几种不同类型的函数模型知 识点

几种不同类型的函数模型

一 函数模型及数学建模

函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．

那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学结论还原为实际问题．

建模过程示意图：

二 几种常见的函数模型

1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；

2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；

3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；

4．指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，

b≠1)；

5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x＋n(m、n、a为常数，a>0，

a≠1)；

6．幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；

7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．

三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较

正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．

直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一

个“档次”上. 随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x

总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x(a>1),y=log a x(a>1)和

y=x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x的增大，

y=a x(a>1)的图象逐渐表现为与y轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有a x＞x n＞log a x；（6）当0x0时，有log a x＜x n＜a x

一次函数模型

例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．

图(1) 图(2)

(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．

思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．

解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<96时，y1>y2，即便民卡便宜；当x>96时，y1

函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．

例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸，可列表：

数量(份)价格(元)金额(元)

买进30x0.206x

20x＋

卖出10×2500.306x＋750

退回10(x－250)0.080.8x－200

设每月所获利润为y元，则y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N)．

∵y＝0.8x＋550在[250,400]上是增函数，∴当x＝400时，y取得最大值870.

即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元．

二次函数模型

例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．

(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；

(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？思路点拨：首先用标价x表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．

解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx＋

b(k<0)，则旺季的最高价格为－元/件，利润函数L(x)＝(x－100)(kx ＋b)＝kx2－(100k－b)x－100b，x∈[100，－]．当x＝＝50－时，

L(x)最大．由题意知50－＝140，解得－＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×＝120(元/件)．

(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－＝120(元/件)，即n＝－120m，利润函数L(t)＝(t－100)(mt－120m)＝m(t－110)2－100m，t∈[100,120]．当t＝110时，L(t)最大．

所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．

二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二