第6章 特征值与特征向量

第6章特征值与特征向量
本章主要内容：方阵的特征值与特征向量的概念及其求法相似矩阵的概念相似矩阵的性质矩阵与对角形矩阵相似的充要条件实对称矩阵的相
似对角阵二次型及其矩阵表示二次型的秩用配方法、正交变换
法、初等变换法化二次型为标准型惯性定律二次型的正定性及其
判别法
教学目的及要求：理解方阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法．理解相似矩
阵的概念，矩阵可对角化的条件．会求实对称矩阵的相似对角
阵．了解二次型及其矩阵表示，会用配方法、正交变换法、初等
变换法化二次型为标准型，了解惯性定律，二次型的秩，二次型
的正定性及其判别法．
教学重点：用正交变换法求实对称矩阵的相似对角阵
教学难点：用正交变换法求实对称矩阵的相似对角阵
教学时间：8学时
教学过程：
6．1 矩阵的特征值与特征向量
教学目的：理解矩阵的特征值和特征向量的定义，掌握相应的性质．会求矩阵的特征值
和特征向量．
教学重点：基本概念的理解、特征值和特征向量的求法 教学难点：特征值和特征向量的性质和求法 教学方法：讲解法、讲练结合 教学过程：
特征值与特征向量的概念刻画了方阵的一些本质特征，在几何学、力学、常微分方程动力系统、管理工程及经济应用等方面都有着广泛的应用，如振动问题和稳定性问题、最大值最小值问题，常常可以归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题，也都要用到特征值的理论．
定义6．1 设A 是n 阶矩阵，如果存在数λ和n 维非零向量x 使关系式
A x =λx （6-1）
成立，那么，这样的数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 的对应于特征值λ的特征向量（λ可以是复数，A 的元素和x 的分量也可以是复数）． 我们可以将关系式A x =λx 写成
（A -λE ）x =0 （6-2）
这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
|A -λE |=0
方程组（6-2）是以λ为未知数的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程．其左端|A -λE |是λ的n 次多项式，记作f （λ），称为方阵A 的特征多项式．显然，A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）．因此，n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值．
定理6．1 设n 阶矩阵A =(a ij )的特征值为λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn ，则有 （1）λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn =a 11+a 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +a nn ； （2）λ1λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn =|A |．
证 因为1
1122(1)()n
n
n nn A E a a a a λλλ
--=--+++++ ，由多项式的分解定理，有
12()()()n A E λλλλλλλ-=---
比较1
n λ
-的系数，得
112212nn n a a a λλλ+++=+++
又120n A A E λλλ=-= ，定理得证．
数 1122nn a a a +++ 称为方阵A 的迹，记作tr （A ）．
由此可知，矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的所有特征值不为零． 显然方阵A 与T A 具有相同的特征多项式和特征值． 设λ=λi 为方阵A 的一个特征值，则由方程
（A -λE ）x =0
可求得非零解x =p i ，那么p i 便是A 的对应于特征值λi 的特征向量．λi 为实数，则p i 可取实向量；若
λi 为复数，则p i 为复向量．
例6．1 求矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=21
12A 的特征值和特征向量． 解 A 的特征多项式为
=--=
-λ
λλ21
12E A =(2-λ)2
-1=3-4λ+λ2
=(3-λ)(1-λ)
所以A 的特征值为λ1=1，λ2=3．
当λ1=1时，对应的特征向量应满足（A -E ）x =0，即
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛001111
21x x 解得基础解系为(1，-1)T ，所以A 对应于特征值1的全部特征向量为k 1p 1=k 1(1，-1)T ，其中k 1为任意的非零常数．
当λ2=3时，对应的特征向量应满足（A -3E ）x =0，即
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--001111
2
1
x x 解得基础解系为(1，1)T ，所以对应于特征值的全部特征向量为k 2p 2=k 2(1，1)T ，其中k 2为任意非零常数．
例6．2 求目标函数
2
2
(,)222f x y x xy y =++
在约束条件条件12
2=+y x 下的最值．
解 用拉格朗日乘数法．令L ＝2222
22(1)x xy y x y λ++---，则
'
222x L ax by x λ=+-＝0，'
222y L bx cy y λ=+-＝0
将方程组化为矩阵形式：
2112x x y y λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
问题转化为求矩阵A ＝2112⎛⎫
⎪⎝⎭
的特征值和特征向量． 由例6，1，A 的特征值为λ1=1，λ2=3．相应的全部的特征向量为
111x k y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭和211x k y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 带入约束条件条件122=+y x ，得
1211,k k =±
=±
所以11x y ⎛⎫⎛⎫=± ⎪⎪-⎝⎭⎭
，11x y ⎛⎫⎛⎫
=± ⎪⎪⎝⎭
⎭时有最值．
例6．3 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=32
0230
002
A 的特征值与特征向量． 解 矩阵A 的特征多项式为
=---=
-λ
λλ
λ32
230002E A ()()()λλλ---152
所以A 的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5．
当λ1=1时，解方程组（A -E ）x =0，即
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛00022
02200013
2
1x x x 得基础解系p 1=(0，1，-1)T ，所以k p 1（k ≠0）是对应于λ1=1的全部特征向量．
当λ2=2时，解方程组（A -E ）x =0，即
1230000012002
10x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭ 得其基础解系p 2=(1，0，0)T ，所以k p 2（k ≠0）是对应于λ2=2的全部特征向量．
当λ3=5时，解方程组（A-5E ）x =0，即
