如何证明两点之间距离最短(三维版)
两点间最短距离及走法
两点间最短距离及走法河南濮阳雨打芭蕉在地图与地球的复习中，我们很多老师会遇到“球面上两点间最短距离及走法”问题，下面是我的一点体会。
一、最短距离球面上两点间最短距离不能用平面几何的求法，最基本的原则是“过两点的大圆劣弧段”。
1、此处的大圆我们常见的有三个（类）：赤道、经线圈、晨昏线。
如果两点在这三个圆上则问题就非常简单。
2、如果两点的经度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一经线上，最短距离＝纬差×111KM；如果两点的纬度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一纬线上，最短距离＝经差×COS纬度×111KM。
3、其他情况属数学问题，地理不作考查。
二、两点间最短距离的走法1、如两点在同一经线圈上，如图1，A到B，过北极；如图2，A到B，过南极；如图3，A到B，向正北。
2、赤道上正东正西，如图4，A到B，向正东。
S图4图8AS图3 S图1S图23、如果在晨昏线上，如图5，b 为晨昏线， 从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
4、如图6所示，b 为过A 、B 的大圆，从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
5、如图7所示，b 为过A 、B 的大圆，从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
三、我不同意的一种走法如图8所示，有的资料或老师说“从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
”我不同意。
从数学的角度分析不可能。
10°E90°E°N 图7°N 50°E90°E°N图650°E90°ENb图530°N图8。
两点之间线段最短的证明
两点之间线段最短的证明当我们面对两个点之间的线段最短问题时，我们需要寻找一条路径，使得该路径的长度最小。
这个问题在数学中被广泛研究和应用，而下面我将给出一个简单而直观的证明。
假设我们有两个点A和B，它们的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2。
我们可以将这两个点的坐标表示为(A(x1, y1), B(x2, y2))。
现在，我们可以构造一条路径连接这两个点。
假设这条路径由若干个线段组成，每个线段的长度为d，路径的总长度为L。
我们的目标是找到一条路径，使得L最小。
我们可以使用勾股定理来计算每个线段的长度。
根据勾股定理，两点之间的线段长度可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)我们可以将路径的总长度表示为：L = d₁ + d₂ + ... + dn其中，d₁、d₂、...、dn分别为路径上的每个线段的长度。
现在，我们需要证明的是，在满足A和B的坐标不变的情况下，L 的值最小。
假设我们有另一条路径，它的长度为L'。
我们可以假设L'比L要小，即L' < L。
那么，根据路径的定义，我们可以得到：L' = d'₁ + d'₂ + ... + d'n我们可以注意到，对于任意的d'₁、d'₂、...、d'n的取值，我们都可以找到一个d₁、d₂、...、dn的取值，使得L < L'。
这是因为勾股定理中的平方根函数是一个递增函数，即当x < y时，√x < √y。
因此，我们可以得出结论：在满足A和B的坐标不变的情况下，L 的值最小。
我们证明了在两点之间，路径的长度最小。
这个结论在数学中是被广泛接受和应用的，它有助于我们在实际生活中解决各种问题，如最短路径规划、最优化问题等。
通过这个证明，我们更加深刻地理解了两点之间线段最短的原理和特性。
高中数学：几何体表面两点间的最短距离
高中数学：几何体表面两点间的最短距离正方体木块AC1的棱长为1，蜘蛛位于A1B1的中点M 处，苍蝇停留在D点，问蜘蛛应采用怎样的最短路线，才能最迅速地抓住苍蝇？利用正方体的平面展开图形进行分析，问题十分简单。
在展开图中，由于平面上两点间以直线距离为最短，故M至D应取直线段。
因为MND长＝MgD长＝MefD长＝MPD长＝故MPD长为应采取的最短线路结论：借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题，是处理立体几何问题的最佳方法。
要计算空间图形表面两点间的最短距离，只要利用了几何体的展开图形，就能把学生所熟悉的平面图形与立几图形有机地结合起来，使问题化难为易。
空间图形求表面上折线段最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系。
解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决。
例1、圆锥S—AB的底面半径为R，母线长SA＝3R，D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的A点，沿圆锥侧面移动到D点，求这点移动的最短距离。
解：如图，沿圆锥母线SA剪开展成平面图形，则AD最短。
因为∠ASD＝。
所以由余弦定理，得例2、圆台的上底半径为6 cm，下底半径为12 cm，高为。
下底面内两条半径OA与OB互相垂直，M是母线B1B上一点，且BM：MB1＝2：1，求圆台侧面上A、M两点间的最短行程。
解：如图，在直角梯形OO1B1B中，由公式，求得如图，设圆台的侧面展开扇环的中心角∠＝θ，，则θ＝，解得x＝9 cm，θ＝240°。
依题意得，PM＝＝12cm，∠APB＝。
PA＝PB＝18cm。
在△PAM中运用余弦定理得：故圆台侧面上A、M两点间的最短行程为例3、设正三棱柱的侧棱长为3，底面边长是1，沿侧面从A 点到A1点，当路径AM—MN—NA1最短时，求AM与A1N 所成的角。
解：如图5（甲），过A作AP//A1N交B1B于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角。
2019贵州国考行测点睛：如何求解几何问题中的最短距离
2019贵州国考行测点睛：如何求解几何问题中的最短距离在几何问题的考查中，会遇到求解最短距离的题目，其中最短距离指的是：两点之间线段最短。
但是有时候所求是立体图形不在一个平面上的两点，那么怎么来求两点之间的最短距离呢?中公教育专家认为，此时就需要我们运用空间想象的能力，将立体图形展开成为平面图形进行求解。
1.方法：利用空间想象力，把立体图形展开成一个平面图形，利用最短或最远距离解题。
2.关键：在求解过程中，会涉及到最短或最远距离，要能找到这些距离。
平时在生活中，可以多画一画立体图的展开图，培养自己的空间想象力。
1.有一个长方体如图所示，上下两个面是正方形，边长为a，高为2a，若从A点到B点的表面最短距离的连线与边CD相交与F点，已知BF长为10，求这个长方体的体积?A.90B.90C.540D.【中公解析】由题意可将A点和B点最短距离的连线划出，交CD于F点，得到图形如图，由相似三角形知道，BD：BE=BF：AB=1：3，所以知道AB连线为30，由三角形ABE勾股定理得到，，选择选项D。
平面如图：2.颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这3颗卫星距地球最短距离为()。
A. RB. RC.RD.2R【中公解析】3颗卫星组成的平面与地球相切时距离最短且可覆盖全球表面。
