高中数学 定积分定义(课堂PPT)
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定积分的概念课件
y f ( x)
a
b
x
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
b
a
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y f ( x)
高中数学选修2-2第一章《定 积分》
温故知新 ＊ 曲边梯形的定义：
我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
1
梯形 的面积。 成的图形的面积，即_______
2
容易知道，梯形的面积是 3 ，所以 y y 2 y=2
1
3 1 yxdx x 2
2
o
x
1
o
1
x
2
由图可知， y 1 x 2 表示的是单位圆在 x 轴上
方的半圆。 所以 1
积。
最新定积分的概念ppt
和曲线 y f (x) 所
b
a f (x)dx S
围成的的曲边梯形 的面积
合作探究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积?
yf (x) y
Oa
y gx
b
b
a f(x)dxag(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
y
针
y sin x
对
训
01
x
0 1 3
x
4
练
1
0 2 xd x
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x 2 、 直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。
探
y的几何意义( f (x) 0 )
设阴影部分面积为S
b
a f ( x)dx
表示由直线 x a,
x b (a b), y 0
a a 0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
积分上限
[ a , b ] 叫做积分区间
结
构
分
b
n
f(x)dxlim
baf()
a
n n i1
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
定积分的概念ppt
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i1
定积分的概念 课件
答案 相等.
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
高二数学定积分概念.pptx
lim 0
n
ei
i 1
1 n
lim
iY
n n1
1
e lim
ni
en
n i1
n n n i1
1
1
lim
n
1 n
1
(e
n)
1
n
1
en
(1 e) lim n
n
1
1 en
1 en
e 1
第7页/共91页
第二节 定积分的性质
定积分的性质
第8页/共91页
规定：(1)当a b时，b f (x)dx 0; a
1
xdx
1ln(1 x)dx.又在[0，1]上，x ln(1 x) 0，
0
0
故
1
xdx
1
ln(1 x)dx.
0
0
例2：估计下列积分值
（1）4 (x2 1)dx；（2）0 ex2xdx.
1
2
第12页/共91页
解： (1)2 x2 1 17，
2 (4 1) 4 (x2 1)dx 17 (4 1) 1
b
n
a
f (x)dx I
lim 0
i 1
f (i )xi
这里f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积
分变量，a,b叫做积分下限和上限，[a,b]叫做积分区间。
n
Y
注意:(i) 当和 f (i )xi的极限存在时，其极限I仅与被积函数
i 1
f (x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关，即
x f (t)dt也是f (x)的a一个原函数，从而
a
F(x) (x) C.令x a有F(a) C.即F(x) (x) F(a)
定积分的概念PPT优秀课件3
1.5定积分的概念
高二数学组 2010,3,25
教材地位
掌上有无穷，瞬时即永恒．
众所周知，微积分是数学发展史上 继欧氏几何后的又一个具有划时代意 义的伟大创造，被誉为数学史上的里 程碑--“人类精神的最高胜利” 。
我们前面通过学习导数，研究了函 数的单调性、极值及生活、生产中的 优化问题等，渗透了极限微分思想。
yy
ff((bb))
yy==ff((xx))
如何求曲边
ff((aa))
梯形的面积？
OO aa
bb xx
f (b)
y f(x)
f (a)
a
b
注意:曲边梯形的特点：
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
例1、求曲线y=x2与直线 y
y=x2
y=0, x=1围成平面图形 1
的面积S ．
0
1x
求曲边梯形的面积的方法：以直代曲，近似代替。 ①分割；②近似代替；③求和；④求极限。
1x
S51 5 1 5 21 5 5 2 21 5 5 3 21 5 5 4 2
n i2 1n(n1)(2n1)
i
6
y 1
y=x2
6等分
0
1x
S 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 2 1 6 6 3 2 1 6 4 6 2 1 6 5 6 2
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的矩形面积来代替曲边梯形的面积，当 曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接 近曲边梯形的面积.
