顺义区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

顺义区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把图象上各点的横坐标
扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2． 下列式子表示正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、{}00,2,3⊆{}{}22,3∈{}1,2φ∈{}
0φ⊆3． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁
殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
4． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
5． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为（ ）
120.51
x
y
z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）7． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 22
(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则点轨迹方程为（
）
O P A ． B ． C ． D ．86210x y --=86210x y +-=68210x y +-=68210
x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
9． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（
）
A ．11？
B ．12？
C ．13？
D ．14？　11．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
12．函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g （x ）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f （g （x ））=0有m 个实数根，方程g （f （x ））=0有n 个实数根，则m+n=（
）
A ．14
B ．12
C ．10
D ．8
二、填空题
13．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．
14．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单P t 位：小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了
0e
kt
P P -=0P k 10%消除的污染物，则需要___________小时.
27.1%【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
15．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则P ABC -PA PB PC ==PA PB ⊥PA PC ⊥PBC △PC 与平面所成角的正弦值为______________.
ABC
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
16．已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，与
a b 3π6=-b a
c a - c b - 23
πc a -= a 的夹角为__________，的最大值为
．c
a c ⋅ 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.17．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
18．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
三、解答题
19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求二面角H ﹣BD ﹣C 的大小．
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．
()5f x x a x =-+（1）当时，求不等式的解集；1a =-()53f x x ≤+（2）若时有，求的取值范围．
1x ≥-()0f x ≥a 21．（本小题满分13分）
在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
P ABCD -ABCD //AB DC 2
ABC π
∠=
AD =33AB DC ==
（Ⅰ）在棱上确定一点，使得平面；PB E //CE PAD （Ⅱ）若，，求直线与平面
所成角的大小．
PA PD ==
PB PC =PA PBC A
B
C
D
P
22
．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
23．已知等差数列的公差，，．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列前n项的乘积为，求的最大值．
24．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．　
顺义区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数
，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．
2．【答案】D
【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

3．【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次，
则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
4．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
5．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，所以y=
，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=
．
所以x+y+z=++
=1．
故选：A ．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．　
6． 【答案】C
【解析】解：易知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，在定义域R +上单调递增．
因为当x →0时，f （x ）→﹣∞；f （1）=﹣4＜0；f （2）=ln2﹣2＜0；f （3）=ln3＞0；f （4）=ln4+2＞0．可见f （2）•f （3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选C ．　
7． 【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是
，
∴三棱柱的面积是3××2=6+
，
故选C ．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．　
8． 【答案】D
【解析】由切线性质知，所以，则由，得，
PQ CQ ⊥2
2
2
PQ PC QC =-PQ PO =，化简得，即点的轨迹方程，故选D ，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+68210x y --=P 9． 【答案】C
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0得到x 1=1，x 2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
10．【答案】C
【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，
若输出的结果是，
则最后一次执行累加的k值为12，
则退出循环时的k值为13，
故退出循环的条件应为：k≥13？，
故选：C
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
11．【答案】B
【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：由图象可知，
若f（g（x））=0，
则g （x ）=﹣1或g （x ）=0或g （x ）=1；由图2知，g （x ）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g （x ）=0时，x 的值有3个；g （x ）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；
若g （f （x ））=0，
则f （x ）=﹣1.5或f （x ）=1.5或f （x ）=0；由图1知，
f （x ）=1.5与f （x ）=﹣1.5各有2个；f （x ）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=7；故m+n=14；故选：A ．　
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①将①与拋物线x 2＝2py 联立得，x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，
2p （－k －t ）2－2p （k －t ）2
2p
（－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，
x 2
2p x p
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .
2pt p
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），
又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．
p 2
解得t ＝±，即t 的值为±.
1212
14．【答案】15
【解析】由条件知，所以.消除了的污染物后，废气中的污染物数量为5000.9e k P P -=5e 0.9k -=27.1%，于是，∴，所以小时.
00.729P 000.729e kt P P -=315e 0.7290.9e kt k --===15t =
15．
【解析】
16．【答案】
，.
6π18+【解析】
17．【答案】 ．
【解析】解：如图，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，∴r2=（）2+（a）2，即r=a，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==．
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．　
18．【答案】　4　．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON ⊥平面ABCD ，
由AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直．
∴以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴B （1，0，0），D （﹣1，0，0），H （，，）
∴=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH 的法向量为=（x ，y ，z ），则
令z=1，得=（0，﹣
，1）由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为
=（0，0，﹣3），则cos ＜，＞=﹣，由图可知二面角H ﹣BD ﹣C 为锐角，
∴二面角H ﹣BD ﹣C 的大小为60°
【点评】本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．
20．【答案】
【解析】（1）当时，不等式，
1a =-()53f x x ≤+ ∴，
5315x x x ≤+++∴，∴．
13x +≤24x -≤≤∴不等式的解集为．
()53f x x ≤+[4,2]-
（2）若时，有，
1x ≥-()0f x ≥ ∴，即，
50x a x -+≥5x a x -≥-∴，或，∴，或，
5x a x -≥-5x a x -≤6a x ≤4a x ≥-∵，∴，，∴，或．
1x ≥-66x ≥-44x -≤6a ≤-4a ≥∴的取值范围是．
a (,6][4,)-∞-+∞ 21．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当时，平面.13
PE PB =
//CE PAD 设为上一点，且，连结、、，F PA 13
PF PA =EF DF EC 那么,.//EF AB 13
EF AB =∵，，∴，，∴．//DC AB 13
DC AB =//EF DC EF DC =//EC FD 又∵平面， 平面，∴平面． （5分）CE ⊄PAD FD ⊂PAD //CE PAD （Ⅱ）设、分别为、的中点，连结、、，
O G AD BC OP OG PG ∵，∴，易知，∴平面，∴．
PB PC =PG BC ⊥OG BC ⊥BC ⊥POG BC OP ⊥又∵，∴，∴平面． （8分）
PA PD =OP AD ⊥OP ⊥ABCD 建立空间直角坐标系（如图），其中轴，轴，则有,,O xyz -x //BC y //AB (1,1,0)A -(1,2,0)B ．由知．
（9分）(1,2,0)C
-2PO ===(0,0,2)P 设平面的法向量为，,PBC (,,)n x y z =(1,2,2)PB =-(2,0,0)CB =u r 则 即，取.00n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22020x y z x +-=⎧⎨=⎩(0,1,1)n = 设直线与平面所成角为，，则，PA PBC θ(1,1,2)
AP =-u u u r ||sin |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==⋅ ∴，∴直线与平面所成角为. （13分）
3π
θ=PB PAD 3π
A
22．【答案】
【解析】A B 23．【答案】【解析】【知识点】等差数列【试题解析】（Ⅰ）由题意，得 解得
或（舍）．所以
．（Ⅱ）由（Ⅰ），得
．所以
．所以只需求出
的最大值．由（Ⅰ），得
．因为
，所以当，或时，取到最大值
．所以的最大值为
．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．。