吉林大学硕士研究生入学考试数学分析高等代数考试

吉林大学
2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共30分）判断题
1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2
f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积； 2、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n a
∞
=∑也收敛；
3、任何单调数列必有极限；
4、数列
(){}1n
-的上、下极限都存在；
5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值；
6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；
7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=；
9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值；
10、向量场()
222222
,,x y y z z x ---是无源场。

二、（共20分）填空题
1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；
2、设(),,F x y y z z x →
=+++，则div ()F →
=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →
=---,则rot (
)F →
=；
4、设s 表示单位球面2
2
2
1x y z ++=，则第一型曲面积分
()2s
x ds =⎰⎰；
5、数列()2
211n n n ⎧⎫
+-⎨⎬⎩
⎭的下极限为()；
三、（共20分）计算下列极限
1、1200611lim n
n n k k →∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑；
2
、01lim
x x
→；
3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛
⎫+++
⎪++++⎝
⎭L ； 4、1
2
0lim 1n
n x dx x x →∞++⎰。

四、（共20分）判断下列级数的敛散性
1、1200620072005
n
n n
n ∞
=-∑； 2、1n n u ∞
=∑，其中()2
120,,1,2,1n n n
u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()1
0f x dx =⎰。

证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。

六、（10分）计算第二型曲线积分
2222343434C x y
dx dy x y x y -++⎰
其中C 为单位圆周2
2
1x y +=，方向为顺时针方向。

七、（10分）证明，对任意0x >，都有
3sin 6
x x x >-
八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有
()sin x x ax b αβ+=+
证明：0a b αβ====
九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足
()
0f x '+≤
十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){}
n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数；
（2）对每个固定的[]0,1x ∈，()lim 0n n f x →∞
=；
（3）()1
lim
n
n f x dx →∞=+∞⎰
高等代数与空间解析几何卷
一、（共32分）填空
1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。

（要求用含有,i i x y 的等式表示）；
2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为_____；
3、设1
112
223
3
3a b c A a b c a b c ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
为可逆矩阵，则直线121212
x y z a a b b c c ==
---与直线232323
x y z
a a
b b
c c ==
---的位置关系为_____。

（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；
4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；
1242βααα=+-，1233ααα=-，且234,,ααα线性无关。

求线性方程组AX β=的通解
_____；
二、（16分）求二次曲面2
2
2
24246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向；
三、（17分）设V 为n 维欧式空间，12,,,n u u u L 与12,,,n v v v L 为V 中向量，12,,,n u u u L 线性无关，且对任意的(),,1,2,,i j i j n =L 均有i j i j u u v v =。

证明，必有V 上的正交变换σ，使得
()()1,2,,i i u v i n σ==L
四、（17分）设V 为数域Ω上的n 维向量空间，,στ均为V 上的线性变换，且满足
0στστ++=。

证明：σττσ=
五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。

六、（17分）设V 为数域Ω上的2n 维向量空间，σ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。

证明，存在V 的一个适当基底及Jordan 形矩阵A ，使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。

七、（17分）设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，σ为V 上的线性变换，且对任意的A ，()T A A σ=。

1、求σ的特征值；
2、对于每一个特征值，求其特征子空间；
3、证明V 恰为σ的所有特征子空间的直接和。

八、（17分）设()
ij
n n
A a ⨯=为n 阶实方阵，若对任意的()1,2,,i i n =L 均有1,n
ii ij i j i
a a =≠>
∑
，
则称A 为对角占优矩阵。

证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。

吉林大学
2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、（共30分）判断题
1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的；
2、若无穷积分
()0
f x dx ∞
⎰
收敛，则无穷积分()0
f x dx ∞
⎰也收敛；
3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；
4、有界数列的上、下极限都存在；
5、连续函数一定是有界函数； 6
7、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数，则(),f x y 在()0,0连续； 8、1
sin
x
在()0,1内有无穷多个极大极小值点； 9、若()00f x '=，则()f x 在点0x 必取极大值或极小值；
10、向量场()
222222
,,y z z x x y ---是无源场。

