【浙教版】九年级数学下期末模拟试题含答案

一、选择题
1．如图，AB 是半圆的直径，CD 为半圆的弦，且CD//AB ，∠ACD=26°，则∠B 等于（ ）
A ．26°
B ．36°
C ．64°
D ．74°
2．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm ，当重物上升4cm π时，滑轮的一条半径OA 按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ）
A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
3．如图，O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是
（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．20︒
D ．30︒
4．如图，CD 是Rt ABC 斜边AB 上的高，8AC =，6BC =，点O 是CD 上的动点，以O 为圆心作半径为1的圆，若该圆与ABC 重叠部分的面积为π，则OC 的最小值为（ ）
A ．
54
B ．
43
C ．75
D ．
53
5．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y
7
2
-1
-2
m
2
7
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
6．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．
23
7．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是
260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）
A ．10s
B ．20s
C ．30s
D ．40s
8．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A ．22y x =
B ．221y x x =-++
C ．22y x x =-+
D ．20.5y x x =-+
9．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，有下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=︒；②AC EF ⊥；③BE DF EF +=；④3AG GC =．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =
DE 等于（ ）
A ．1
B ．
32
C ．
12
D ．
33
11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ，给出如下定义：若线段OE ，
A 和直线l 上分别存在点
B ，点
C 和点
D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．例如，右图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．若点()3,4A ，则直线
()10y kx k =+≠的“理想矩形”的面积为（ ）
A ．12
B ．314
C ．42
D ．32
12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1
cos 2
B =，则sin A 的值为（ ） A ．1
B ．
12
C ．
3 D ．
3 二、填空题
13．如图，ABC 内接于
O ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，且∠AOD=156°，AE ，CF 分
别是BC ，AB 边上的高，则∠BCF 的度数是____________．
14．如图，点M 为
O 的半径OA 的中点，弦BC 过点M 且垂直于AO ，若4AO =，
则弦BC 的长为______．
15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②240b ac ->；③8a+c ＜0；④5a+b+2c ＞0，正确的有___（填序号）．
16．二次函数224y x x =-++的最大值是______．
17．已知二次函数221y x =-，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__________．
18．一运动员乘雪橇以10米/秒的速度沿坡比1:3的斜坡匀速滑下，若下滑的垂直高度为1000米，则该运动员滑到坡底所需的时间是______秒．
19．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数
()0k
y x x
=
>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k
x x
<的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是
________．
20．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）所示；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为'B ，得Rt 'AB E △，如图（2）所示；第三步：沿'EB 折叠折痕为EF ，且AF 交B N '的延长线于点G ，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，'AB G S △为____．
21．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，
4
tan 3
C =
，则BC =________．
22．在锐角ABC 中，22
32sin cos A B ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝0，则∠C 的度数为____． 三、解答题
23．如图，已知ABC ∆．
（1）用无刻度的直尺、圆规作ABC ∆的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹)． （2）若110BAC ︒∠=，在ABC ∆的外接圆中，仅用无刻度的直尺能画出的不同度数的圆周角有 (写度数)．
24．如图，ABC 中，AB AC =，以AC 为直径的半圆交 BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ．
（1）求证：DE 为半圆的切线；
（2）若23BC =120BAC ∠=︒，求 AD 的长． 25．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5）． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G ，直接写出图象G 的函数解析式．
26．已知：抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y1＝﹣x2﹣2x+3的草图，并标出点A的位置；（2）点C是直线y2＝﹣x+1与抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3异于B的另一交点，则点C的坐标为；当y1 y2时x的取值范围是．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用平行线的性质，得∠ACD=∠CAB=26°，根据直径上的圆周角为直角，得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质计算即可．
【详解】
∵CD//AB，∠ACD=26°，
∴∠ACD=∠CAB=26°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=64°，
【点睛】
本题考查了平行线的性质，圆周角的原理，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用是解题的关键．
2．D
解析：D 【分析】
重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，根据弧长公式计算即可. 【详解】
∵重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，
∴4π=
n 6
180
π⨯⨯， 解得n=120， 故选D. 【点睛】
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式，读懂题意是解题的关键.
