四川省绵阳市科学城一中2012届高三高考模拟考试(一)

科学城一中高12级高考模拟考试（一）
数学试题(理科)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数
()
1a i a R i
+∈+是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）
A ．1-
B 1
C 2-
D 2
2. 由正数组成的等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝ （ ）
A ．8
B ．4
C ．16
D ．12
3. 已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β
的一个充分条件是 ( ) A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥β且n ∥β
C ．m ∥β且n ∥l 2
D ．m ∥l 1且n ∥l 2
4. 直角坐标系xOy 中，(2,1),
(3,)A B A C k ==
，若三角形ABC
是直角三角形，则k 的可能值的
个数是 （ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
5. 甲乙两人独立地解决同一问题，甲解决的概率为1P ，乙解决的概率为2P ，那么恰好有一人解
决的概率是 （ ）
A. 21P P
B. )1()1(1221P P P P -+-
C. 211P P - D ．)1)(1(121P P ---
6. 已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2
→＝0，
tan ∠PF 1F 2＝1
2，则椭圆的离心率为 ( )
A ．13 B. 2
1
C . 23 D. 53
7. 已知)
1tan()1tan(,2sin 2sin 5
-+=ααα则
的值是 （ ） A ．－2 B ．－
2
3 C ．
2
3 D ．2
8. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨
乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获利5万元，每吨乙产品可获利3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一个生产周期内可获得的最大利润是 （ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
9. 正四面体的内切球，与各棱都相切的球，外接球的半径之比为 （ ）
A ．1：2：3
B ．1：3：3
C ．1：3：2
D ．1：2：3
10. 已知()32()0,f x ax bx cx d a =+++≠记()243,b ac ∆=-则当
00()a f x ∆≤>且时，的大致图像为 （ ）
11. 函数()y f x =定义在R 上，且满足：①()f x 是偶函数；②(1)f x -是奇函数，且当01x <≤时，
3()log f x x
=，则方程()4(1)f x f +=在区间(2,10)-内的所有实数根之和为 （ ）
A. 28
B. 26
C. 24
D. 22
12. 设集合{1,2,3,4,5,6}I =，集合A I ⊆，B I ⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少有2个元素，
且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合A 、B 有 （ ）
A. 33组
B. 29组
C. 16组
D. 7组 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. 已知函数f (x )＝3x ＋3，若f (lg a )＝4，则f (lg 1
a
)的值等于________．
14. 已知5)1cos (+θx 的展开式中x 2的系数与4
)
45(+
x 的展开式中x 3的二项式系数相等，
则cos θ= .
15. 已知P 是抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的
距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
16. 已知集合{}R y x y x f y x f y f x f x f M ∈-⋅+=-=,),()()()()(22,有下列命题
①若11,0()1,
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩，则1()f x M ∈；
②若2()2f x x =，则2()f x M ∈；
③若3()f x M ∈，则3()y f x =的图象关于原点对称； ④若4()f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ，总有
414212
()()
0f x f x x x -<-成立.
其中所有正确命题的序号是__________。

（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
A.
y
o
x D.
y
o
x
y o
x
C.
y o
x
B.
17. （本题满分12分）
已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C ，向量()22sin ,cos sin p A A A =-+
与向量
()sin cos ,1sin q A A A =-+
是共线向量.
(1)求角A.
(2)求函数232sin cos 2
C B y B -=+的最大值.
18. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用
分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
(1)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(2)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝λA 1B 1→
. (1)证明：PN ⊥AM .
(2)若平面 PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置．
20. （本小题满分12分）
已知双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且与以点)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C 的一个顶点A '与点A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k
（1）求双曲线的方程；
（2）当1=k 时，在双曲线C 上支求点B ，使其与直线l 的距离为2
（3）当10<≤k 时，若双曲线C 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及
相应点B 的坐标。