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---00022
022000332
1
x x x 得其基础解系p 3=(0，1，1)T ，所以k p 3（k ≠0）是对应于λ2=5的全部特征向量．
例6．4 求矩阵
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与特征向量．
解 矩阵A 的特征多项式为
2)2)(1(3140201
12||-+-=-----=-λλλ
λλλE A
所以A 的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=2．
当λ1=-1时，解方程组（A +E ）x =0，即
0414030111321=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 得基础解系p 1=(1，0，1)T ，所以对应于λ1=-1的全部特征向量为k p 1（k ≠0）．
当λ2=λ3=2时，解方程组（A -2E ）x =0，即
0114000114321=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 得其基础解系p 2=(0，1，-1)T ，p 3=(1，0，4)T ，所以对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为k 2p 2+k 3p 3（k 2，k 3不同时为0）．
例6．5 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--=01
1102
124
A 的特征值与特征向量． 解 矩阵A 的特征多项式为
2
)2(1
1
121
2
4||λλλ
λ
λ
λ-=----=
-E A
所以A 的特征值为λ1=0，λ2=λ3=2．
当λ1=0时，解方程组（A -0E ）x =0，即
001
110212432
1
=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--x x x 得基础解系p 1=(1，-1，-2)T ，所以k p 1（k ≠0）是对应于λ1=0的全部特征向量． 当λ2=λ3=2时，解方程组（A -2E ）x =0，即
021
11221223
2
1
=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----x x x 得其基础解系p 2=(1，-1，0)T ，所以k p 2（k ≠0）是对应于λ2=λ3=2的全部特征向量．
从以上例中我们可看出，当特征值是单根时，可求得一个特征向量；当特征值是重根时，在例6．4的二重根特征值2对应两个线性无关的特征向量，而例6．5中二重根特征值2对应的特征向量都是线性相关的，
例6．6 设λ是方阵A 的特征值，证明 （1）2
λ是2A 的特征值； （2）当A 可逆时，
λ
1
是A -1的特征值．
证 因为λ是A 的特征值，故有p ≠0，使A p =λp ．于是
（1）p A 2=A (A p )=A (λp )=λ(A p )=p 2λ，所以2
λ是2A 的特征值． （2）当A 可逆时，由A p =λp ，有p =λA -1p ，因为p ≠0，知λ≠0，故p p λ
1
1=-A ．所以
λ
1
是A -1
的特征值．
这也证明了矩阵可逆的必要条件为矩阵的特征值全不为零．
按此例类推，不难证明：若λ是A 的特征值，则λk 是A k 的特征值；ϕ(λ)是ϕ(A )的特征值，其中
n
n a a a a λλλλϕ++++= 2
210)(
是λ的多项式；
++=A a E a A 10)(ϕ n
n A a A a ++ 2
2
是矩阵A 的多项式．
当A 可逆时，
2
21
101
)(---++=λ
λ
λϕa a E a n
n a -++λ
是n
n A
a A
a A
a E a A ----++++= 2
21
101)(ϕ 的特征值．
例6．7 设n 阶矩阵A 的特征值为2，4，…，2n ，求|A －3E |． 解 记()3ϕλλ=-，则()3A A E ϕ=-．所以ϕ(A )的特征值分别
2n －3，2n －5，…4－3，2－3
故
|A －3E |=()(2n-3)(2n-5)(4-3)(2-3)=-(2n-3)!!A ϕ=
定理6．2 设λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λm 是方阵A 的m 个不同的特征值，p 1，p 2，⋅ ⋅ ⋅，p m 依次是与之对应的特征向量，则p 1，p 2，⋅ ⋅ ⋅，p m 线性无关． 证 设有常数x 1，x 2，⋅⋅⋅，x m ，使
x 1p 1+x 2p 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x m p m =0
则
A (x 1p 1+x 2p 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x m p m )=0
即
λ1x 1p 1+λ2x 2p 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm x m p m =0
依此类推，有
λ1k x 1p 1+λ2k x 2p 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm k x m p m =0（k =1，2，⋅ ⋅ ⋅，m -1）
把上列各式合写成矩阵形式，得
) , , ,(11
1) , , ,(11221
112211000⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--m m m m m m m x x x λλλλλλp p p
因为上式中等号左端等二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，所以当λj 各不相等时，该行列式不等于0，进而知该矩阵可逆．于是有
（x 1p 1，x 2p 2，⋅ ⋅ ⋅ ，x m p m ）=（0，0，⋅ ⋅ ⋅，0）
即对每一个j （j =1，2，⋅ ⋅ ⋅，m ）有x j p j =0．但p j ≠0，故x j =0（j =1，2，⋅ ⋅ ⋅，m ）．
所以向量组p 1，p 2，⋅ ⋅ ⋅，p m 线性无关． 例6．8 如果λ是正交矩阵A 的特征值，则
λ
1
也是A 的特征值，
证 因为A 为正交矩阵，所以λ
1
,
1
T
A A =-是T
A 的特征值，而A 与T
A 有相同的特征值，故命
题成立．
6．2 相似矩阵与矩阵的对角化
教学目的：了解相似矩阵的定义，掌握相应的性质及矩阵相似、对角化的充分必要条件． 教学重点：相似矩阵的性质、矩阵可对角化的充分必要条件、矩阵对角化的方法 教学难点：矩阵可对角化的充分必要条件 教学方法：讲解法、例题演示 教学过程：
在上节例6，1中矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=21
12
A 有特征值1，3 ，相应的特征向量为111α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，211α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1111A α⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2131A α⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，令12()P αα=1
11
1⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1
00
3AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而1
1111
12P --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以1
1003P AP -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，这样我们通过可逆矩阵P ，将矩阵A 化为对角矩阵，这个过程称为相似变换．
定义6．2 设A ，B 都是n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P -1AP =B
则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，对A 进行运算P -1AP 称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵．
“相似”是矩阵之间的一种关系，它具有下述性质（请学生课后证明）： （1）反身性 对任意的方阵A ，A 与A 相似； （2）对称性 若A 与B 相似，则B 与A 相似；
（3）传递性 若A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似．
矩阵的相似关系是一等价关系，我们可以将同阶的矩阵进行等价分类，即把所有相互相似的矩阵归为一类，我们将探讨同类的相似矩阵有什么样的共性，相似变换的不变量是什么？
相似矩阵还具有以下性质：
（1）相似矩阵的秩和行列式都相同．
证 因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使1
B P AP -=，因此()()r A r B =，且
1
1
B P
A P P
A P A --===
（2）相似矩阵有相同的可逆性，且可逆时其逆也相似． 证 由（1）有B A =，所以它们的可逆性是相同的．
设A 与B 相似，且A 可逆，则B 也可逆，且
()
1
1
1
11
B
P AP P A P -----==
即1-A 与1-B 相似．
（3）相似矩阵的幂仍相似（请学生课后证明）．
定理6．3 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的特征多项式，从而A 与B 有相同的特征值．
证 因为A 与B 相似，所以有可逆矩阵P ，使P -1AP =B ，因此
|B -λE |=|P -1AP -λE |=|P -1AP -P -1(λE )P |=|P -1(A -λE )P |=|P -1|⋅|A -λE |⋅|P |=|A -λE |
即A 与B 有相同的特征多项式．
推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ=diag （λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn ）相似，则λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn 是A 的n 个特征值．
证 因为λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn 是Λ的n 个特征值，由定理6．3知，λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn 也是A 的n 个特征值．
如果矩阵A 与对角矩阵Λ= diag （λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn ）相似，则有
1
1
1
10
00000
0000
P A P λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭
，1A P P -=Λ 1111
()()()k k A P P P P P P P P ----=ΛΛΛ=Λ ＝11
2
0000000000
k
k
k n P P λλλ-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
若()λϕ为λ的多项式，矩阵多项式ϕ(A ) 可由下式求得
ϕ(A ) 121()()
()n P P ϕλϕλϕλ-⎛⎫
⎪
⎪= ⎪⋅⋅⋅
⎪⎝
⎭
所以，由此可方便地计算A 的多项式ϕ(A )
例6．4 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=15
13
A ，求n
A ， 解 矩阵A 的特征方程为
015
13=---=
-λ
λλE A
化简整理得
0)2)(4(=+-λλ
所以矩阵A 有两个不同的特征值2,421-==λλ．
当4=λ时，解方程组0)4(21=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-x x E A ，得其基础解系 T p )1,1(1=． 当2-=λ时，解方程组0))2((21=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--x x E A ，得其基础解系 T p )5,1(1-=．
令⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==51
11
),(21p p P ，则
⎪
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-616
16165
1
P ，Λ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-20041AP P 所以
()⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-⨯+-⨯-⨯---+⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=Λ=--n n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
n
n
P
P A
P A P
)2(54)
2(545)
2(4245611115)2(0
45111
61,)2(0041
1
由此可见，一个能和对角矩阵相似的矩阵具有良好的性质，但遗憾的是，并不是每一个n 阶矩阵都能和一个对角矩阵相似，寻求一个相似变换矩阵P ，使得1
P AP -=Λ为对角矩阵，称作把方阵A 对角化．究竟什么样的方阵能对角化？相似变换矩阵P 有什么样的特点？
假设已经把方阵A 对角化了，即已找到可逆矩阵P ，使P -1AP =Λ为对角阵，我们来讨论P 应满足的条件．
把P 用其列向量表示为
P =（p 1，p 2，⋅ ⋅ ⋅，p n ）
由P -1AP =Λ，得AP =P Λ，即
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n A λλλ2
12121) , , ,() , , ,(p p p p p p =(λ1p 1，λ2p 2，⋅ ⋅ ⋅ ，λn p n )
于是有A p i =λi p i （i =1，2，⋅ ⋅ ⋅，n ）．
可见λi 是A 的特征值，相似变换矩阵P 的列向量p i 就是A 的对应于特征值λi 的特征向量． 由于任何n 阶方阵A 有n 个特征值，并可对应地求得n 个特向量，这n 个特征向量即可构成矩阵P ，使AP =P Λ（P 可能是复矩阵）．我们不能保证这n 个特征向量是线性无关的，因此，就不能保证P 是可逆矩阵，仅此我们得不出A 可对角化的结论，但却可得以下定理：