3．D
解析：D 【分析】
连接OB 、OC ，则判断△OBC 是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案． 【详解】
解：连接OB 、OC ，如图：
∵3OB OC BC cm ===， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC=60°， ∴∠BAC=30°， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．
4．D
解析：D
根据勾股定理求出AB=10，由OC 取最小值时，O 与BC 相切，证明
△OCP ∽△BCD ∽△BAC 得出::3:4:5OP PC CO =，从而求出OC 的最小值．
【详解】 解：2S r ππ==
∵圆O 的半径为1，且圆与ABC 重叠部分的面积为π， ∴此圆全部在△ABC 内，如图，
在Rt ABC 中，8AC =，6BC =， ∴2210AB AC BC +=
若OC 取最小值时，O 与BC 相切，
设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥BC ∵CD ⊥AB ∴∠OPC=∠CDB ∵∠OCP=∠BCD ∴△OCP ∽△BCD 同理可证△BAC ∽△BCD ∴△OCP ∽△BCD ∽△BAC
∵::6:8:103:4:5BC AC AB == ∴::3:4:5OP PC CO = 又∵OP=1 ∴OC= 15533
⨯= 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直线与圆的位置关系，证明△OCP ∽△BCD ∽△BAC 是解答此题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2
y ax bx c =++，得c 的值；
将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到2
1y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即
可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】
根据题意，将0x =、1y =-代入到2
y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-
将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到2
1y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨
+-=-⎩
∴1a =，2b =- ∴
221y x x =--
当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
6．D
解析：D 【分析】
分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解． 【详解】
解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4， ①当点E 在AB 上运动时， y=FC=BE=AB-AE=6-x ，
即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数； ②当点E 在BC 上运动时，如下图，
则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6， ∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°， ∴∠FEC=∠EAB ， ∴∠CFE=∠AEB ， ∴△ABE ∽△ECF ，
∴BE AB
CF CE
=，即6610x y x -=-， 整理得：()218
1061063
y x x x =-
+-<≤，图象为二次函数，
∵1
06
-
<， 故()2
218121086363
y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23，
即2
3m =
， 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7．B
解析：B 【分析】
当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可． 【详解】
∵当s 取最大值时，飞机停下来， ∴t= 6022( 1.5)
b a -
=-⨯-=20， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．
8．A
解析：A 【分析】
二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可． 【详解】
解：A 、∵a ＞0， ∴
2y =
的图象开口向上，故本选项符合题意；
B 、∵a ＝﹣1＜0，
∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意； C 、∵a ＝﹣2＜0，
∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； D 、∵a ＝﹣0.5＜0，
∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．C
解析：C
【分析】
通过HL 证明ABE ADF ≌，从而得到,BAE DAF BE DF ∠=∠=由正方形的性质可以得出EC FC =，从而得出AC 垂直平分EF 可得结论①②正确，设EC x =，根据勾股
定理，表示出等边三角形边长EF =
，分别计算出AG ，CG ，再计算BE 、EF 的
长，可比较BE DF +的长与EF 的长，即可判断结论③错误，结论④正确．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
,90AB AD B D ∴=∠=∠=︒ AEF 是等边三角形
,60AE AF EAF ∴=∠=︒
30BAE DAF ∴∠+∠=︒
在Rt ABE △和Rt ADF 中
AE AF AB AD =⎧⎨=⎩
∴Rt ABE △≌Rt ADF
BE DF ∴=
BC CD =
BC BE CD DF -=-∴，即CE CF =
∴AC 是EF 的垂直平分线
AC EF ∴⊥
∴AC 平分EAF ∠
160302
EAC FAC ∴∠=∠=⨯︒=︒ 45BAC DAC ∠=∠=︒
15BAE DAF ∠∠∴==︒
故结论①②正确；
sin 60sin 602sin 602AG AE EF CG =︒⋅=︒⋅=⨯⋅︒=
AG ∴=
故结论④正确；
设EC x =，则FC x =
由勾股定理得EF =
122
CG EF x ==，
则2x
AC CG AG CG =+=+=