21. （本小题满分12分）
已知=y )(x f 为二次函数，不等式02)(<+x f 的解集为1(1,
)
3-，且对任意α，β∈R 恒有
(s in )0f α≤，(2cos )0f β+≥.数列}{n a 满足11a =，1131()()
n n a n f a *
+=-
∈'Ν
（1）求函数)(x f y =的解析式； （2）设n
n a b 1=
，求数列}{n b 的通项公式；
（3）若（2）中数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列{cos ()}n n S b π⋅的前n 项和n T .
22. （本小题满分14分）
已知函数.1)1()1ln()(+---=x k x x f （1）求函数)(x f 的极值点;
（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围; （3）证明：
)1,(6
)
1
)(4(1
ln 15
4ln 83ln 3
2ln 2
>∈-+<
-+
+++n N n n n n n .
图8—10
科学城一中高12级高考模拟考试（一）
数学试题(理科)――参考答案
一、选择题 ACDBB ；DBDBC ；CB 二、填空题 13.2 ; 14.5
10±;15.117- 16.②③
三、解答题
17．解：（１）,p q
共线()()()()22sin 1sin cos sin cos sin A A A A A A ∴-+=+- 23s i n 4A ⇒=
而A 为锐角，所以3sin 2
A =
3
A π
⇒=
…6分
（２）
2
32sin cos
2
C B y B -=+2332sin cos 2B B B ππ⎛⎫
---
⎪⎝⎭=+
22s i n c o s (2)3B B π
=+
-13
1cos 2cos 2sin 222
B B B =-++
31
sin 2cos 212
2
B B =
-
+s i n (2)
1
6B π
=-+
锐角三角形中，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-⇒⎪⎭⎫
⎝⎛∈∴65,6622,
6
πππππB B 262
3
B B π
π
π
∴-
=
⇒=
时，max 2y =………….12分
18.解 (1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．――――3分
记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P (A )＝C 14 C 1
6 C 210＝8
15
.
――－6分
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.
B 表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．A i (i ＝0,1,2)与B 独立，
P (ξ＝0)＝P (A 0B )＝P (A 0)·P (B )＝C 24C 210·C 13
C 15＝675
，
P (ξ＝1)＝P (A 0·B ＋A 1·B )＝P (A 0)·P (B )＋P (A 1)·P (B )＝C 24C 210·C 12
C 15＋C 16 C 14 C 210·C 1
3C 15＝2875
，
P (ξ＝3)＝P (A 2·B )＝P (A 2)·P (B )＝C 26C 210·C 1
2C 15＝10
75
，P (ξ＝2)＝1－[P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)
＋P (ξ＝3)]＝31
75
. ―――10分
故ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3 P 675 2875 3175 1075
Eξ＝0×675＋1×2875＋2×3175＋3×1075＝8
5
. ―――――12分
19(1) 如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz .
则P (λ，0,1)，N (12，12，0)，M (0,1，12)，从而PN →＝(12－λ，1
2
，－1)，
AM →
＝(0,1，12)．
PN →
·AM →＝(12－λ)×0＋12×1－1×12
＝0，∴PN ⊥AM . ――――6分
（2） 平面ABC 的一个法向量为n ＝AA 1
→＝(0,0,1)．设平面PMN 的一个法向量为
m ＝(x ，y ，z )，由(1)得MP →＝(λ，－1，1
2)．
由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·NP →＝0，m ·MP →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
(λ－12)x －12
y ＋z ＝0，λx －y ＋1
2
z ＝0，令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．
∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos〈m ，n 〉|＝|m ·n |
|m ||n |
＝
|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22
，得λ＝－12. 故P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝1
2. 即
)1,0,21(-
p
―――12分
20. 解 (1)由已知，双曲线的渐近线为x y ±=，A ')2,0(
12
2
y
2
2
=-
∴x
：
C 的方程为 -----3分
(2)设)2,(2+x x B 是双曲线C 上到直线2:-=x y l 的距离为2的点。

