高考数学预测卷四.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
江苏省2015届高考数学预测卷四
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合
__ （0，1） ___．
2. 等差数列{}n a 中的1a 、2027a 是函数68)(2+-=x x x f 的两个零点，则
1014
2l o g a =___3_____． 3．若复数2
(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为_____0__.
10.4．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,且0)()(＞x f x f -'（其中)(x f '是)(x f 的导函数）恒成立.若)1(,2
)
2(ln ,3)3(ln ef c f b f a -===,则c b a ,,的大小关___c b a ＞＞_____.
5. 已知函数)4
sin(2)(π
αα+
=f ,其中角α的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重
合,终边经过点),(y x P ,且πα≤≤0.若点),(y x P 为平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥≥+y x y y x 1
上的一个动点，则
)(αf 的取值范围是__
[]2,2______.
6. 在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且CD BC =,点O 在线段CD 上（与点D C ,不重合）若AC x AB x AO )1(-+=,则x 的取值范围是___()0,1-____.
7. 等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为 99 .
8. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-．3
C π
∠=，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为
33
4π
，则ABC ∆的形状为___等边三角形_____. 9. 记等比数列{}n a 的前n 项积为T n ()n N *
∈ ，已知1120m m m a a a -+-= ，且T 2m-1=128，则
m= 4 . 10.
若
函
数
()sin()3sin()(,0)
2
f x x x x R π
πωωω=-++∈>满足
()
2,f f αβ=-=，且|α-β|的最小值为π2
, 则函数()f x 的单调增区间为
__[2k π-
5π6 ,2k π+π
6
](k ∈Z)______. 11. 已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点
重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A .若OA b =,则该双曲线的离心率为________2__________.
12. 已知()g x 是R 上的奇函数，当0x <时，ln (()1)x g x =--，
函数3(0)
()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩
,若2
(2)()f x f x -> ，则实数x 的取值范围是_（-2,1）___．
13. 已知实数x ，y ，z ，给出下列命题：
①若1x >，1y >，且ln ,1,4ln x y 成等比数列，则xy 有最小值e ； ②若x ，y ，z 为正实数，且满足12
2
2
=++z y x ，则
222111z
y x ++的最小值为9； ③若x 和y 为正数，y x a +=，22y xy x b ++=，xy c 2=，则a 、b 、c 可作三角
形的三边； ④若关于x 方程
24
|
|kx x x =+有4个不同的实数解，则),1(+∞∈k . 其中正确命题的序号为： ①②③ （写出所有正确结论的编号）
14. 已知函数()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()2(1)f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是
[]
1,1- ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为
4
27
，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若函数f （x ）满足：在定义域内存在实数x 0，使f （x 0+k ）= f （x 0)+ f （k ）(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”. 设0b =，若2
()
()()af x F x g x x =+关于实数a 可线性分解，求a 取值范围.
解：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或
2
3
．……………………………………………………2分 当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：
x (,0)-∞
0 2(0,)3
23 2
(,)3
+∞ ()f x ' - 0
+ 0
- ()f x
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以()f x 的极大值为24
()327
f b =+=
427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………4分
（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．
[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，
ln x x ∴<，即ln 0x x ->
22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x x
a x x -≤-……………………………………6分
令22(),([1,])ln x x t x x e x x
-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=
-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，
()t x ∴在[1,]e 上为增函数，
A
P N
M y
x
Q
min ()(1)1t x t ∴==-，
1a ∴≤-．…………………………………………………………………9分
（3）证明：2
()
()()af x F x g x x
=
+(1ln )a x x =-++ 由已知，存在00x >，使()F x 关于实数a 可线性分解，则00()()()F x a F x F a +=+， 即：00(()1ln())a x a x a -++++=00(1ln )a x x -++(1ln )a a a +-++……………10分
00ln
1x a x a +=，00x a
e x a
+=……………1………………………………………12分 01
a
x ae =
- 因为00x > 所以 1
a e
>
……………………………………………………14分 16. 已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形，AC ∩BD=O ，AA 1=23，BD ⊥A 1A ，∠BAD=∠A 1AC=60°，点M 是棱AA 1的中点。

（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面BMD ； （Ⅱ）求证：A 1O ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值。

解：略
17. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e=6
3，短轴右端点为A ，P （1,0）为线
段OA 的中点.
