贵州省纳雍县东关中学九年级数学下学期竞赛试卷 北师大版

纳雍县东关中学2012年九年级数学竞赛试卷
一，选择（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 1.如果2009
20090a
b +=，那么 ( )
A ．2009
()0a b +=
B ．2009
()
0a b -=
C ．(ab)2009
=0
D ．2009()0a b +=
2.. 已知
115a b a b +=
+，则b a
a b
+的值是 ( ) A ．5 B ．7 C ．3 D ．1
3
3. 甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%.最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙.甲在上述股票交易中 ( )
A ．不赚不赔
B ．盈利1元 C.盈利9元 D ．亏本1.1元 4．方程1)
1(3
2
=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）
A ． 5个
B ． 4个
C ． 3个
D ． 2个
5．已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6、如图3，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，
∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于 （ ） （A ）134 （B ）38
（C ）12 （D ）310
二、填空题：(本题有5小题,每小题5分,共25分。

)
7、设32213031
x 2(a x a x a x a +++=+）,这是关于x 的一个恒等式(即对于任意x 都成立)。

则31a a +的值是 8.已知： 4x
=9y
=6， 则
y
1
x 1+等于 . 9．在反比例函数 y=
x
k 的图象上有一点A ，它的横坐标n 使方程012
=-+-n nx x 有两个相等的实数根，以点 A 与 B(1,0)、C(4,0) 为顶点的三角形面积等于6，则反比例函数的解析式为 。

10、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=2×1=2，
3!＝3×2×1=6，4!=4×3×2×1，…，则100!
98!＝ 。

11. 如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2 的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为_______. 三、解答题（本题有4小题，共45分） 12.(8分)解方程： )3)(2(1)2)(1(1101+++++++x x x x x ＋…＋)10)(9(1++x x ＝5
2
13.(12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 在⊙O 上，并且OC AB ⊥，P 为⊙O 上的一点，位
于B 、C 之间，直线CP 与AB 相交于点Q ，过点Q 作直线与AB 垂直，交直线AP 于R . 求证：BQ =QR .
14、(12分)绿都超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.小明两次去该超市购物，分别付款198元和554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？
（第11题）
(第13题)
15．(13分)已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，
垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.
（1）如图15-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长； （2）如图15-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横
坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；
（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续
整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.
x
y x y 8
8-==
或 10.9900 11.2 12. 解：∵1
(x+1)(x+2)＝1 x+1－1 x+2， 1(x+2)(x+3)＝1 x+2－1
x+3
, …，
1(x+9)(x+10)＝1 x+9－1
x+10
∴原方程可化为：1 x+10＋1 x+1－1 x+2＋1 x+2－1 x+3＋…＋1 x+9－1
x+10＝52
即：1 x+1＝52，解得：x ＝3
2
，…………………
13.证明：如图，连结PB 、BR ，………………(1分)
则45,90.APC APB ∠=∠=…………(3分)
故18045BPQ APC APB ∠=-∠-∠=………………(5分)
图15-2
又∵90APB BQR ∠==∠,∴B 、Q 、R 、P 四点共圆.…………(9分) 于是45BRQ BPQ ∠=∠=,从而BQR ∆
∴BQ QR = ………………………… (12分)
14.函数解析式为：
y ＝x (0≤x<200) y=0.9x (200≤x<500) y=0.8x+50 (x ≥500) 答案为：712.4元或730元
15．解：（1）方法一：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=2
93212=⨯.
设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=b k b
k 32
921
解得⎪⎩⎪⎨⎧-==232b k ∴直线A 1A 3的解析式为 2
32-=x y .
∴CB 2=2×25232=- . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=-.
方法二：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3， ∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯ . 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= 25)2921(21=+ .
∴CA 2=CB 2-A 2B 2=2
1225=- .
（2）方法一：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为 n-1、n 、n+1 .
则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n .
设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++-+=+++---=+-1)1()1(2
1)1(1
)1()1(21
)1(22n n b k n n n b k n 解得⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-=232112n b n k
(第13题)
∴直线A 1A 3的解析式为 2321)1(2+--=n x n y . -
∴CB 2=23212321)1(22+-=+--n n n n n .
∴CA 2=CB 2-A 2B 2=2
1121232122=-+-+-n n n n . 方法二：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1 .
则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n
由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=2
1(A 1B 1+A 3B 3)
= ]1)1()1(211)1()1(21[2122++-+++---n n n n =23212+-n n .∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21)121(232122=-+-+-n n n n .
（3）当a ＞0时，CA 2=a ；当a ＜0时，CA 2=-a.。