定理6．4 n 阶矩阵A 与对角阵相似（即A 能对角化）的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．
结合定理6．2，可得以下推论：
推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似． 例6．1、例6．2、例6．3中的矩阵都可以对角化．
当A 的特征方程有重根时，就不一定有n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．例如例6．5中A 的特征方程有重根，却找不到3个线性无关的特征向量，因此例6．5中的A 不能对角化；而在例6．4中A 的特征方程也有重根，但能找到3个线性无关的特征向量，因此该矩阵A 能对角化
例6．10 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？
解 λ
λλλ
λλλ---=---=-11
)1(01111
0||x E A =-(λ-1)2(λ+1)
得λ1=-1，λ2=λ3=1．
对应单根λ1=-1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A 可对角化的充分必要条件是对应重根λ2=λ3=1，有2个线性无关的特征向量，即方程（A -E ）x =0有2个线性无关的解，亦即系数矩阵A -E 的秩R （A -E ）=1．由
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00010010110101101~x x E A r
如R （A -E ）=1，得x +1=0，即x =-1．
因此，当x =-1时，矩阵A 能对角化．
6．3 实对称矩阵的对角化
教学目的：掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法 教学重点：用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法 教学难点：用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵 教学方法：讲解法、例题演示 教学过程：
判别一个n 阶方阵能够对角化需满足什么条件的方法比较复杂，但n 阶实对称矩阵一定可以对角化，下面我们将推导这一结论．
定理6．5 实对称矩阵的特征值为实数．
证 设复数λ为实对称阵A 的特征值，复向量x 为对应的特征向量，即A x =λx ，x ≠0．显然有
x x x x x λλ====)()(A A A
于是有
x x x x x x x x T T T T A A λλ===)()(
及
x x x x x x x x x x T T T T T T A A A λλ====)()()(
两式相减，得
0)(=-x x T λλ
但因x ≠0，所以
0||1
21
≠==∑∑==n
i i n
i i i T
x x x x x
故0=-λλ，即λλ=，这就说明λ是实数． 显然，当特征值λi 为实数时，齐次线性方程组
（A -λi E ）x =0
是实系数方程组，对应的特征向量是方程的解，必可取为实向量．
定理6．6 设 λ1，λ2是实对称矩阵A 的两个不同的特征值，p 1，p 2是对应的特征向量，则p 1与p 2正交．
证 已知A p 1=λ1p 1，A p 2=λ2p 2，λ1≠λ2．因为A 对称，故
A A A T T T T T T 1111111)()(p p p p p ====λλ
于是
21222121211)(p p p p p p p p T T T T A λλλ===
即0)(2121=-p p T λλ．但λ1≠λ2，故021=p p T
，即p 1与p 2正交．
我们不加证明地给出以下定理：
定理6．7 设A 为n 阶实对称矩阵，则必有正交阵P ，使P -1AP =P T AP =Λ，其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元的对角矩阵．
定理6．8 设A 为n 阶实对称矩阵，λ是A 的特征方程的k 重根，则矩阵A -λE 的秩R (A -λE )=n -k ，从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量．
证 由定理6．7知对称阵A 与对角阵Λ=diag （λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn ）相似，从而A -λE 与 Λ-λE =diag （λ1-λ，λ2-λ，⋅ ⋅ ⋅，λn -λ）相似．当λ是A 的k 重特征根时，λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn 这n 个特征值中有k 个等于λ，有n -k 个不等于λ，从而对角阵Λ-λE 的对角元恰有k 个等于0，于是R （Λ-λE ）=n -k ．而R （A -λE ）=R （Λ-λE ），所以R （A -λE ）=n -k ．
例6．11 求一个正交阵P ，使P -1AP =Λ为对角阵，其中
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛----=32
0222
021
A 解 由)5)(2)(1(32
222
021||λλλλ
λλ
λ--+-=-------=-E A ，所以A 的特征值为λ1=-1，
λ2=2，λ3=5．
对应λ1=-1，解齐次线性方程组(A -E )x =0，即042
0232
022
3
2
1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----x x x ，得基础解系 ξ1=(2，2，1)T ．将ξ1单位化，得T
),,(1 2 23
11=
p ．
对应λ2=2，解齐次线性方程组(A -2E )x =0，即012
0202
02132
1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----x x x ，得基础解系 ξ2=(2，-1，-2)T ．将ξ2单位化，得T
),,(2- 1- 23
12=
p ．
对应53=λ，解齐次线性方程组(A -5E )x =0，即022
0232
02432
1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-------x x x ，得基础解系 ξ3=(1，-2，2)T ．将ξ3单位化，得T
),,(2 2- 13
13=
p ．
将p 1，p 2，p 3构成正交矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---==323
23
1323132313232 321),,(P p p p 有
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=Λ==-50
0020
0011AP P AP P T
例6．12 设⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=11
1111
111A ，求一个正交阵P ，使P -1AP =Λ为对角阵． 解 由)3(11
1
111111||2
λλλ
λλ
λ-=---=-E A ，得A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．
对应λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(A -0E )x =0，即011
1111
111
32
1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛x x x ，得基础解系 ξ1=(1，-1，0)T ，ξ2=(1，0，-1)T ．将ξ1，ξ2正交化，取