二、（共20分）填空题
1、设()
222
arctan u x y z =++，则grad (
)u =；
2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++，则div ()F →
=； 3、设()
2
2
2
,,F x yz y zx z xy →
=---,则rot (
)F →
=；
4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分
()
()3
s
x y z ds ++=⎰⎰；
5、数列()
11n
n n +⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭
的上、下极限的和为()；
三、（共20分）计算下列极限
1、222222lim 12n n
n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭
L ；
六、（10分）计算第二型曲面积分
222
222222
222x y z
dydz dzdx dxdy x y z x y z x y z ∑++++++++⎰ 其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。

吉林大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析卷
一、 二、
3、
2
1
1
y x
dx e dy ⎰
⎰
4、()2
2
234L xy x y ds +-⎰，L 为椭圆
22
143
x y +=，周长为a 。

三、
1、设()f x 于(),-∞+∞上二次连续、可微，存在不低于整数x 的常数0r >，使得
()f x r '≥。

记((0),)f η∈+∞，证明：存在,ξ使()f ξη=
2、()f x 和()g x 皆为区间[],a b 上的连续函数，(,)K x y 在[,][,]a b a b ⨯上二次连续，
1()(,)()()b
n n a
f x K x y f y dy
g x λ-=+⎰，其中λ为常数。

证明
（1）、
s u p
(,)1b
a
Kxy
d y λ<⎰时，()n f x 于(,)a b 一致收敛。

（2）、()f x 满足()(,)()b
a
f x K x y dy
g x λ
-=⎰
3、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数。

0
()(0)(0)()()x
x f f t f x t dt ϕϕ''=+-⎰
求证：0
()()()x
x f t f x t dt ϕ=
-⎰
4、11,0(),1,2,...10,1n nx x n
f x n x n
⎧
-≤≤⎪⎪==⎨
⎪≤≤⎪⎩ 证明：()n f x 在(0,1)上不一致收敛，且1
1
lim
()lim ()n n o
o n n f x dx f x dx →∞→∞
=⎰
⎰
5、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数，又0
()()()x
x f t f x t dt ϕ=
-⎰
，证明：
()()(0)()()x
x f x f f t f x t dt ϕ''=+-⎰
高等代数与空间解析几何卷
一、
1、求点(1,1,0)P 到平面1x y z ++=的距离。

2、求曲面2224x y yz ++=在点(1,1,1)P 处的切平面。

3、写出内积、外积和混合积的定义。

4、设1122()222n n n n n f x x x x x a ----=+++
++为在有理数域上大于1的多项式，
给出a 的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。

5、在复数域上，当g 取何值时，多项式3()3f x x x g =++有重因式。

6、011
101110A =，求正交矩阵P 及对角矩阵D ，使得T P AP D = 7、
8、V 是实数域上三元列向量空间，20
21011
a A a =，为n 阶正定矩阵。

定义
T uv u Av =，,u v V ∀∈，则当a 满足什么条件时，V 为欧式空间。

9、当,a b 为何值时，5个平面230,04k k k k a x y z b k +++=≤≤经过一条直线。

10、
求V 上的线性变换,στ，使**1,1σττσ=≠
二、
1、 设(),()f x g x 为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数n ，使得
()
()
f n
g n 都是整数，证明：
()
()
f x
g x 是整数多项式。

2、 P 在曲线2
2
2
1ax by cz ++=的充要条件是
222
21a b c d
αβγ=++，其中d 是向量OP 的长度，,,αβγ是向量OP 的方向余弦。

3、 V 是数域Ω上的向量空间，σ是V 上的线性变换，记：*
a σ=，a ∈Ω当且仅
当V 是σ的特征子空间。

4、 假设A 是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使得2
A B =。

5、 设V 是数域Ω上的n 阶矩阵构成的向量空间，A V ∈，()f x 是A 的极小多项
式，令{}()|()()U h A h x x =∈Ω，证明：
（1）U 是V 的子空间，而且dim dim ()U f x = （2）()f x ∀不可约，则U 的每个非零元素都是可逆矩阵。