(12AB x +∴==
(
)1122x x BE AB CE x +∴=-=-=
)
)1212x BE DF x ∴+=⨯
=≠ 故结论③错误
综上所述结论①②④正确，结论③错误
故选：C ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定以性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题关键是熟练运用这些性质，利用勾股定理计算边的长度．
10．A
解析：A
【分析】
由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，
在菱形ABCD 中，有
∴CBD CDB ∠=∠，
∵DE CE =，
∴ECD CDB ∠=∠，
∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，
∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，
∴90CBD BEC ∠+∠=︒，
∴390CBD ∠=︒，
∴30CBD ∠=︒，
在Rt △BCE 中，有
tan tan 30CE CBD BC
∠=︒=，
∴33=， ∴1CE =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．
11．B
解析：B
【分析】
过点A 作AF y ⊥轴于点F ，连接AO 、AC ，如图，根据点(3,4)A 在直线1y kx =+上可求出k ，设直线1y x =+与y 轴相交于点G ，易求出1OG =，45FGA ∠=︒，根据勾股定理可求出AG 、AB 、BC 的值，从而可求出“理想矩形” ABCD 面积．
【详解】
解：过点A 作AF y ⊥轴于点F ，连接AO 、AC ，如图．
点A 的坐标为(3,4)，
22345AC AO ∴==+=，3AF =，4OF =．
点(3,4)A 在直线1y kx =+上，
314k ∴+=，
解得1k =．
设直线1y x =+与y 轴相交于点G ，
当0x =时，1y =，点(0,1)G ，1OG =，
413FG AF ∴=-==，
45FGA ∴∠=︒，223332AG +=
在Rt GAB ∆中，tan 4532AB AG =︒=
在Rt ABC ∆中，22225(32)7BC AC AB --=
∴所求“理想矩形” ABCD 面积为327314AB BC =；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．
【详解】
解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB=12
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 二、填空题
13．23°【分析】连接OBOC 根据垂径定理求出再根据角的性质计算出根据计算出从而能够求出最后根据⊥求出的大小【详解】连接OBOC ∵D 是BC 的中点∴∵∴∴∵⊥∴故答案为：【点睛】本题考查圆的垂径定理圆周角
解析：23°
【分析】
连接OB 、OC ，根据垂径定理求出BOD ∠，再根据角的性质计算出AOB ∠，根据OA OB =
计算出ABO ∠，从而能够求出ABC ∠，最后根据CF ⊥AB ，求出BCF ∠的大小．
【详解】
连接OB 、OC
∵OB OC =，D 是BC 的中点
∴1
702
BOD BOC BAC ===︒∠∠∠
1567086AOB AOD BOD =-=︒-︒=︒∠∠∠
∵OA OB = ∴18086472
ABO ︒-︒==︒∠ 907020OBC =︒-︒=︒∠
∴472067ABC ABO OBC =+=︒+︒=︒∠∠∠
∵CF ⊥AB
∴90906723BCF ABC =︒-=︒-︒=︒∠∠
故答案为：23︒
【点睛】
本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，以及直角三角形的性质，属于基础题． 14．【分析】连接BO 先求出OM=2再由勾股定理求出BM 的长即可得到结论
【详解】解：连接BO 如图则∵M 是OA 的中点∴∵∴△是直角三角形BC=2BM ∴∴故答案为【点睛】本题考查的是垂径定理勾股定理掌握垂径定 解析：43
【分析】
连接BO ，先求出OM=2，再由勾股定理求出BM 的长即可得到结论．
【详解】
解：连接BO ，如图，
则4BO OA ==
∵M 是OA 的中点
∴2OM =
∵BC OA ⊥
∴△OBM 是直角三角形，BC=2BM
∴22224223BM OB OM =-=-=
∴222343BC BM ==⨯=故答案为3【点睛】
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
15．②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是分别判断abc 的符号即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点可判断②；由得令求函数值即可判断③；令
时则令时即可判断④；然后得到答案【详解】解：根据题意则∵∴∴故①错误
解析：②③④
【分析】
由抛物线的性质和对称轴是1x =，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x
轴有两个交点，可判断②；由12b x a
=-=，得2b a =-，令2x =-，求函数值，即可判断③；令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，即可判断④；然后得到答案．
【详解】
解：根据题意，则0a <，0c >， ∵12b x a
=-
=， ∴20b a =->， ∴0abc <，故①错误；
由抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，故②正确；
∵2b a =-，
令2x =-时，420y a b c =-+<，
∴80a c +<，故③正确；
在2
y ax bx c =++中，
令2x =时，则420y a b c =++>，
令1x =-时，0y a b c =-+>，
由两式相加，得520a b c ++>，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 16．【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可【详解】∵∵a=-1＜0∴二次函数有最大值且最大值为5；故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数的最值问题熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键
解析：【分析】
利用二次函数的配方法确定最值即可.