3等分：
y
y=x2
S3 13132 13232
高二数学组 2010,3,25
教材地位
掌上有无穷，瞬时即永恒．
众所周知，微积分是数学发展史上 继欧氏几何后的又一个具有划时代意 义的伟大创造，被誉为数学史上的里 程碑--“人类精神的最高胜利” 。
我们前面通过学习导数，研究了函 数的单调性、极值及生活、生产中的 优化问题等，渗透了极限微分思想。
yy
ff((bb))
yy==ff((xx))
如何求曲边
ff((aa))
梯形的面积？
OO aa
bb xx
f (b)
y f(x)
f (a)
a
b
注意:曲边梯形的特点：
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
例1、求曲线y=x2与直线 y
y=x2
y=0, x=1围成平面图形 1
的面积S ．
0
1x
求曲边梯形的面积的方法：以直代曲，近似代替。 ①分割；②近似代替；③求和；④求极限。
1x
S51 5 1 5 21 5 5 2 21 5 5 3 21 5 5 4 2
n i2 1n(n1)(2n1)
i
6
y 1
y=x2
6等分
0
1x
S 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 2 1 6 6 3 2 1 6 4 6 2 1 6 5 6 2
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的矩形面积来代替曲边梯形的面积，当 曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接 近曲边梯形的面积.
3等分：
y
y=x2
S3 13132 13232
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
定积分的概念 课件
22 x2dx. 1
2. [02f(x)-2x]dx= f0(2x)dx+ (-022x)dx.
3.
(0e2x2-x+1)dx=20e
x2dx- exdx+ e
0
0
1dx.
【自主解答】(1)选C.由定积分的几何性质得：
0f2 (x)dx=
(01x+1)dx+
22 x2dx 1
(2)由定积分的性质得：
分的面积).
2.定积分的性质
b
(1)
b
a
kf(x)dx=
_k_a_f_(_x_)_dx_(k为常数).
(2) a［b f1(x)±f2(x)］dx=__a_b f_1__x_d_x____ab_f2__x__d_x_.
(3)
b
a
f(x)dx=
c
a
பைடு நூலகம்
f(x)dx+
_c_b f__x__d_x_(其中a＜c＜b).
当n→∞时，上述和式无限接近某个_常__数__，这个_常__数__叫做函
b
数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__a _f(_x_)d_x_，即
b
a
f(x)dx=
_lni_m__in1__b_n_a_f_(__i )，
这里，a与b分别叫做积分下限与_积__分__上__限__，区间[a，b]叫做
积分区间，函数f(x)叫做_被__积__函__数__，x叫做_积__分__变__量__，f(x)dx
叫做被积式.
(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有
_f_(_x_)_≥__0_，那么定积分
b
a
f(x)dx表示由直线x=a，x=b(a<b)，
定积分概念与性质完整ppt
0
0 f(sx i)d n x0 x(fsx i)d nx
即 x(fsx )d in x 2f(sx )d inx
0
20
利用上述结果，即得
0 1 xs cio 2 xn xsd x 20 1 scix o 2 nxsdx
2
d(coxs) 0 1co2sx
2arctan(xc)o0 s
xdsinx
sin2
xdsinx
2
2s
5
in2
5
x
2 0
2sin52 5
x
2
4 5
例2 证明 (1)若 f ( x)在[ a, a ]上连续，则
a
f
( x)dx
2
a 0
f
( x)dx ,当 为奇函数
b
b
(2)a f ( x)dx a f (a b x)dx
(3) 1 x m (1 x) n dx 1 x n (1 x) m dx
0
0
(4)若 f ( x)在[0,1]上连续，则有
a. 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx
0
0
b.
xf (sin x)dx
2 f (sin x)dx ,由此计算
0
20
0
1
x
sin cos
x stin
1 x2dx
2si2tn co tcso td st2sin2tco2stdt
0
d c xtodst0
0
1 40 2si22 n td 1 4 t0 21 c 2o 4 tds t8 1(t s4 i4 tn )0 2 16
解
(3)
1 t2
定积分的概念PPT优秀课件4
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1
2
n
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
Si
Si
v
i
1 n
i
1 b
n
,
ib
n
(i
1,
2
,
, n) ，
其长度为
x
i
b n
i
1 b
n
b n
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，
…
，
n
1b
n
,
b
上
所
作
的
功
分
别
记
作
：
W1， W2， … ， Wn
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1
2
n
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
Si
Si
v
i
1 n
i
1 b
n
,
ib
n
(i
1,
2
,
, n) ，
其长度为
x
i
b n
i
1 b
n
b n
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，
…
，
n
1b
n
,
b
上
所
作
的
功
分
别
记
作
：
W1， W2， … ， Wn
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m ( b a ) a b f ( x ) d M ( b a ) ( x a < b ) .
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x •性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x , 使下式成立:
a b f ( x ) d f ( ) b a ) . ——x ( 积分中值公式.
