安徽省合肥一中高二数学上学期期中试题 文 新人教A版

第4题图
合肥一中2013—2014第一学期段二考试
高二数学（文）试题
考试时长：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
（A ）045,1 （B ）0135,1- （C ）090，不存在 （D ）0180，不存在 2. 利用斜二测画法可以得到以下结论，其中正确的是（ ） （A ）等边三角形的直观图是等边三角形；（B ）平行四边形的直观图是平行四边形； （C ）正方形的直观图是正方形； （D ）菱形的直观图是菱形． 3 若b a ,是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ）
（A ）平行 （B ）相交 （C ）b 在α内 （D ）平行、相交或b 在α内 4．右图是某几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是（ ） （A ）4π （B ）
133π （C ）143
π
（D ）5π
5．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ） （A ） 若l ∥α，l ∥β，则α∥β （B ） 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β （C ）若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β （D ）若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β
6. 若直线01-+-y x 与圆2)(2
2=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ）
（A ）[3,1]-- （B ）[1,3]- （C ）[3,1]- （D ）(,3][1,)-∞-+∞U
7． 圆03422
2
=-+++y y x x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）
（A ）π6 （B ）π34 （C ）π64 （D ）π36 9．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ,直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）
（A ）34k ≥
或4k ≤- （B ）34k ≥或14k ≤- （C ）434≤≤-k （D ）44
3
≤≤k 10．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 2的棱异面，
则a 的取值范围是（ ）
（A ）2) （B ）3) （C ）2) （D ）3)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为_________. 12. 已知点B 与点)3,2,1(A 关于)2,1,0(-M 对称，则点B 的坐标是_______. 13．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为________．
14．设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ，且l 与圆
224x y +=相交所得弦长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 __.
15．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，
则下列四个命题：
①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；
④平面PDB 1⊥平面ACD 1.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(12分)已知直线21,l l 方程分别为,032,02=+-=-y x y x 且21,l l 的交点为P . （1）求P 点坐标；
（2）若直线l 过点P ，且到坐标原点的距离为1，求直线l 的方程 ．
17．(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知
∠BAC ＝
2
π
，2AB =，23AC =2PA =，求： （1）三棱锥P ABC -的体积
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值．
18．(12分)圆C 经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上． （1）求圆C 的方程； （2）圆内有一点B 5(2,)2
-，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，
PC AC ⊥．
（1）求证：PC AB ⊥；
（2）求点C 到平面APB 的距离．
20．(13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C 090=，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD
上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2． （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；
（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，
使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．
21．(14分)已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22
:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是
PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ． （1）当l 与m 垂直时，求l 的方程; （2）当23PQ =l 的方程;
（3）探究AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，求出其值；
若有关，请说明理由．
合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学（文）试题答案 一．选择题. CBDBB CCBAA 二．填空题.
A C
B P
11.-6 12.)1,4,1(-- 13.相交 14.3 15. ①②④ 三．解答题.
16．解：（1）由⎩
⎨⎧=+-=-0320
2y x y x 得)2,1(P .
（2）①当过点)2,1(P 的直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点的距离为1，所以1=x 为所求直线方程.
②当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ， 即：02=+--k y kx ，由题意有
11
|2|2=++-k k ，解得4
3
=
k ， 故所求的直线方程为)1(4
3
2-=
-x y ，即0543=+-y x . 综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x . 17.
18. 设圆心(m ，-2m)，方程为：2
2
2
)2()(r m y m x =++-
圆过A(2，-1)，故有2
2
2
)21()2(r m m =+-+- 又
r m m =--2
|
12|解得2,1==r m ，圆的方程为2)2()1(22=++-y x .
（2）4x-2y-13=0 19. 解：（1）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
P
AP BP =Q ， PD AB ∴⊥． AC BC =Q ， CD AB ∴⊥．
PD CD D =Q I ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂Q 平面PCD ，PC AB ∴⊥． （2）由（1）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．
Q 平面APB I 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ． CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．
由（1）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =I ， PC ∴⊥平面ABC ．
CD ⊂Q 平面ABC ， PC CD ∴⊥．
在Rt PCD △中，1
22
CD AB ==
，362PD PB ==， 222PC PD CD ∴=-=．3
3
2=⨯=
PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB 的距离为23
3
．
20.
A C
B
D
P
H
21. 解：(1)l Q 与m 垂直，且11,3,3
m k k =-∴= 故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，
3,431
PQ CM =∴=-=Q ，则由2311
k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=
故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=
(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
Q
①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5
(0,),3AN =-u u u r 又(1,3)AC =u u u r ，
5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r
．
②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+
则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(
,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313k
AN k k --=++u u u r 515 5.1313k AM AN AC AN k k --∴⋅=⋅=+=-++u u u u r u u u r u u u r u u u r
综上所述，AM AN ⋅u u u u r u u u r 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r
．。