【详解】
∵224y x x =-++
2(24)x x =---
2[(1)14]x =----
2(1)5x =--+，
∵a= -1＜0，
∴二次函数224y x x =-++有最大值，
且最大值为5；
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键. 17．【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y 轴所以当x≥0时y 随x 的增大而增大【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0∴二次函数图象开口向上且对称轴是y 轴∴当x≥0时y 随x 的增大而增大故答案为
解析：0x ≥
【分析】
由于抛物线y=2x 2-1的对称轴是y 轴，所以当x≥0时，y 随x 的增大而增大．
【详解】
解：∵抛物线y=2x 2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y 轴，
∴当x≥0时，y 随x 的增大而增大．
故答案为：0x ≥．
【点睛】
本题考查了抛物线y=ax 2+b 的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a 有关；③对称轴是y 轴；④顶点（0，b ）．
18．200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平
解析：200
【分析】
由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间．
【详解】
解：由已知得：垂直高度1000米与水平宽度之比为1
∴水平宽度为
2000m =； ∴200020010
s t s v =
==． 故答案为：200．
【点睛】 此题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键． 19．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已
知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ） 解析：②④
【分析】
根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．
【详解】
解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），
∴C （n ，1），
∴OA=n ，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB 的面积为4， ∴1
2n×2=4， 解得，n=4，故①不正确；
∴C （4，1），B （4，1），
∴k=4×1=4，故②正确；
解方程组4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，得：22x y =⎧⎨=⎩(负值已舍)， ∴直线y=x 反比例函数(0)k y x x
=>的图象的交点为（2，2），
观察图象，不等式k x x
<
的解集是02x <<，故③不正确； ∵B （4，1），
∴OA=4，AB=2， ∴tan ABO 2OA AB
∠=
=，故④正确； 故答案为：②④．
【点睛】 本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C 点坐标及由三角形的面积列出方程．
20．【分析】根据折叠得到△AEF 是等边三角形再根据Rt △ABE 中求得AE=根据相似三角形的性质可得到的长即可求解【详解】如图所示将图3展开可得下图由折叠可得Rt △AMB 中AM=AB==3∴∠ABM=30 解析：33
【分析】
根据折叠得到△AEF 是等边三角形，再根据Rt △ABE 中，求得AE=43，根据相似三角形的性质可得到B G '的长，即可求解．
【详解】
如图所示，将图3展开，可得下图，
由折叠可得，Rt △AMB'中，AM=
12AB=12
AB '=3， ∴∠AB'M=30°，
∴∠AA'B=30°，
∴∠A'AB=60°，
∴∠BAE=∠B'AE=30°， ∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，
∴△AEF 是等边三角形，
又∵Rt △ABE 中，AB=6，∠BAE=30°，
∴EF=AE=
cos30AB ︒
=43 ∵∠B'AE=∠AA'B=30°， ∴AE= A'E=3
∵B'G ∥A'E ，
∴
~FB G FEA ''，
∴1EF 2B G FB EA ''=='， ∴23B G '=，
∵△A B G ''的高为BM=3，
∴'1'332
AB G S B G BM =⨯⨯=△．
故答案为：
【点睛】 本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF 是等边三角形是解决问题的关键． 21．7【分析】由题意得是等腰直角三角形由求出AD 和BD 的长度再根据求出CD 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵∴是等腰直角三角形
∴∴∵∴∵∴∵∴故答案是：7【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是掌握利用
解析：7
【分析】
由题意得ABD △是等腰直角三角形，由AB =AD 和BD 的长度，再根据
4tan 3
C =
，求出CD 的长，即可求出BC 的长． 【详解】
解：∵AD BC ⊥，AD BD =， ∴ABD △是等腰直角三角形，