(I)求椭圆C 的方程；
(II) 过点P 任作一条直线与椭圆C 相交于两点M ，N ，
试问在x 上是否存在定点Q ，使得∠MQP=∠NQP ， 若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由．
解：(Ⅰ)由已知，2b =，又3
6
=e ，
即
3
642
=
-a a ，解得
32=a ， 所以椭圆C 的方程为112
42
2
=+y x . …………………4分
(Ⅱ)假设存在点)0,(0x Q 满足题设条件.
当x MN ⊥轴时，由椭圆的对称性可知恒有NQP MQP ∠=∠，即0x ∈R ； …分 当MN 与 轴不垂直时，设MN 所在直线的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程化简得：
0122)3(2
222=-+-+k x k x k ，
设),(),,(2211y x N y x M ，则3
12
,322
2212221+-=+=+k k x x k k x x , 022011x x y x x y k k NQ MQ -+-=
+121020
(1)(1)
k x k x x x x x --=+--
1202101020(1)()(1)()
()()
k x x x k x x x x x x x --+--=
--， …………………………………8分
∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++
02
2
02223
)1(23)12(2x k k x k k +++-+-= ， 若NQP MQP ∠=∠， 则0=+NQ MQ k k ， ……………10分
即[]023
)1(23)12(20
22
022=+++-+-x k k x k k k ， 整理得0(4)0k x -=，
∵k ∈R ，∴04x =.Q 的坐标为)0,4(Q .
综上,在x 轴上存在定点)0,4(Q ，使得NQP MQP ∠=∠. …………12分 18. 已知函数.ln 2)(2
ax x x x f --=
（Ⅰ）当3≥a 时，讨论函数上的单调性，在)2
1
[)(∞+x f ；
（Ⅱ）如果21,x x 是函数()x f 的两个零点，且1214x x x <<，()x f '是()x f 的导函数， 用21x x ，表示a 并证明：0)3
2(
2
1>+'x x f . 解：（Ⅰ）方法1：由题得a x x x f --='22
)(=
)0()22(2>-+-x x ax x ……（2分） 令0)(='x f 得4
16
2++-=a a x （负根舍） …………………（3分）
x
3≥a 441622++≤+∴a a a
2162+≤+∴a a 2162≤++-∴a a
故
21
4162≤++-a a …………………（5分） =
')(x f 0)22(2≤-+-x ax x 在⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,21上恒成立 故)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,21上单调递减 ………（6分）
方法2： 由题得a x x
x f --='22
)( …………………（2分）
上单减，
，在)2
1
[22)(∞+--='a x x x f a f x f x -='≤'∞+∈∴3)2
1
()()21[时，，
.)2
1
[)()21[0)(3上单减，在上恒成立，，在时，∞+∴∞+≤'≥∴x f x f a …（6分）
（Ⅱ）∵的两个零点是函数，)(21x f x x ，
0ln 2)(12111=--=ax x x x f 0ln 2)(22
222=--=ax x x x f
)(ln 20)()(ln 2121
212
12212
212x x x x x x a x x a x x x x +--=∴=----∴………（8分）
)
(31
]233[ln 2)
(3
1
26ln 2)
2(3
2
26)(ln 2)2(32
26)32(22)(211
2
121212212112122121121212
212121x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a
x x x x x x f a x x x f --+----=--++--=+-++++--=-+-+=+'∴--='， 0)2()4)(1()2(45)2(91)(2
33ln )()41(2222'
12<+--=++-=+-=+--=∈=
t t t t t t t t t t t t t t t x x t φφ，，，令 ………（13分）
0)3
2(
0)(31
02.0)1()()4,1()(2
12112>+'∴>--<--
=<∴∴x x f x x x x t t ，又上单减，在φφφ ………………………………（14分）
19．已知数列{}n a 满足：1
12312
,(3,*)n n n n k a a a a a k a n n N a -+-+====
≥∈其中0k >，
数列{}n b 满足：2
1
(1,2,3,4,)n n n n a a b n a +++=
=
（1）求1234b b b b 、、、； （2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）是否存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果
存在，求出所有的k .