如图所示，等边三角形顶点到其内接圆圆心距离为2R，卫星距离地球最短距离为R。
故选择C选项。
3.如图，正四面体ABCD，P、Q分别是棱AB、CD的三等分点和四等分点(AB=3AP=4CQ)，棱AC上有一点M，要使M到P、Q距离之和最小，则MC∶MA=( )。
A.1∶2B.4∶5C.3∶4D.5∶6【中公解析】如图展开，PQ为最短距离。
△APM与△CQM相似，MC∶MA=CQ∶AP=3∶4。
故选择C选项。
利用展开图求立体图形表面上两点的最短距离
利用展开图求立体图形表面上两点的最短距离
我们知道，在平面上两点之间的最短距离是以这两点为端点的线段，那么在立体的几何体的表面，两点之间的最短距离是怎样求呢？
例1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
分析：正方体可以有平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图2，是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．
解：如图2，是正方体展开成平面图形的一部分，
在矩形ACC’A’中，AC=2，CC’=1
∴线段AC’=．
∴从顶点A到顶点C’的最短距离为
注意：在正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，从顶点A到顶点C’的最短距离的路线是不唯一的，请自己研究．
例2、如图，已知：圆锥的底面半径为，母线SA长为2，M为SA的中点，有一根绳子从A点出发，沿圆锥的侧面绕一周到达M点，问绳子最短是多少？
解：如图，沿母线SA将圆锥侧面展开，
M’为SA’的中点，则线段AM’长度就是所要求的绳子最短的长度．AA’弧长=2π，
∴∠ASA’=，
∴AM’=，
∴问绳子最短是．。
立体图形上的最短路径问题
第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题解析：解：展开图如图所示，13AB cm ==所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C ’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC ’（在面ADD ’A ’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA ’B ’B 与BB ’C ’C 相连，连接AC ’，使E 点在AC ’上（如图2）)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线. 过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.34SF cm ==【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ， 由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒， 故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒点B 到P 的最短距离为 )BP m ===【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A则'15BA ==厘米【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2，解得x =25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =13AB m ===【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .)cm【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=∴)AC cm ===【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？ 阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少？（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm ；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高 试题解析：解：（1）如图，O 的周长为30cm ，即AC =30cm高是40cm ，则BC =40cm ，由勾股定理得50AB cm ==故爬行一周的路程是50cm（2）O 的周长为80cm ，即AC =80cm绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm∴树干高=60×10=600cm =6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A B C ．1 D ．2+【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M∴1224A B=+=11A M=∴BM=故选：B【难度】较易6.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线. 试题解析：解：∵C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A∴侧面展开图BO 为扇形对称轴，连接AC 即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，作出C 关于OA 的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO 的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．【答案】(cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt △BCD 中，CD ==，∴12BE CD ==，在Rt △ACE 中，AE ==，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为(cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180n ππ⨯⨯⨯=，解得：90n = 即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'AA =【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ， 则422180n ππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒ 即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，BP =点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假 设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得1AC =如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线1459AB BB +=+=，113B C =根据勾股定理得1AC =如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线. 437AB BC +=+=，15CC =根据勾股定理得1AC.