∴45ABD ∠=︒，
∴sin AD ABD AB ∠==， ∵
AB =
∴4=AD ， ∵4tan 3
AD C CD =
=， ∴3CD =，
∵4BD AD ==， ∴437BC BD CD =+=+=．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 22．75°【分析】由非负数的性质可得：可求从而利用三角形的内角和可得答案
【详解】解：由题意得sinA ＝cosB ＝解得∠A ＝60°∠B ＝45°∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝75°故答案为：75°【点睛】本题
解析：75°
【分析】
由非负数的性质可得：
3 sin
2 cos
2
A
B
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，可求,A B
∠∠，从而利用三角形的内角和可得答
案．
【详解】
解：由题意，得
sinA＝
3
，cosB＝
2
2
，
解得∠A＝60°，∠B＝45°，
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：偶次方、三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
23．（1）见解析；（2）70︒、110︒
【分析】
（1）利用三角形外接圆的做法作出任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置即可得出答案．
（2）根据同弧所对的圆周角相等求解即可．
【详解】
解：(1) 如图的圆为所求作
(2) 若110
BAC
∠=︒，则优弧BC所对的圆周角大小为110°，劣弧BC对应的圆周角的大小为180°-110°=70°，
故有两个不同度数的圆周角，其度数分别为：70°和110°．
故答案为：70°和110°．
【点睛】
此题主要考查了三角形外接圆的作法以及圆周角与弧的关系，熟练掌握三角形外接圆作法是解答此题的关键．
24．（1）见解析；（2）3π 【分析】
（1）连接AD ，由三角形中位线定理可求得//OD AB ，可得OD DE ⊥，可得DE 为O 的切线；
（2）连接AD ，AC 是直径，根据AD BC ⊥，AB AC =，可得
132
BD DC BC ===，60OAD ∠=︒，证得AOD △是等边三角形，设半圆的半径为()0r r >，根据勾股定理得222(3)(2)r r +=，解得1r =，利用弧长公式即可求出AD 的长．
【详解】
（1）证明：连接OD ．如图
∵OC OD =，
∴ODC OCD ∠=∠．
又AB AC =，
∴B OCD ∠=∠．
∴B ODC ∠=∠．
∴OD AB ．
而DE AB ⊥，
∴DE OD ⊥．
又OD 是半圆的半径，
∴DE 为半圆的切线．
（2）解：如图2，连接AD ．
∵AC 是直径，
∴AD BC ⊥．
又AB AC =，
∴BD DC =，AD 平分BAC ∠．
∴12
BD DC BC ===60OAD ∠=︒． ∵OA OD =，
∴AOD △是等边三角形
∴60AOD ∠=︒．
设半圆的半径为()0r r >．
∵222AD DC AC +=，即222(2)r r +=．
解得1r =．
∴AD 的长6011803
ππ⨯=． 【点睛】
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．
25．（1）y =（x ﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）y ＝﹣x 2+2x +3
【分析】
（1）直接把A 、B 两点的坐标代入y ＝x 2+bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．
（2）根据关于x 轴对称的两点x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象G 的表达式．
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5），
∴将点（2，﹣3）和（4，5）代入，得
4231645b c b c ++=-⎧⎨++=⎩
， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩
， 所以抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．
∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）将抛物线沿x 轴翻折后，得出﹣y ＝x 2﹣2x ﹣3，
则图象G 的函数解析式y ＝﹣x 2+2x +3．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤
【分析】
（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；
（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．
【详解】 （1）由题意得：
x
... -3 -2 -1 0 1 ... y .. 0 3 4 3 0 (1)
由上图得A 点坐标为()3,0-；
（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，
当2x =-时，()213y =--+=，
∴C 点坐标为()2,3-，
由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．。