第12章 非定常空气动力学(2)

W V E
因此，
Fr Fl Wr Wl
激波跳跃关系式
Fl Fr
Fr Fl Wr Wl
激波参照 系上的控 制体
为激波的运动速度
W V E
V F V 2 p V E p
l
Vl a*
, r
Vr a*
又，在激波坐标系中， 则
V
2
p V 2 p
l
r
pr pl lVl 2 rVr 2
普朗特公式，左行激波与右行激波
pr pl lVl 2 rVr 2
又，在激波坐标系中，
lVl rVr
于是有
pr pl lVl 2 rVr 2 lVl Vl Vr rVr Vl Vr
普朗特公式，左行激波与右行激波
对于两个相邻的同族激波，后面的激波比前面的运动 得快，必然赶上前面的。
l
1
m
2 m
2
r
以左行激波为例证明如下： 由 V a V a
r r
m
, Vm am 1 Vl al
得
2 1
即
2 1
因此，右边激波比左边激波跑得快，从而会赶上。
VVr l a*
根据 l
2
1
Vl a
*
, r
Vr a*
就得到激波坐标系中的普朗特公式： 普朗特公式还可以写成
VVr a l
* 2
l r 1
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式： 上式包含两种情况： （1）在激波坐标系中，流体从左向右流动，即
l r
1
第12章 非定常空气动力学(2)
2.3 运动激波关系式
2.3.1 激波跳跃关系式
激波跳跃关系式
在某参照系看来是静止的激波，在运动参照系看 来就是运动的。
激波跳跃关系式
以匀速运动的飞机的头部脱体激波为例，在固定 在飞机上的参照系看来是静止的，但在地面看来 就是运动的。
激波跳跃关系式
假设在一般坐标系中，激波是运动的，相应的流 动参数记为
普朗特公式，左行激波与右行激波
Vr ar Vl al
运动速度满足上述关系式的激波称为右行激波，因为在流 体质点看来，激波是向右传播的。
第Ⅲ束特征线向 右行激波会聚
普朗特公式，左行激波与右行激波
第Ⅰ束特征线向 左行激波会聚
第Ⅲ束特征线向 右行激波会聚
左行激波是第Ⅰ束特征线会聚形成的，因此也称第Ⅰ 族激波；右行激波是第Ⅲ束特征线会聚形成的，也称 第Ⅲ族激波。向相同方向运动的激波称为同族激波， 也称同向激波。
因此有 即 即
V 2 p l V 2 p r
l Vl pl r Vr pr
2 2
rVr2 pr lVl 2 pl rVr lVl
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
2.3.3 激波前后参数关系式
激波前后参数关系式
考虑压力密度关系，由于坐标 变换不影响热力学参数，因此， 运动激波前后的压力密度关系 与定常激波相同：
1 r 1 pr 1 l 1 r pl 1 l
Wl V , Wr V E E l r
1 2
其中， E e V 2 表示总能。
下标
l, r
分别表示激波左边和激波右边的状态。
激波跳跃关系式
由于激波的运动速度为，所以在激波坐标系看 来，流体的速度变为 V V ，总能变为 E e 1 V 2
rVr2 pr lVl 2 pl rVr lVl
rVr E
p p lVl E r Er l El r l
而
V F V 2 p V E p
因此有
V E p V E p l r
p p rVr E lVl E r Er l El r l
类似地，可以化为
激波跳跃关系式 rVr lVl r l 故有
r 1且l 1
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式：l r 1 第（2）种情况：在激波坐标系中，流体从右向左流动， 即 1且 1
r l
因此，
Mal l 1, Mar r 1
得到
Vr ar Vl al
激波跳跃关系式
Fr Fl Wr Wl
为激波的运动速度
上式反映了穿越激波流动参数的跳跃关系，所以一 般称为激波跳跃关系，在计算流体力学界也称为兰 金－于戈尼奥关系（Rankine-Hugoniot relation，简 称R-H关系式）。
激波跳跃关系式
Fr Fl Wr Wl
V V a a a 1 a H h 2 2 1 2 1 1 2
2 2 2 *2 *2
*2
在激波坐标系上，由于跨越（定常）激波总焓守恒， 所以左边的临界音速等于右边的临界音速，即临界音 速是一个不变的常数。
普朗特公式，左行激波与右行激波
在激波坐标系中定义临界音速 a* 和速度系数：
得
pl al2 pr ar2 Vr Vl lVl rVr Vl Vr