η1=ξ1 )2- ,1 ,1(2
1)0 ,1- ,1(2
1)1- ,0 ,1(]
,[] ,[1112122=
-
=-
=T
ηηηξηξη
再将η1，η2单位化，得
T
),,(0 1- 12
11=
p ，T
),,(2 - 1 16
12=
p
对应λ3=3，解齐次线性方程组(A -3E )x =0，即021
1121
11232
1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---x x x ，得基础解系 ξ3=(1，1，1)T ．将ξ3单位化，得T
),(1 1, 13
13=
p ．
由p 1，p 2，p 3构成正交矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-
==316
20
316121316121 321),,(P p p p 则有
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=Λ==-30
0000
0001AP P AP P T
6．4 二次型
主要内容：二次型及其矩阵表示 二次型的秩 用配方法、正交变换法、初等变换法化
二次型为标准型 惯性定律 二次型的正定性及其判别法
教学目的及要求：了解二次型及其矩阵表示，会用配方法、正交变换法、初等变换法化
二次型为标准型，了解惯性定律，二次型的秩．
教学重点：用配方法、正交变换法、初等变换法化二次型为标准型 教学难点：用配方法、正交变换法、初等变换法化二次型为标准型 教学手段：讲解、练习相结合 教学过程：
对于平面上的二次曲线
ax 2+bxy +cy 2=1
我们可以选择适当的坐标旋转变换
⎩
⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x 消去交叉项，把方程化为标准形
m x '2+n y '2=1
由于坐标旋转变换不改变图形的形状，从变换后的方程很容易判别曲线的类型，
定义6．3 含有n 个变量x 1，x 2，⋅ ⋅ ⋅，x n 的二次齐次函数
2
12111121211(,,)n n n f x x x b x b x x b x x =+++
+2222232322n n b x b x x b x x +++ （6—3）
的n 元二次齐次多项式叫做12,n x x x 的二次型，简称n 元二次型，其中ij b 称为乘积项i j x x 的系数．当式（6—3）的全部系数均为实数时，称之为实二次型；当式（6—3）的系数允许有复数时，称之为复次型（本书只讨论实二次型）．
若记1,(),(,1,2,,)2
ii ii ij ji ij ij ji a b a a b i j a a i j n ===
≠== 则有，且
2
12111121211(,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++
2
212122222n n a x x a x a x x ++++ +
2
1122n n n n nn n a x x a x x a x ++++
＝111211
21222121
2
(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（6—4） ∑∑===n
i n
j j i ij x x a 11
若记11111
,n n nn n a a x A X a a x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则（6—4）式可记为 ()T
f X X AX = （6—5） 式（6—4）和式（6—5）称为二次型的矩阵表示．在ij ji a a =的规定下，显然A 为实对称阵，且A 与二次型是一一对应的．因此，实对称阵A 又称为二次型的矩阵，A 的秩叫做二次型的秩．
例6．13 求二次型2
2
1231312131(,,)2362
f x x x x x x x x x =+
-+的矩阵．
解 二次型有3个变量，所以对应三阶对称阵，ii a 为2
i x 的系数，ji ij a a =为j i x x 系数的一半，由此可得
3232
3
102130
2A ⎛
⎫- ⎪
⎪ ⎪=-
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ 1123123233232
3
(,,)(,,)102130
2T
x f x x x x x x x X A X x ⎛⎫-
⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪⎝
⎭
其中123x X x x ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
．
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换：
⎪
⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=n
nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 即x =C y
其中 ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n n n c c c c c c c c C
1
22221
11211，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n x x x x 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=n y y y y 21 使二次型只含平方项
f =k 1y 12+k 2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n y n 2
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）．
如果标准形的系数k 1，k 2，⋅ ⋅ ⋅，k n 只在1，-1，0三个数中取值，也就是
f =y 12+y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +y p 2-y p +12- ⋅ ⋅ ⋅-y n 2
这种标准形称为二次型的规范形．
可逆的线性变换x =C y 在几何学上称为仿射变换．对平面图形来说，相当于实行了旋转、压缩、反射四三种变换，图形的类型不会改变，但大小、方向会改变，大圆会变成小圆，或变成椭圆． 二次型f =x T A x 在线性变换x =C y 下，有
f =x T A x =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y
定义6．4 设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B =C T AC ，则称矩阵A 与B 合同． 显然，若A 为对称阵，则B =C T AC 也为对称阵，且R （B ）=R （A ）．事实上，
B T =(
C T AC )T =C T A T C =C T AC =B
即B 为对称阵．又因为B =C T AC ，而C 可逆，从而C T 也可逆，由矩阵秩的性质即知R （B ）=R （A ）． 由此可知，经可逆（满秩）变换x =C y 后，二次型f 的矩阵由A 变为与A 合同的矩阵C T AC ，且二次型的秩不变．
要使二次型f 经可逆变换x =C y 变成标准形，这就是要使
y T (C T AC )y =k 1y 12+k 2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n y n 2
