专题29 等差数列押题专练-2018年高考数学理一轮复习资

1．数列{a n }为等差数列，a 1，a 2， a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )
A ．5
B ．－1
C ．0
D ．1
解析：设公差为d ，由已知得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d 2＝a 1a 1＋2d a 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1d ＝0， 所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D 。

答案：D
2．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )
A ．13
B ．26
C ．52
D ．156
解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10，
∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4。

∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102
＝26。

答案：B
3．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )
A ．297
B ．144
C ．99
D ．66
解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，
即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋9×82×(－2)＝99。

答案：C
4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
解析：2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11a 1＋a 112＝11·2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A 。

答案：A
5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的
值等于( )
A ．2 011
B ．－2 012
C ．2 014
D ．－2 013
解析：等差数列中，S n ＝na 1＋n n －12d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S n n }是首项为a 1＝－2
012，公差为d 2的等差数列。

因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d 2＝2 002，d 2＝1，
所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C 。

答案：C
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100
个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则
最小的1份为( )
A.53
B.56
C.103
D.116
解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝
a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a
－2d ＝20－553＝53。

答案：A
7．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 6成等比数列，则S 5＝__________。

8．在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S n 为其前n 项之和，且S 7＝S 17，则S n 为最小时的n 的值为__________。

解析：由S 7＝S 17，知a 8＋a 9＋…＋a 17＝0，根据等差数列的性质，a 8＋a 9＋…＋a 17中a 8＋a 17＝a 9＋a 16＝…＝a 12＋a 13，因此a 12＋a 13＝0，从而a 12＜0，a 13＞0，故n 为12。

答案：12
9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是__________。

解析：方法一：S 9＝9a 1＋36d ，
又⎩⎪⎨⎪⎧
－1＜a 1＋2d ＜10＜a 1＋5d ＜3，依据线性规划知识，得 －3＜S 9＜21。

方法二：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6。

因为－3＜3a 3＜3,0＜6a 6＜18，
两式相加即得－3＜S 9＜21。

方法三：由题意可知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2a 6＋2a 9， 而a 3＋a 9＝2a 6，
所以S 9＝3a 3＋6a 6，
又－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，故－3＜S 9＜21。

答案：(－3,21)
10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0。

设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36。

(1)求d 及S n ；
(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65。

11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，S 2 009＝0。

(1)求S n 的最小值及此时n 的值；
(2)求n 的取值集合，使a n ≥S n 。

解析：(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2009a 1＋2 009×2 0082
d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1，所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008
(2 009n －n 2)。

因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1。

(2)a n ＝1 005－n 1 004a 1，由S n ≤a n 得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1。

因为a 1＜0，所以n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得1≤n ≤2 010。

故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}。

12．已知数列{a n }，a 1＝－5 ，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列。

(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{|a n |}的前n 项和。

解析：(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，
∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，
整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3。

∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列。

∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8。

(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3n ＋8，n ≤23n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n 。

当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n 2＝－3n 22＋132n ； 当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82
＝3n 22－132n ＋14； 综上，S n
＝⎩⎨⎧
－32n 2＋132n ，n ≤232n 2－132n ＋14，n ≥3。