普朗特公式，左行激波与右行激波
pl al2 pr ar2 Vr Vl lVl rVr Vl Vr
在激波坐标系中，临界音速满足
Vl 2 al 2 Vr 2 ar 2 1 a 1 2 2 1 2 1
为激波的运动速度
在计算流体力学界，变量 W , V , E 称为守恒 变量，而 F V , V 2 p, V E p tr 称为通量
tr
函数。
激波跳跃关系式
在流场光滑的区域，流动参数满足下面的守恒方程：
W F 0 t x
式中，
V V
E e
1 V 2 2
激波跳跃关系式
在激波坐标系上，激波是静止的，因此可以照搬 静止激波的所有关系。
激波跳跃关系式
激波参照系上的控制体
考虑上图所示的激波参照系上的控制体，质量、 动量与能量守恒关系可以表示为
Fl Fr
激波跳跃关系式
激波参照 系上的控 制体
Fl Fr
V , E 为守恒变量，是因为
tr
W F 0 t x
d Wdx F F dt
沿空间积分得
因此，当 F F 时，W的总量并不随时间变化，即守 恒。
2.3.2 普朗特公式，左行激波与右行激波
普朗特公式，左行激波与右行激波
临界音速：当气流速度等于当地音速时，对应的音速 就是临界音速。 利用总焓守恒这一关系式，得临界音速与任一点流速 和音速的关系：
左行激波就是第Ⅰ束特征线会聚形成的激波
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式：l r 1 第（2）种情况：在激波坐标系中，流体从右向左流动， 即
V l 0且V r 0
V l V r
对于第(2)种情况，因激波是压缩波，所以
因此，在激波坐标系中看流动，波前必定是超音速， 波后是亚音速，即
即
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
因此，激波的速度介于由左右状态定义的第一个特征值之 间。
普朗特公式，左行激波与右行激波
Vr ar Vl al
运动速度满足上述关系式的激波称为左行激波，因为在流 体质点看来，激波是向左传播的。
第Ⅰ束特征线向 左行激波会聚
普朗特公式，左行激波与右行激波
第Ⅰ束特征线向 左行激波会聚
2
激波跳跃关系式
在激波坐标系看来，激波不动，相应的流动参数 记为：
Wl V , Wr V E E l r
V V
E e
1 V 2 2
激波跳跃关系式
为了方便，定义通量函数
V V 2 2 F V p , F V p V E p V E p
V l 0且V r 0
（2）在激波坐标系中，流体从右向左流动，即
V l 0且V r 0
普朗特公式，左行激波与右行激波
激波坐标系中的普朗特公式：l r 1 第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 即
V l 0且V r 0
Vl V r
对于第(1)种情况，因激波是压缩波，所以
因此有 即 即
lVl rVr
l Vl r Vr
rVr lVl r l
激波跳跃关系式
V V 2 2 V p V p V E p V E p l r
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得
l 1且r 1
Mal 1,
及 即 故
Mar 1,
Vr Vr Mar 1 ar ar
Vl Vl Mal 1, al al
Vr ar Vl al
*
2
由上述两式得
VVr l Vr Vl * 2 1 0 a
普朗特公式，左行激波与右行激波
VVr l Vr Vl * 2 1 0 a
因为 Vl Vr ，所以必有
VVr l a*
2
1
普朗特公式，左行激波与右行激波
W V , E
V F V 2 p V E p
当存在激波时，穿越激波满足跳跃关系式： 为激波的运动速度 Fr Fl Wr Wl
激波跳跃关系式
之所以称 W , 由守恒方程
知
aБайду номын сангаас a 且ar a
*
*
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得 1且 1
l r
及 故
al a*且ar a*
Vl Vl Mal l 1 al a*
且
Vr Vr Mar r 1 al a*
因此，在激波坐标系中看流动，波前必定是超音速， 波后是亚音速，即
l 1且r 1
普朗特公式，左行激波与右行激波
第（1）种情况：在激波坐标系中，流体从左向右流动， 得 1且 1
l r
即 由
* 2 * 2
Vl a*且Vr a*
Vl 2 al 2 Vr 2 ar 2 a a 2 1 2 1 2 1