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=n n n y y
y k k k y y y ), , ,(212121
也就是要使C T AC 成为对角阵．因此，我们的主要问题就是：对于对称阵A ，寻求可逆矩阵C ，使C T AC 为对角阵．
由定理6，8知，任给实对称矩阵A ，总有正交矩阵P ，使P -1AP =Λ，即P T AP =Λ．把此结论应
用于二次型，即有
定理6．9 任给二次型f =x T A x ，总有正交变换x =P y ，使f 化为标准形
f =k 1y 12+k 2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n y n 2
其中λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λn 是f 的矩阵A 的特征值．
在三维空间中，正交变换仅对图形实行了旋转和反射变换，它保持两点的距离不变，从而不改变图形的形状和大小．
例6．14 求一个正交变换x =P y ，把二次型
f (x 1，x 2，x 3，x 4)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 2x 4+2x 3x 4
化为标准形．
解 二次型的矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----=01
1
1101111011110A 它的特征多项式为
3)1)(3(1111111
111
11||-+=--------=-λλλ
λλλλE A
于是A 的特征值为λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1．
对于λ1=-3，解方程(A +3E )x =0，得基础解系ξ1=(1，-1，-1，1)T ．单位化即得
T )1 ,1 ,1 ,1(2
1
1--=
p ． 对于λ2=λ3=λ4=1，解方程(A -E )x =0，得正交的基础解系
ξ2=(1，1，0，0)T ，ξ3=(0，0，1，1)T ，ξ4=(1，-1，1，-1)T
单位化即得
T )0 ,0 ,1 ,1(2
12=
p ，T )1 ,1 ,0 ,0(2
1
3=
p ，T )1 ,1 ,1 ,1(21
4--=p
于是正交变换为x =(p 1，p 2，p 3，p 4)y ，即
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛43
2
1432121210
2
1212102
1210212
1210
2121
y y y y x x x x
且有f =-3y 12+y 22+y 32+y 42．
如果要把二次型f 化为规范形，只需令
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧====4
4332
21
131z y z y z y z
y 即得f 的规范形
f =-z 12+z 22+z 32+z 42
用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点．如果不限于用正交变换，那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线性变换）把二次型化成标准形．
由于任一可逆阵P 均可分解成 一系列初等阵之积，设
12((1,,))s i P P P P P i s =⋅⋅= 是初等阵
则
21121()T
T
T
T
s s n P AP P P P AP P P diag d d ==
且有
2112(()T
T
T
T
s s P AP P P P AP P P =
其中11T
P A P 表示对A 作一次与1P 相应的列初等变换，再作一次同样的初等行变换，得到与A 合同的矩阵11T P A P ，此时称对A 作了一次合同变换，然后对11T
P A P 用2P 作第二次合同变换得到
2112()T
T
P P AP P ，依次实施S 次合同变换，最终得到与A 合同的对角矩阵1(,,)n diag d d ，从而得
到二次型的标准形22
11n n f d y d y =++ ．变换所用矩阵s P P P P 21==s P P EP P 21=，即P 是由对单位阵作S 次与A 同样的列初等变换得到的，因而这种方法就是所谓的矩阵合同变换法化二次型成标准形．
例6．15 求一个满秩变换x =P y ，把二次型()123121323,,226f x x x x x x x x x =+-化为标准形．
解 二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-的矩阵为0 1 11 0 -31 -3 0A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
．
1(1)2
0 1 -1 1 1 11 0 -3 1 0 -31 -3 0-2 -3 01 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 10 0 1C A E +⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫ ⎪ =−−−→ ⎪ ⎪ ⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 1(1)22 1 -21 0 -3-2 -3 01 0 01 1 00 0 1R +⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
11223221122()1()1
(1)1
1
1
2
2
112
2
2 0 -22 0 -21 - -30 - -2-2 -2 0-2 -2 01 - 0 1 - 01 0 1 0 0 0 10 0 1C R C +-⋅+-⋅+⋅⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212
12
2 0 00 - -2-2 -2 -21 - 11 1 0 0 1⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ 3331122(1)1(4)2(4)21
1
22112
2
2 0 02 0 02 0 - -20 - 00 -2 -20 -2 61 - 1 1 - 31 1 1 -1 0 0 10 0 1R R R +⋅+-⋅+-⋅⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
−−−→−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1211
212
0 00 - 00 0 61 - 31 -10 0 1A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
12
11
12
22
2
132
,1
1,600
16T
D P P A P -
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪∴=
-
=-=-
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝
⎭
且 经满秩线性变换Py x =，二次型化为标准形2
22
1
1232
26f y y y =-+．
如果对上面的矩阵1A 再作合同变换
(2)(2)2
2
12002
0001002000600611311311111100
100