由公式：
2,222
222
==
⇒=
-
+-
y x x x )2,2(B ∴ ――7分
（3）当10<≤k 时，双曲线C 的上支在直线l 的上方l 在直线B ∴的上方，
设直线2)-k(x y :l ='与直线l 平行，两线间距离为2，且l '在l 上方，双曲线上只有一个点B 到l 的距离为2，等价于直线l '与双曲线有且只有一个公共点
设l '的方程为：m kx y += 由l 上的点A 到l '的距离为2，
可知
21
22
=
++k m k ，)1(22
k k m -+±=∴
因为直线l ′在直线l 的上方，所以m ＝2（
-+12
k k ）
．
由y 2
22消⎩⎨⎧+==-m
kx y x y 22)1(2
22=
-++-m mkx x k
12
≠k
)123(8)22(
4)2)(1(442
2
2
22
2
2
2
+-=+-=---=∆∴k k k k m
k m k k m
令0=∆ 由5
52k 010==⇒<≤或k k
当2
,02m 0=
=⇒==y x ，k 时 )2,0(B
当10,225
10m 5
52=
=⇒=
=
y x ，k 时 )10,22(B ――12分
21.解：（1）依题意，)3
1
)(1(2)(-+=+x x a x f )0(>a ,
即23
3
2)(2--
+=a x a ax x f ........................................2分
令π
βπ
α==
,2，则sin 1,cos 1αβ==-，有(1)0,(21)0f f ≤-≥，
得0)1(=f ，即0
2332=--+a a a ，得2
3=
a .2
35()2
2
f x x x ∴=
+-
. .........4分
（2）'()31f x x =+，则1311311'()
31
31
n n n n n a a f a a a +=-=-
=
++ .即1
31+=
+n n n a a a ，
两边取倒数，得n
n a a 1311
+
=+，即n n b b +=+31.∴ 数列{}n b 是首项为111
1==
a b ，公差为3
的等差数
列.
1(1)332()n b n n n *
∴=+-⋅=-∈N (8)
分
（3）cos()cos(32)cos()(1)n n b n n πππ=-==- cos()(1)n n n n S b S π∴⋅=-⋅
n
n
n S S S S S T )1(4321-+-+-+-=∴ .
①当n 为偶数时
2143124()()()n n n n T S S S S S S b b b -=-+-++-=+++
2
2()322
(432)2
4
4
n n b b n n n
n ++==
+-=
；
②当n 为奇数时
2
13(1)2(1)
(132)
4
2
n n n n n n n T T S --+-+-=-=
-
2
321
4
n n --+=
综上，22321
(4
32(4
n n n n T n n n ⎧--+⎪
⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数),为偶数）.…………………………………12分.
22．解：(1）)(x f 的定义域为（1，+∞），k x x f --=
1
1)(/。

┉┉1分
当0≤k 时，0)(,1/>∴>-x f x ，则)(x f 在（1，+∞）上是增函数。

)(x f 在（1，+∞）上无极值点。

┉┉2分
当0>k 时，令0)(/=x f ，则k
x 11+
=。

┉┉3分
所以当)11,1(k
x +
∈时，01
1111
1)(/=--+
>
--=
k k k x x f ，∴)(x f 在)11,1(k
+
上是增函数，
当),11(+∞+
∈k
x 时，01
1111
1)(/
=--+
<
--=
k k k x x f ，
∴)(x f 在),11(+∞+k
上是减函数。

∴k
x 11+
=时，)(x f 取得极大值。

综上可知，当0≤k 时，)(x f 无极值点；
当0>k 时，)(x f 有唯一极值点k
x 11+=。

┉┉4分
(2）由1）可知，当0≤k 时，01)2(>-=k f ，0)(≤x f 不成立。

故只需考虑0>k 。

由1）知，k k
f x f ln )11()(max -=+
=，
若0)(≤x f 恒成立，只需0ln )11()(max ≤-=+
=k k
f x f 即可，
化简得：1≥k 。

所以k 的取值范围是[1，+∞）。

┉┉9分 (3）由2）知，.11ln 1>-<=，x x x ：k 时理解得当
∴2
233)1)(1()1)(1(1ln +-<++-=-<n n n n n n n ┉┉12分 ∴
3
11
ln 2
+<
-n n n )1,(>∈n N n
)
1,(6
)
1)(4()1(2
)
13(3
1)
1543(3
11
ln 15
4ln 8
3ln 32ln 2
>∈-+=
-++⨯
=+++++<
-+++
+n N n n n n n n n n ┉┉14分。