． 24．（4分）（2018秋•萧山区期末）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3a （1）若a ＝1，则函数y 的最小值为 ﹣1 ． （2）若当1≤x ≤4时，y 的最大值是4，则a 的值为
43
或﹣4 ．
【点拨】（1）将a ＝1代入二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3a ，然后配方即可．
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x ＝2，然后分a ＞0和a ＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a 的值．
【解答】解：（1）当a ＝1时，y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1 ∵a ＝1＞0
∴抛物线的开口向上，当x ＝2时，函数y 的最小值为﹣1． （2）∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax +3a ＝a （x ﹣2）2﹣a ∴抛物线的对称轴是直线x ＝2， ∵1≤x ≤4，
∴当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x ＝2右侧y 随x 的增大而增大， 当x ＝4时y 有最大值，
a ×（4﹣2）2﹣a ＝4，解得a =4
3，
当a ＜0时，抛物线开口向下，x ＝2时y 有最大值， a ×（2﹣2）2﹣a ＝4，解得a ＝﹣4． 故答案为（1）﹣1；（2）4
3或−4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．
25．（4分）（2019•河池二模）如图，一次函数y 1＝kx +b 的图象与反比例函数y 2=m
x (x ＜0)的图象相交于点
A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5．
【点拨】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．
【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，
故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．（8分）（2012•芜湖县校级自主招生）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，
在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−1
20
x2+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？
（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周长为27.5m，求增加斜面的长．
【点拨】（1）求出抛物线与x轴交点的坐标，AB的长度即可求得，再由已知顶点C的坐标，根据平移的性质求得地毯的总长度，进一步求得面积解决问题；
（2）设出抛物线点G的坐标，分别表示出矩形的长和宽，并利用矩形的周长求得长和宽，进一步利用矩形的性质及勾股定理解答问题．
【解答】解：（1）因为顶点C（0，5），c＝5，所以OC＝5，
令y ＝0，即−
120
x 2
+5=0， 解得x 1＝10，x 2＝﹣10， ∴AB ＝10﹣（﹣10）＝20，
∴地毯的总长度为：AB +2OC ＝20+2×5＝30， ∴30×1.5×20＝900（元）． 答：购买地毯需要900元． （2）设G 的坐标为(m ，−120
m 2
+5)，其中m ＞0， 则EF =2m ，GF =−
120
m 2
+5． 由已知得：2（EF +GF ）＝27.5， 即2(2m −1
20m 2+5)=27.5，
解得：m 1＝5，m 2＝35（不合题意，舍去）， 把m 1＝5代入−1
20m 2+5=−1
20×52+5=3.75． ∴点G 的坐标是（5，3.75）． ∴EF ＝10，GF ＝3.75；
∴EG =√EF 2+FG 2=√102+3.752=5√73
4
， 又∵EG ＝HF ， ∴EG +HF =
5√73
2． 答：斜面的长为
5√732
． 【点睛】此题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标，矩形的性质，勾股定理，是一道数形结合的好题．
27．（10分）（2018•隆回县一模）问题提出
平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆上呢？ 初步思考
设不在同一条直线上的三点A 、B 、C 确定的圆为⊙O ． （1）当C 、D 在线段AB 的同侧时．
如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是同弧所对的圆周角相等．
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB＜∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB＞∠ADB（填“＝”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：当C、D在线段AB的同侧且∠ACB＝∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．
由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：当C、D在线段AB 的异侧且∠ACB+∠ADB＝180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①连接CA、CB
②在CB̂上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB与M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．
请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）
【点拨】（1）∠ACB ＝∠ADB 的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法．
（2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB +∠ADB ＝180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D 在圆内、圆外时∠ACB +∠ADB 与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法．
（3）由（2）中的结论可证到：点E 、D 、B 、M 在同一个圆上，从而有∠EMD ＝∠EBD ．由∠CND ＝∠CBD 可证到CN ∥EM ，进而可证到CN ⊥AB ．
【解答】解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB ＝∠ADB ．
②如图②，延长BD 交⊙O 于点E ，
∵∠AEB ＝∠ACB ，∠AEB ＜∠ADB
∴∠ACB ＜∠ADB ．
③如图③，连接AF ，
∵∠AFB ＝∠ACB ，∠AFB ＞∠ADB
∴∠ACB ＞∠ADB ．
故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、
当C 、D 在线段AB 的同侧且∠ACB ＝∠ADB 时，A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上．
（2）①如图④，
∵AB
̂与ACB ̂的度数之和等于360°， 且∠ADB 的度数等于ACB
̂度数的一半， ∠ACB 的度数等于AB
̂度数的一半， ∴∠ACB +∠ADB ＝180°．
②如图⑤，延长AD 交⊙O 于点E ，连接BE ，
∵∠ACB +∠AEB ＝180°，∠AEB ＜∠ADB ，
∴∠ACB +∠ADB ＞180°．
③如图⑥，连接BF ，
∵∠ACB+∠AFB＝180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
故答案为：∠ACB+∠ADB＝180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB＝180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．（3）图⑦即为所求作．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，
∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．
∴∠EMB＝90°．
∴∠EMB+∠EDB＝180°．
∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．
∴∠EMD＝∠EBD．
∵∠CND＝∠CBD，
∴∠CND＝∠EMD．
∴CN∥EM．
∴∠CHB＝∠EMB．
∵∠EMB＝90°，
∴∠CHB＝90°，即CN⊥AB．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质、平行线的判定与性质、圆周角的度数与所对弧的度数之间的关系等知识，考查了操作与探究的能力，考查了运用已有的经验解决问题的能力，是一条体现新课程理念的好题．
28．（12分）（2019秋•永川区期中）如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【点拨】（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+3中即可求解；
（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC＝∠DBC，
最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标；
（3）根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标．
【解答】解：如图：
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （3，0），点C 三点．
∴{a −b +3=09a +3b +3=0
解得{a =−1b =2 ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．
（2）存在．理由如下：
y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4．
∵点D （2，m ）在第一象限的抛物线上，
∴m ＝3，∴D （2，3），
∵C （0，3）
∵OC ＝OB ，
∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°．
连接CD ，∴CD ∥x 轴，
∴∠DCB ＝∠OBC ＝45°，
∴∠DCB ＝∠OCB ，
在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝2，
再延长BG 交抛物线于点P ，
在△DCB 和△GCB 中，
CB ＝CB ，∠DCB ＝∠OCB ，CG ＝CD ，
∴△DCB ≌△GCB （SAS ）
∴∠DBC ＝∠GBC ．
设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得
k=−1
3，b＝1，
∴BP解析式为y BP=−1
3x+1．
y BP=−1
3x+1，y＝﹣x
2+2x+3
当y＝y BP时，−1
3x+1＝﹣x
2+2x+3，
解得x1=−2
3，x2＝3（舍去），
∴y=11 9，
∴P（−2
3，
11
9
）．
（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．
【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合，
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．
解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．。