2003-2004《微积分》(上)试卷解答

杭州商学院2003－2004学年《微积分》（上)试卷解答
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、已知()f x 的定义域为[]1,4，则(1)(3)f x f x ++的定义域为14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2、设()2arcsin
3x f x =，则其反函数1()f x -=[]3sin ,,2
x
x ππ∈-. 3
、若1
()1,1x f x x x <=-≥⎪⎩
　，则((0))f f =0.
4、2211
lim(
sin sin )1x x x x x x x
→∞++=+1。

5、要使函数sin(sin )
()x f x x
=
在0x =处连续，须补充定义(0)f =1。

6、设23(1)(1)34()5()f x f x x x +∆-=∆-∆+∆，则(1)f '=3。

7、设1()1x
f x x
=+,则dy =2
1(1)dx x -+。

8、2
()ln(1)f x x =+在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的点ξ
=1ln 2
-.
9
、曲线y =
的垂直渐近线是0,1x x ==。

10、2sin xdx =⎰sin 224
x x C -+。

二、选择题（每小题2分,共10分)
1、若0
lim ()x x f x →=∞，0
lim ()x x g x k →=,k 为常数，则必有（
)。

（A ）0
lim ()()x x f x g x →=∞
（B)0
()lim ()g x x x f x →=∞
（C )0
()
lim
()
x x f x g x →=∞ (D ）0
()
lim
()
x x g x f x →=∞
2、下列函数在()1,1-内可微的有( ）.
(A ）23
sin y x x =+ (B )22sin y x x =
（C)2cot y x x =
(D)sin y x x =+
3、若1()y x 与2()y x 的弹性分别是,a b ，则12()()y y x y x =弹性是（
）。

（A ）a b +
(B)a b - （C ）ab
（D ）(0)a
b b
≠　
4、曲线1
3
(2)y x -=-在()2,+∞内（ ）。

（A ）下降下凹 （B ）上升上凹 （C ）下降上凹 （D ）上升下凹
5、设()F x 是()f x 的一个原函数,则下式中正确的是（
）。

（A ）()
ln ()()
f x dx F x C f x =+'⎰
（B ）()
ln ()()
f x dx F x C f x '=+⎰ （C ）()
ln ()()
f x dx F x C F x =+⎰
（D ）()
ln ()()
F x dx F x C f x =+⎰
三、计算题(每小题6分，共48分）
1
、2)(34)n n n →∞
+。

解：
原极限14(1)(3)
32
n n ++=== 2、10
lim()x x
x x e →+。

解：原极限0011
ln()lim
ln()lim
20
lim x
x x x
x x e x e x e x
x x e x e
e
e e →→++++→====
3
、设()arctan f x x x =-(1)f '。

解
:
2()arctan arctan ,(1)14
x f x x x f x π
''=+
-=∴=
+　
4、已知方程x y e e xy -+=确定了函数()y y x =，求dy 。

解:方程两边关于x 求导，得x x x
y
y y e y e y
e y e
y xy y dy dx e x e x
-----'''-=+⇒=⇒=++
5、设函数f 可微，且22(sin )(cos )y f x f x =+，求y '。

解：22(sin )2sin cos (cos )2cos sin y f x x x f x x x '''=⋅-⋅
22sin 2((sin )(cos ))x f x f x ''=-
6、22(tan 3)x x x e dx -+⎰　。

解：2293sec 1tan ln 91x
x x e I x dx x x C e -⎛⎫
⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎰
7、9
20
10
420
x dx x x ++⎰。

解：101010
22
1(2)12
arctan 10(2)4404
d x x I C x ++==+++⎰ 8、2arcsin x xdx ⎰。

解323
33
11111arcsin arcsin arcsin 33333I xdx x x x x ==+=+⎰
232
111arcsin (1)366x x x =+--
3
322
11arcsin (1)39x x x C =+--
四、应用题（每小题2分，共18分）
1、当某商品以每件500元价格出售x 件时,所获利润为2
()20010000
36
x L x x =--（元),求平均成本最小时的产量及利润。

解：22
()()()50020010000300100003636
x x C x R x L x x x x =-=-++=++
10000()30036x C x x ∴=+
+，2110000
()36C x x
'=- 令()0600C x x '=⇒=，2
600
(600)2006001000010000036
L =⨯--=
2、已知曲线2y ax =与ln y x =相切,
求：(1）常数a ；（2）切点处的切线方程；
(3）该切线与两坐标轴所围图形的面积。

解：（1）2()2ax ax '=;1
(ln )x x '=。

2
ax 与ln x 相切，12ax x ∴=，且22
1ln 2ax x x a
=⇒=，1
21ln 2a x x e a ⋅=⇒= 2
12x a
=
，1
22
1122e a a e ⋅∴=⇒= （2）1122
1()ln 2
y e e ==，11
2
2121()y e e e -'==
切点处切线方程：112
21()2
y e x e --=-
（3)在切线方程中令2
1
0-=⇒=y x ，令21
210e x y =⇒=
该切线与两坐标轴所围图形的面积：21
2181
212121e e S =⋅-⋅=
五、证明题（4分）
设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 试证：存在点(),a b ξ∈,使得()()f f a b ξξ''=+-. 证明：设()()()F x f x f a b x =++- ()F x 在闭区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导，且
()()()()()
F a f a f a b a f a f b =++-=+，
()()()()()F b f b f a b b f a f b =++-=+，即()()F a F b =
()F x ∴在[],a b 上满足罗尔定理三条件,∴∃点(),a b ξ∈,使得()0F ξ'=
即()()0()()f f a b f f a b ξξξξ''''-+-=⇒=+-。