解：（1）经过计算可知：451,2,a k a k =+=+
4563(1)(2)2
4k a a k k k a k a k k
++++=
==++. 求得132421
2,k b b b b k
+====.…………………………………………（4分）
（2）由条件可知：121n n n n a a k a a +--=+.…………①
类似地有：211n n n n a a k a a +-+=+.…………② ①-②有：122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+. 因此：
2211
n n n n
n n a a a a a a +-+-++=
即：2,n n b b -=故13
212312
2n n a a b b b a --+====
= 242222321
n n a a k b b b a k
-++====
= 所以：41(1)(*)22n
n k b n N k k
+-=+∈.……………………（8分） （3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数.
则由（2）可知：21221222122(1,2,3,)21
n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪
=⎨+=-⎪⎩
…………③ 由1a k Z =∈，及62
4a k Z k
=++∈可知12k =或.
当1k =时，
21
3k k
+=为整数，利用123,,a a a Z ∈，结合③式，反复递推，可知4a ，5a ，6a ，7a ，…均为整数.
当2k =时，③变为21221222122(1,2,3)5
2
n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪
=⎨=-⎪⎩………④ 我们用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数(1,2,3,)n =
1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整
数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22215
2
n n n a a a ++=-为整数，所以1
n k =+时，命题成立. 故数列{}n a 是整数列.
综上所述，k 的取值集合是{}1,2.………………………………………（14分 20．已知函数x
a
x g x x f -
==2)(,ln )((a 为实数). （I ）当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ的最小值； （II ）若方程)(5.1)
(2x g e x f =(其中71828.2=e ....)在区间[0.5，2]上有解，求实数a 的取
值范围.
（III ）若mx x x f x u 2)()(2
++=，当)(x u y =存在极值时，求m 的取值范围，并证明极
值之和小于2ln 3--.
解：（Ⅰ）当1a =时，()()()21
ln -+
=-=x
x x g x f x ϕ，则()22'111x x x x x -=-=ϕ
∵在区间（0，1]上，'()0x ϕ≤，在区间[1，+∞）上，'
()0x ϕ≥
∴()x ϕ在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增 ∴()x ϕ的最小值为()01=ϕ．……………4分
（Ⅱ）∵方程()
()x g e
x f 232=
在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21 上有解 即x a e
x
233ln 2-
=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21上有解， 即3322x x a -
=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21 上有解......................6分
令()3322x x x h -
=，x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21 ∴()()()x x x x h +-=-=112222' ∵在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,21 上，'()0h x ≥，在区间[]2,1 上，'
()0h x ≤ ∴()h x 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,21 上单调递增，在区间[]2,1 上单调递减，
又()()342,341,12
11
21-===⎪⎭⎫
⎝⎛h h h ∴()()()12h x h h ≤≤
即()3434-
≤≤x h ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈∴34,34a ………………9分 （Ⅲ）∵()()mx x x mx x x f 2ln 2x 2
2
++=++=μ
()x
mx x m x x x 1222212`
++=++=∴μ
∴当⎩⎨
⎧>--=∆0842m m 即()
2,-∞-∈m 时，()x y μ=存在极值................11分
设函数()x y μ=的极值点为21,x x 则()x y μ=的极值为()()21,x x μμ
则2
1
,2121=
-=+x x m x x ()()22
221211212ln 2ln mx x x mx x x x x +++++=+∴μμ
()()
2
ln 32ln 1212ln 22ln 22221212
2121--<---=--+-=++-++=m m m x x m x x x x x x ...........................14分。