江苏省无锡市辅仁高级中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市辅仁高级中学2020年高二数学文上学期
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
用秦九韶算法计算多项式当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）
A．6，
6 B． 5, 6 C． 5, 5
D． 6, 5
参考答案：
A
2. 已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数
的取值范围是
（）
A.B. C.D.
参考答案：
C
略
3. 已知a、b、c、p为空间的任意向量，O、A、B、C为空间的任意点，有下列命题
①a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
②向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝x a ＋y b
③若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也可构成空间的另一个基底
④若OA、OB、OC不构成空间的一个基底，则O、A、B、C一定共面
其中真命题的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
B
略
4. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
C
5. 要得到函数y=sin()的图象，需将函数的图象
(A)向左平单位(B)向右平移单位
(C)向左平移单位(D)向右平移单位
参考答案：
B
6. 椭圆的焦点在x轴上，且，，
则这样的椭圆的个数为（）
A. 10
B. 12
C. 20
D. 21
参考答案：
D
【分析】
结合椭圆的几何性质，利用列举法判断出椭圆的个数.
【详解】由于椭圆焦点在轴上，所以.有三种取值，有
七种取值，故椭圆的个数有种.
故选：D
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.
7. 点在椭圆上，则的最大值为
A． B． C．5 D．6
参考答案：
A
8. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
参考答案：
A
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，利用坐标计算即可得到结果
【详解】
则
的不同值得个数为
故选
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
求得函数的导数，再由，即可求解。

【详解】由题意，函数，则
，
则，故选A。

【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数运算公式，以
及导数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

10. 函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵，∴y=x（3﹣2x）=?2x（3﹣2x）=，
当且仅当x=时取等号．
∴函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为__________参考答案：
略
12. 定积分的值为_____ ．
参考答案：
13. 已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰好有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（，+∞）
【考点】I3：直线的斜率；3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．
【分析】画出函数的图象，根据条件可得当直线y=mx和y=x2相交，把直线y=mx代入
y=x2，利用判别式△大于零，
求得实数m的取值范围．
【解答】解：根据直线y=mx（m∈R）与函数的图象
恰好有三个不同的公共点，
在同一个坐标系中，画出直线y=mx（m∈R）与
函数的图象．
则由图象可得，当直线y=mx和y=x2（x＞0）相交时，
直线y=mx和函数f（x）的图象（图中红线）有3个交点．
由可得 x2﹣2mx+2=0，再由判别式△=4m2﹣8＞0，
求得m＞，或 m＜﹣（舍去）．
故m的范围为（，+∞），
故答案为（，+∞）．
14. 已知球的半径为1，、是球面上两点，线段的长度为，则、两点的球面距离为________．
参考答案：
略
15. 设，分别是椭圆的左、右焦点．若点在椭圆上，且
，则=__________．
参考答案：
略
16. 若，则
参考答案：
略
17. 若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为．
参考答案：
5或12
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】椭圆+=1的离心率为， =或=，即可求出实数k 的值．
【解答】解：∵椭圆+=1的离心率为，
∴=或=，
∴k=5或12，
故答案为：5或12．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数.
（1）若a=2，解关于x的不等式；
（2）若对于，恒成立，求实数x的取值范围.
参考答案：
（1）若a=2，不等式化为，……………………1分
∴不等式的解集为.……………………………………4分（2）∵，令，…………………………………………………………6分
则是关于a的一次函数，且一次项的系数为，…………………7分
∴当x-1=0时，不合题意；…………………………………………………8分
当时，为上的增函数，……………………………………………9分
∵恒成立，所以只要使的最大值即可，…………………10分
即，解得，…………………………………11分
综上，x的取值范围是.……………………………………………………………12分19. （本小题满分13分）
已知椭圆: 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线交椭圆于两点，在直线上存在点,使得为等边三角形,求的值.
参考答案：
(Ⅰ)；(Ⅱ)或
(Ⅰ)因为椭圆:的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为的菱形的四个顶点, 所以,
椭圆的方程为……………… 4分
(Ⅱ)设,则
（i）当直线的斜率为0时，的垂直平分线就是轴，
轴与直线的交点为,
又，
所以是等边三角形,所以满足条件；………………6分
(ii)当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为
所以，化简得解得
所以………………8分
又的中垂线为，它的交点记为
由解得
则……………… 10分
因为为等边三角形，所以应有
代入得到，解得（舍），
综上可知，或……………… 13分
20. 在椭圆上求一点P，使它到原点的距离为5，并求三角形F1PF2的面积．
参考答案：
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】方法一：设椭圆参数方程，由题意两点之间的距离公式，即可求得P点坐标，利用三角形的面积公式三角形F1PF2的面积；
方法二：设P点坐标，利用两点之间的距离公式与椭圆的方程，求得P点坐标，利用三角
形的面积公式三角形F1PF2的面积．
【解答】解：方法一：设P（2cosθ，3sinθ），由题意可知：（3sinθ）2+
（2cosθ）2=25，解得：sinθ=±，cosθ=±，
∴P（±4，±3），即P（4，3），（﹣4，3），（4，﹣3），（﹣4，﹣3）
椭圆焦点坐标F1（0，﹣5），F2（0，5），
设P（4，3），P到y轴的距离d=4
三角形F1PF2的面积S=×丨F1F2丨×d=20，
∴三角形F1PF2的面积20．
方法二：设P（x，y），则，解得：，
∴P（±4，±3），即P（4，3），（﹣4，3），（4，﹣3），（﹣4，﹣3）
椭圆焦点坐标F1（0，﹣5），F2（0，5），
设P（4，3），P到y轴的距离d=4
三角形F1PF2的面积S=×丨F1F2丨×d=20，
∴三角形F1PF2的面积20．
21. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，，
．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线A1B1与平面BB1C1C所成角的正弦值．
参考答案：
(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)如图做辅助线，D为AB中点，连，，由是等边三角形可知，，且，则是等边三角形，，故
平面，平面，那么得证。

(Ⅱ)建立空间直角坐标系以D为原点，先根据已知求平面的一个法向量，再求向量，设直线与平面所成的角为，则，计算即得.
【详解】(Ⅰ)取中点，连,因为，
所以,所以平面因为平面
所以.
(Ⅱ)以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得, ,,,
设平面的一个法向量为
则，而.
所以.又，设直线与平面所成的角,
则
22. 已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆
的公共弦长为
（1）求椭圆C的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）（2）
试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点
，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为
，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得
，得出中．由此可得点的横坐标的范围．
试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以
，解得.所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由
得，故，所以，
.因为，所以，即，所以
.当时，，所以；当
时，，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为
.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式
来解决.。