1C R A ⋅⋅⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪
⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−
→
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
这时，11321
11,2
00
16T P P A P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，二次型又可化标准形为
222
123226f y y y =-+
由此例可知，二次型的标准型不是唯一的．但如果用正交变换，则标准型是唯一的． 例6．16 化二次型
f =x 12+2x 22+5x 32+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3
成标准形，并求所用的变换矩阵．
解 由于f 中含变换x 1的平方项，故把含x 1的项归并起来，配方可得
f =x 12+2x 1x 2+2x 1x 3+2x 22+5x 32+6x 2x 3
=(x 1+x 2+x 3)2-x 22-x 32-2x 2x 3+2x 22+5x 32+6x 2x 3 =(x 1+x 2+x 3)2+x 22+4x 2x 3+4x 32， 上式右端除第一项外已不再含x 1．继续配方，可得
f =(x 1+x 2+x 3)2+(x 2+2x 3)2
令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232112x y x x y x x x y ，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+-=3
332232112y x y y x y y y x ，就把f 化成标准形（规范形）f =y 12+y 22，所用变换矩阵为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=100210111C (|C |=1≠0)
提示：
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333223
2112x y x x y x x x y ⇔⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********x x x y y y
则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213211
321100210111100210111y y y y y y x x x 一般地，任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形或规范形． 提示：在f 中不含平方项，由于含有x 1x 2乘积项，故令
x 1=y 1+y 2，x 2=y 1-y 2
在此变换下有x 1x 2=y 12-y 22．先作变换
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=3
32122
11y x y y x y y x 则
f =2y 12-2y 22-4y 1y 3+8y 2y 3
=2y 12-4y 1y 3+2y 32-2y 22+8y 2y 3-2y 32
=2(y 1-y 3)2-2y 22+8y 2y 3-2y 32 =2(y 1-y 3)2-2y 22+8y 2y 3-8y 32+6y 32
=2(y 1-y 3)2-2(y 2-2y 3)2+6y 32
由
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3
3212211y x y y x y y x ，⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=
3
3322321616221612
1z y z z y z z y
得x =C z ，其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=61
00
61
2121632121610
062210
6102
1100011011C 例6．17 化二次曲线2
2
42441x xy y x y --++=为标准型，并指出它的形状． 解 先将二次型2
2
42x xy y --对应的矩阵1222A -⎛⎫
=
⎪--⎝⎭
对角化． 解特征方程
12
02
2λλ--=---，得特征值122,3λλ==-，相应的特征向量为21,12⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
．再
单位化得12,p p ⎛⎛
== ⎝⎝．所求正交变换为
122
1x x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
二次椭圆曲线化为：22
11111123)2)1x y x y x y -+++
-+=
配方得：2
2
112(3(1x y -+
+-
=
所以曲线为一双曲线．
6．5 正定矩阵
主要内容：二次型的正定性及其判别法
教学目的及要求：掌握二次型的正定性及其判别法；了解正定和负定性的一个应用——
多元函数极值判定．
教学重点：正定矩阵的判定与证明方法 教学难点：有关正定矩阵的证明方法 教学手段：讲解、练习相结合 教学过程：
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次形的秩）不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有：
定理6．10 设有二次型f =x T A x ，它的秩为r ，有两个可逆变换
x =C y 及x =P z
使
f = k 1y 12+k 2y 22+ ⋅⋅⋅ +k r y r 2（k i ≠0）
及
f = λ1z 12+λ2z 22+ ⋅⋅⋅ +λr z r 2（λi ≠0）
则k 1，k 2，⋅ ⋅ ⋅，k r 中正数的个数与λ1，λ2，⋅ ⋅ ⋅，λr 中正数的个数相等． 定理6．10称为惯性定理，证明请学生参考有关文献．
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数．若二次型f 的正惯性指数为p ，秩为r ，则f 的规范形便可确定为
f =y 12+ ⋅ ⋅ ⋅ +y p 2-y p +12- ⋅ ⋅ ⋅ -y r 2 （k i ≠0）
科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n 或负惯性指数为n 的n 元二次型．
定义6．5 n 元实二次型()T
f x X AX =称为是正定的，当且仅当对任意非零向量n
x R ∈，都
有()0T
f x X AX =>．
若对于任意n
x R ∈都有()0T
f x X A X =≥，且至少存在一个非零向量0n x R ∈，使
00
0()0T
f x X A X ==，则称二次型()f x 是半正定的．
若对于任意非零向量n
x R ∈都有()0T
f x X A X =<，则称()f x 是负定二次型；若对于任意
n x R ∈都有()0f x ≤，且至少存在一个非零向量0n
x R ∈使0()0f x =，则称二次型()f x 是半负定
的．
若既存在1n
x R ∈使1()0f x >，又存在2n
x R ∈使2()0f x <，则称()f x 是不定的． 定义6．6 n 阶实对称阵A 被称为是正定、负定、半正定、半负定或不定，当且仅当它相应的二次型T X AX 是正定、负定、半正定、半负定或不定，称阵A 正定、负定、半正定、半负定有时分别简记为0,0,0,0A A A A ><≥≤．
对于具有标准形式的二次型2
