吉林大学硕士研究生入学考试数学分析高等代数考试

吉林大学

2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题

数学分析卷

一、（共30分）判断题

1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2

f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积； 2、若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，则级数

1

n

n a

∞

=∑也收敛；

3、任何单调数列必有极限；

4、数列

(){}1n

-的上、下极限都存在；

5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值；

6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；

7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=；

9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值；

10、向量场()

222222

,,x y y z z x ---是无源场。

二、（共20分）填空题

1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；

2、设(),,F x y y z z x →

=+++，则div ()F →

=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →

=---,则rot (

)F →

=；

4、设s 表示单位球面2

2

2

1x y z ++=，则第一型曲面积分

()2s

x ds =⎰⎰；

5、数列()2

211n n n ⎧⎫

+-⎨⎬⎩

⎭的下极限为()；

三、（共20分）计算下列极限

1、1200611lim n

n n k k →∞

=⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑；

2

、01lim

x x

→；

3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛

⎫+++

⎪++++⎝

⎭L ； 4、1

2

0lim 1n

n x dx x x →∞++⎰。 四、（共20分）判断下列级数的敛散性

1、1200620072005

n

n n

n ∞

=-∑； 2、1n n u ∞

=∑，其中()2

120,,1,2,1n n n

u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()1

0f x dx =⎰。

证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。 六、（10分）计算第二型曲线积分

2222343434C x y

dx dy x y x y -++⎰

其中C 为单位圆周2

2

1x y +=，方向为顺时针方向。

七、（10分）证明，对任意0x >，都有

3sin 6

x x x >-

八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有

()sin x x ax b αβ+=+

证明：0a b αβ====

九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足

()

0f x '+≤

十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){}

n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数；

（2）对每个固定的[]0,1x ∈，()lim 0n n f x →∞

=；

（3）()1

lim

n

n f x dx →∞=+∞⎰

高等代数与空间解析几何卷

一、（共32分）填空

1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。（要求用含有,i i x y 的等式表示）；

2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为_____；

3、设1

112

223

3

3a b c A a b c a b c ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

为可逆矩阵，则直线121212

x y z a a b b c c ==

---与直线232323

x y z

a a

b b

c c ==

---的位置关系为_____。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；

4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；

1242βααα=+-，1233ααα=-，且234,,ααα线性无关。求线性方程组AX β=的通解

_____；

二、（16分）求二次曲面2

2

2

24246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向；

三、（17分）设V 为n 维欧式空间，12,,,n u u u L 与12,,,n v v v L 为V 中向量，12,,,n u u u L 线性无关，且对任意的(),,1,2,,i j i j n =L 均有i j i j u u v v =。证明，必有V 上的正交变换σ，使得

()()1,2,,i i u v i n σ==L

四、（17分）设V 为数域Ω上的n 维向量空间，,στ均为V 上的线性变换，且满足

0στστ++=。证明：σττσ=

五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。 六、（17分）设V 为数域Ω上的2n 维向量空间，σ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。