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i 1 区间[a, b]
x 的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为 a b f ( x ) d , 即 x a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
这是因为, 由性质6
m ( b a ) a b f ( x ) d M ( b a ) , x
x 即 m b 1 a a b f ( x ) d M ,x
由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使
f ( ) b 1 a a b f ( x ) d , x
两端乘以ba即得积分中值公式.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x •推论2 | a b f ( x ) d | a b | f ( x ) | d ( x a < b ) .x
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
于是
1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
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•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
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例 3
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解 f(x) 1 , x [0,],
3sin3 x 0si3x n1, 1 1 1,
4 3sin3 x 3
01 4d x03s1i3 x nd x01 3d,x
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . >>> x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . >>> x
定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形Biblioteka 面积•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
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所以
a b g ( x ) d a b f ( x ) d x a b [ g ( x ) x f ( x ) d 0 ] , x a b f ( x ) d a b g ( x ) d . x x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•定积分各部分的名称
————积分符号,
n
f
(xi )Dxi
———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 这是因为
x x a b f ( x ) d l 0 i n 1 i x f ( i ) m D x i l 0 i n 1 i [ f ( m i ) D x i ] a b [ f ( x ) d . ]
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
0 1 ( 1 x ) d 1 2 1 1 1 2 . x
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这是因为
xx a b a b [ [ f f ( ( x x ) ) g g ( ( x x ) ) d d ] ] l l 0 0 x i x i i n i n 1 1 [ [ f f m ( m ( i i ) ) g g ( ( i i ) ) D D x x i i ] ]
x x l 0 i i n 1 m f(i) D x i l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b g x ( x ) d .x x l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b g x ( x ) d . x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x
这是因为g(x)f(x)0, 从而
说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
三、定积分的性质
❖两点规定
( 1 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d 0 ; x ( 2 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d b a f ( x ) d . x
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x
n
x (3)求和: 曲边梯形的面积近A 似l 为 0 i 1 f ( i ) D x i i ;. m
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i . m
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2.变速直线运动的路程
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
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x •性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x , 使下式成立:
a b f ( x ) d f ( ) b a ) . ——x ( 积分中值公式.
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i 1 区间[a, b]
x 的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为 a b f ( x ) d , 即 x a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
这是因为, 由性质6
m ( b a ) a b f ( x ) d M ( b a ) , x
x 即 m b 1 a a b f ( x ) d M ,x
由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使
f ( ) b 1 a a b f ( x ) d , x
两端乘以ba即得积分中值公式.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x •推论2 | a b f ( x ) d | a b | f ( x ) | d ( x a < b ) .x
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
于是
1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
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•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
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例 3
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解 f(x) 1 , x [0,],
3sin3 x 0si3x n1, 1 1 1,
4 3sin3 x 3
01 4d x03s1i3 x nd x01 3d,x
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x 性 •性质 质2 2 a b k ( x ) d k f a b f ( x ) d x . >>> x 性 •性质 质3 3 a b f ( x ) d a c f ( x ) x d c b f ( x ) x d . >>> x
定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形Biblioteka 面积•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
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所以
a b g ( x ) d a b f ( x ) d x a b [ g ( x ) x f ( x ) d 0 ] , x a b f ( x ) d a b g ( x ) d . x x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•定积分各部分的名称
————积分符号,
n
f
(xi )Dxi
———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 这是因为
x x a b f ( x ) d l 0 i n 1 i x f ( i ) m D x i l 0 i n 1 i [ f ( m i ) D x i ] a b [ f ( x ) d . ]
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
0 1 ( 1 x ) d 1 2 1 1 1 2 . x
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这是因为
xx a b a b [ [ f f ( ( x x ) ) g g ( ( x x ) ) d d ] ] l l 0 0 x i x i i n i n 1 1 [ [ f f m ( m ( i i ) ) g g ( ( i i ) ) D D x x i i ] ]
x x l 0 i i n 1 m f(i) D x i l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b g x ( x ) d .x x l 0 i i n 1 g m (i) D x i a b f( x ) d a b g x ( x ) d . x
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a b f ( x ) d 0 ( a < b ) . x
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
a b f ( x ) d a b g ( x ) d ( a < x b ) . x
这是因为g(x)f(x)0, 从而
说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
三、定积分的性质
❖两点规定
( 1 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d 0 ; x ( 2 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d b a f ( x ) d . x
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三、定积分的性质
•性 性质 质1 1 a b [ f ( x ) g ( x ) d ] a b f ( x x ) d a b g ( x x ) d . x
n
x (3)求和: 曲边梯形的面积近A 似l 为 0 i 1 f ( i ) D x i i ;. m
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i . m
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2.变速直线运动的路程
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为