四年级奥数第4讲数阵图

第4讲数阵图之杨若古兰创作
一、常识要点
在神奇的数学王国中，有一类非常风趣的数学成绩，它变更多端，惹人入胜，奇妙无量.它就是数阵，一座真实的数字迷宫，它对爱好探究数字规律的人有着极大的吸引力，以致有些人留连其中，用平生的精力来研讨它的变更.
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，成心思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13.右上图就更成心思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，和每条对角线上的三个数字之和都等于15，是不是很奇妙！
上面两个图就是数阵图.一些数按照必定的规则，填在某一特定图形的规定地位上，这类图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的品种繁多，灿艳多彩，这里只介绍两种数阵图，即开放型数阵图和封闭型数阵图.
二、精讲精练
例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.
解析：两头方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“堆叠数”.也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只要堆叠数被加了两次，即堆叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以
(1+2+3+4+5)+堆叠数=9+9，
堆叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3.
堆叠数求出来了，其余各数就好填了(见右图).
练习1：
1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10.
2、将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10.
例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等.
解析：与例1分歧的地方是已知“堆叠数”为5，而不晓得两条直线上的三个数之和都等于什么数.所以，必须先求出这个“和”.根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只要堆叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.
是以，两条直线上另两个数(非“堆叠数”)的和等于10-5=5.在剩下的四个数1，2，3，4中，只要1+4=2+ 3=5.故有右图的填法.
练习2：
1、将10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等.
例3：把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.
解析：例1是晓得每条直线上的三数之和，不晓得堆叠数；例2是晓得堆叠数，不晓得两条直线上的三个数之和；本例是这两样都不晓得.但由例1、例2的分析晓得，
(1+2+3+4+5)+堆叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15+堆叠数)÷2.
因为每条直线上的三数之和是整数，所以堆叠数只可能是1，3或5.
若“堆叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8.
若“堆叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9.
若“堆叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10.
填法见右下图.
由以上几例看出，求出堆叠数是解决
数阵成绩的关键.
(1)若已知每条直线上各数之和，则堆叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷堆叠次数.如例1.
(2)若已知堆叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+堆叠数×堆叠次数)÷直线条数.如例2.
(3)若堆叠数与每条直线上的各数之和都不晓得，则要从堆叠数的可能取值分析讨论，如例3.
练习3：
1、将3～9这七个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20.
2、将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，而且尽可能大.
:
例4：将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.
解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为9×3 = 27，27－21 = 6，这个6就是因为三个顶点都被反复算了一次.所以三个顶点的和为6，在1-6中，只能选
1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可.
a .
b .
c .
d . . f . 4： 1、把1-8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.
例5：把20之内的质数分别填入下图的一个○中，使得图顶用箭头连接起来的四个数之和都相等.
解析 ：由上图看出，三组数都包含左、右两端的数，所以每组数的两头两数之和必定
相等.20之内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13，因而得到下图的填法.
练习5：
1、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为
20,21,22.
例6：在右图的六个○内各填入一个质数（可取不异的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.
解析：因为大三角形的三个顶点与两头倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之3 1 6
2 4
5 3 1 5 3 4 2
6 2 6 1 5 3 4 2 4 3
1 5 6 3 5 1 6
2 4
3
4 2 6 1 5
和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法.
练习6：
1、把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.
2、把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.
三、课后巩固
1、把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.
2、把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.
3、把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.
4、把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.
5、将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.
6、把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.
7、把0~9填入
,使每4个小三角形构成的大三角形的
和相等
.
8、图有五个圆,它们订交彼此分成9个区域,此刻两个区域里曾经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数,
使每圆内的和都等于15.
9、把1~8,
.
10、将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.
11、将1~10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个顶点上○内数的和也相等.。