2
11n n f d x d x =++ ，则有： （1）若12,,,n d d d 全部为正数，则f 正定； （2）若12,,,n d d d 全部为负值，则f 负定；
（3）若12,,,n d d d 全部大于等于零，且至少一个是零，则f 半正定； （4）若12,,,n d d d 全部小于等于零，且至少一个是零，则f 半负定； （5）若12,,,n d d d 既有取负值的，又有取正值的，则f 是不定的．
定理6．11 n 元实二次型()T f x X AX =正定的充要条件是它的标准形的n 个系数全为正，即它的正惯性指数p n =，
证 设可逆变换x =C y 使
f (x )=f (C y )=k 1y 12+k 2y 22+ ⋅⋅⋅+ k n y n 2
先证充分性．设k i >0(i =1，2，⋅ ⋅ ⋅ ，n )．任给x ≠0，则y =C -1x ≠0，故
f (x )=k 1y 12+k 2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅+k n y n 2>0
再证必要性．用反证法．假设有k s ≤0，则当y =e s （单位坐标向量）时，f (C e s )=k s ≤0，显然C e s ≠0， 这与f 为正定相矛盾．这就证明了k i >0（i =1，2，⋅ ⋅ ⋅，n ）．
推论 n 元实二次型()T
f x X AX =正定的充要条件是二次型的矩阵A 的n 个特征值全为正数．
类似地可证明下述结论：
（1）n 元实二次型负定⇔负惯性指数=n 或的A 的n 个特征值全为负数．
（2）n 元实二次型半正定⇔正惯性指数()p r A n =<或A 的n 个特征值全大于等于零，且至
少有一个为零．
（3）n 元实二次型半负定⇔负惯性指数()q r A n =<或A 的n 个特征值全小于等于零，且至少有一个为零．
（4）n 元实二次型不定⇔,0p q ≠或的A 的n 个特征值既有正又有负．
定义6．7 设n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=，则11
11
,1,2,,k
K k kk
a a D k n a a ==
称为A 的k 阶顺序
主子式．
定理6．12 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都为正，即
011>a ，
022
2112
11>a a a a ，⋅ ⋅ ⋅，01111>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn
n n
a a a a 对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即
0)1(1111>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-rr
r r
r a a a a ，
（r =1，2，⋅ ⋅ ⋅，n ） 这个定理称为霍尔维茨定理．
例6．18 判别二次型2
2
2
123123121323(,,)56484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定．
解 f 的矩阵5242
1242
6A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
－－－－的各阶顺序主子式：
1235250,10,202
1
D D D A =>=
=>==>
所以二次型f 是正定的
例6．19 设2
22
123123231(,,)2(2)2
f x x x x x a x x x =+
+-，问a 为何值时使f 正定？
解 二次型的矩阵2
00
12202
2A a a a ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
的各阶顺序主子式：
2
12320,10,2()4
a
D D D A a =>=>==-
所以f 正定2
04
a
a ⇔-
>，即0<a<4．
判定二次型或对称阵是否正定的方法： （1） 定义，0.0n
T
x R x Ax ∀≠∈>正定；
（2）用非退化线形变换化二次型为标准型，当正惯性指数p n =时正定； （3）令0E A λ-=，求A 的全部特征根，当它全大于0时正定； （4）计算A 的各阶顺序主子式，当它们全大于0时正定，
推论 n 阶实对称矩阵A 为负定的充分必要条件是A 的k 阶顺序主子式k D 满足
),,2,1( 0)1(n k D k k
=>-
证 设A 为负定的，则A -必为正定的，对A -用定理6．12，即得此推论．
6．6 特征值、特征向量的计算与矩阵对角化的Matlab 实验
1．求矩阵的特征值与特征向量 1）特征值与特征向量
求矩阵A 的特征值调用函数 d=eig(A)，如要求特征值与特征向量，则调用函数[V ，D]=eig(A) ，V 为方阵，D 为由特征值构成的对角矩阵，V 的第i 列向量就是D 的第i 个对角元即第i 个特征值所对应的特征向量．
例6．20 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----=11
2202
213A 的特征值与特征向量． >>A=[3 -1 -2;2 0 -2;2 -1 -1]
>>eig(A)' %转量是为了将特征值写成行向量形式， >>[V ，D]=eig(A); A =
3 -1 -2 2 0 -2 2 -1 -1 ans =
1，0000 0，0000 1，0000 V =
0，7276 -0，5774 0，6230 0，4851 -0，5774 -0，2417 0，4851 -0，5774 0，7439 D=
1，0000 0 0 0 0 0 0 0 1，0000 2）正定矩阵的判断
求出矩阵A 的特征值，如特征值全大于零，则矩阵A 为正定矩阵；如特征值全小于零，则矩阵
A 为负定矩阵．
2．矩阵的对角化
矩阵A 可对角化的充要条件是：A 是方阵，且A 有n 个线性无关的特征向量．
调用函数[V ，D]=eig(A)，如果矩阵V 的行列式不等于零，则矩阵V 可通过相似变换化为对角矩阵，即有 1
V
AV D -=，D 是对角矩阵．
如果矩阵V 的行列式不等于零，矩阵A 不能对角化，但仍可以通过相似变换化为Jordan 矩阵，实现这一目的可调用函数 [P ，J]=jordan(A)，P 是可逆方阵，J 是Jordan 矩阵．
例6．21 化矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=12
2212
221A 为对角矩阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=-50
0010
001
1
AV V 例6．22 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----=41
1301
621A 的Jordan 标准型． 如果矩阵A 可对角化，调用[P ，J]=jordan(A)后所得到的J 将是对角矩阵．
如果A 是对称矩阵，调用函数[P ，D]=eig(A)的结果，P 是正交矩阵，D 是对角矩阵，可用正交矩阵P 化A 为对角矩阵．
例6．23 用正交变换化对称矩⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=12
2212
221A 为对角矩阵． 3．求二次型的标准型
通过正交变换将二次型化为标准型，要先将二次型所对应的对称矩阵A 求出，调用函数[P ，D]=eig(A)将A 对角化．
例6．24 化二次型121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++为标准型．。