金属自由电子理论

第四章金属自由电子理论
1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？
解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。

根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？
解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。

费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？
解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。

4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？
解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。

驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？
解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，
所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。

试求：
（1）电子的状态密度；
（2）电子的费米能级；
（3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：
dE
dk
dk dZ dE dZ E ⋅
==
)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：
dk L
dk dZ π
=∆=
k 2 …………………………（2） 又由于 m
k E 22
2 =
所以 m
k
dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：
E
m
L
E 22)( πρ=
…………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电
子占据的几率为：
1
1)(+=-T
K E E B F e
E f (5)
于是，系统中的电子总数可表示为：
⎰∞
=0
)()(dE E E f N ρ (6)
由于0=T K ，所以当0
F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可
简化为：
⎰=
)(F
E dE E N ρ
＝⎰00
22F
E dE E m L π＝240
F
mE L π
由此可得： 2
2
2208mL
N E F
π= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为：
⎰∞
=
0)()(1
dE E E Ef N E ρ＝
dE E
m
L E N F
E 22100
⎰⋅
π
＝
2
3
0)(232F E m N L π＝02
2223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为
)(2),(2
22y x y x k k m
k k E += 。

试求：
（1）能量E ～dE E +之间的状态数；
（2）此二维系统在绝对零度的费米能量；
（3）电子的平均能量。

解：（1）K 空间中，在半径为k 和k k d +的两圆面之间所含的状态数为
k k k k d L d L dZ πππ2242
2
2==
…………………………（1） 这也就是能量在E ～dE E +之间的状态数，由电子的能量表达式可得
dE m dE E m mE d 2
222122 =⋅=
k k ………………（2） 将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能
量在E ～dE E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 2
2
2222
ππ=⋅= （2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为
22)(
πρmL dE dZ E == 在绝对零度下，由下式
2
2022000
)(F E E E mL dE mL dE E N F
F ⋅===⎰⎰
ππρ 由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为
2
2
0mL
N E F
π= （3）电子的平均能量为
⎰⎰==
00022
01
)(1
F
F
E E EdE mL N dE E E N
E
πρ 0
22222222
12)(211F E mL N mL N mL N ===
πππ 8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为m a 10105.3-⨯=。

试计算绝对零度时电子气的费米能
量0
F E （以eV 表示）
解：由题意可求得金属锂的电子浓度为
28
3
1031066.4)105.3(22⨯=⨯==
-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为
32
22
0)3(2πn m
E F
= 3
2
22831
234)14.31066.43(10
11.92)10055.1(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 191057.7-⨯=J 72.4=eV
9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成
)57.208.2(3T T c v += K)mJ/(mol ⋅
若1mol 的钾有23106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。

解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为：
3bT T c c c c e V V v +=+=γ
上式中，02
202F B E k N πγ=，3
04512D
B
k N b Θ=π，所以有： 3
02
201008.22-⨯=F B E k N π 33
041057.2512-⨯=ΘD
B k N π 故：
19
3
22322332
20010708.210
16.4)1038.1(14.31061008.22----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=B F
k N E πJ 又由 0
0F F B E T k = 得
4
23
19010962.110
38.110708.2⨯=⨯⨯=--F
T K 而 9.9010
57.2510
38.110614.31233
23
234=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=Θ--D K 10.试比较1mol 金属钠在30K 和0.3K 时的德拜比热容，并与电子比热容比较。

已知钠的德
拜温度150=ΘD K ，钠的费米能级23.30
=F
E eV 。

解：在30K 时，1mol 金属钠的德拜比热容为
34)(512D
B V T
Nk c c Θ=π
3
23232)150
30(1038.11002.6514.312⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
- 57.1=J/K
而其电子比热容为
)(
2
02
F
B B V E T
k Nk c e π=
)10
6.123.3301038.1(1038.11002.6214.3192323
232---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 0328.0= J/K
所以德拜比热容与电子比热容之比为
9.470328
.057
.1==
e
c V V c c
在0.3K 时1mol 金属钠的德拜比热容为
34)(512D
B V T
Nk c c Θ=π
3
23232)150
3.0(1038.11002.651
4.312⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
- 61057.1-⨯=J/K
而其电子比热容为
)(
2
02
F
B B V E T
k Nk c e π=
)106.123.33.01038.1(1038.11002.6214.319
2323
232---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 41028.3-⨯=J/K
所以德拜比热容与电子比热容之比为
3
4
61079.410
28.31057.1---⨯=⨯⨯=e
c V V c c 11.有一钨丝，长0.05m ，横截面积的直径为1×10-4m 。

试求2000K 时钨丝的热电子发射电流。

已知钨的电子逸出功为4.5eV 。

解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为
)
/(2
T k W B e
AT j -=
05.1420001075)
20001038.1/(10
6.15.4242319
=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯---e A/m 2
故热电子发射电流为
72
4
10103.12
10114.305.14--⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==jS I A 12.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV 和1.8eV 。

求：
（1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度；
（2）若温度上升至800K 时，其热电子发射电流密度为多少？
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。

解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为
)
/(2T k W Ag B Ag e
T A j -=
)
2981038.1/(106.18.42
62319298102.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e
711036.8-⨯= A/m 2
在室温下铯的热电子发射电流密度为
)
/(2T k W Cs B Cs e
T A j -=
)
2981038.1/(106.18.12
62319298106.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e
201047.5-⨯= A/m 2
（2）在800K 时银的热电子发射电流密度为
)
/(2T k W Ag B Ag e
T A j -=
)
8001038.1/(106.18.42
62319800102.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e
191072.4-⨯= A/m 2
在800K 时铯的热电子发射电流密度为
)
/(2
T k W Cs B Cs e
T A j -=
)
8001038.1/(106.18.12
62319800106.1⨯⨯⨯⨯---⨯⨯=e
80.4= A/m 2
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为
3)(1
=-=Cs Ag D W W e
V V
13.利用电子漂移速度v 的方程
E -=+e v
dt dv m )(
τ
证明在频率ω下的电导率为
])
(11)[
0()(2
ωτωτ
σωσ++=i 。

其中02/)0(m ne τσ=。

解：设电场为t i e ω-E =E 0，则有
t i e e v
dt dv m ωτ
-E -=+0)(
或
t i e m
e v
dt dv ωτ-E -=+0 齐次方程
0=+τ
v
dt dv 的通解为 τ
t
ce
v -=
设非齐次方程的特解为t i Ae v ω-=，则有
t
i t i t
i e m
e Ae Ae
i ωωωτ
ω---E -
=+
-01
从上式可求出特解的待定系数A 为
)
1(0ωττi m e A -⋅E -= 故非齐次方程的通解为
)
1(0ωττωτi e m e ce v t
i t
-E -=-- 上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n 个电荷为e
-的电子，则其电流密度E =-E =-=-)()
1()()(02ωσωττωωi e m ne v e n j t
i 故 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=-=22)(11)0()1(1)(ωτωτσωττωσi i m ne 其中 m ne τσ2)0(=。