在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC= ∴457BE =，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径 （2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++-解得：15x =，2172x =- ∵0x ＞∴5x =所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在 长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即 为最短路线长【难度】较难11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A ．4.8B ．5 D 【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B 、，②将长方体展开成如图所示，连接A B 、【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20cm，点B 距离C点5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1（2（3所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况：○1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==○2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开，蚂蚁爬行的最短距离==∵【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使PA+PB 最短， 过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A ’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离∵底面周长为1m∴'0.5A D m =， 1.2BD m =' 1.3A B m =【难度】一般类型三 通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ,点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B 关于CD 的对称点B ’，连结AB ’， 交CD 于点P ，连结PB ，则最短路线应该 是沿AP 、PB ’ 即可试题解析：解：如下图所示，作点B 关于CD 的对称点'B ，连结'AB ，交CD 于点P ，则蚂蚁的爬 行路线'A P B →→ 为最短，且'AP PB AP PB +=+在'Rt AEB 中，15AE CD ==，''=12820EB ED DB AC BD =++=+=由勾股定理知 '25AB =所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。
立体图形上的最短路径问题
【答案】13cm 【解析】 试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从 B 点到 A 点
的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析：
解：展开图如图所示， AB 52 122 13cm
所以，蚂蚁爬行的最短路线是 13cm
类型二 通过旋转来转化 【例题 2】如下图，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底 面上的 A 点沿棱柱侧面到点 C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？
A． 13
【答案】B 【解析】 试题分析：
B． 17
C．1 D． 2 5
根据已知得出蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，蚂蚁爬行的最短距离是
如图 BM 的长度，进而利用勾股定理求出 试题解析：
解：∵蚂蚁从盒外的 B 点沿正方体的表面爬到盒内的 M 点 ∴ 蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度 ∵无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 M ∴ A1B 2 2 4 A1M 1 ∴ BM 42 12 17
【难度】较易 类型二 通过旋转来转化 2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处开 始绕油罐一周造梯子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？
【答案】13m
【解析】
试题分析：把圆柱沿 AB 侧面展开，连接 AB ，再根据勾股定理得出结论
【答案】 34cm
【解析】 试题分析：
展开后连接 SF ，求出 SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点 S 作 SE CD 于 E ，求出 SE 、 EF ，根据勾股定理求出 SF 即可.
利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离
利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离 陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312简单几何体的侧面展开图,除用以计算几何体的面积外,还有一个很重要的作用,教材上很少涉及.但对学生来说却很有趣,这就是用以解决几何体上两点间的最短距离问题.这类问题乍看起来无从下手,但作适当的转化,就可找到问题的突破口,使问题变得简单明了.本文通过教学中的例子对这个问题进行探讨.一、对于多面体上两点间的最短距离,直接求解往往有困难,可采取把立体图形展开成平面图形,通过“化折为直”的途径予以解决.例1（2005年江西高考题）分析: 引导学生观察直观图,进行分析、探索.根据对称性,从E 到F 走“近道”绕过棱11111B B A B AC 、、有三种走法：1E B B 1（）——F ； 1E A F B 1（2）——；1E A F C 1 （3）——.要求最短距离,怎么办?在三棱柱表面上弯来拐去的不好确定.若能把每一条路线所经过的两个平面“拉平”就好办了，因此，把表面展开，在展开图中进行比较、计算. 解: 对于三种走法(1)、（2）、（3），作三棱柱的表面展开图（如图示），连接EF ，得到三条线段，设它们的长分别为123 l l l 、、，则12l == 2l ==32l ==. 因为 321l l l <<,所以沿棱柱表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 2. 点评: 由上例可以看出,在多面体中,要求几何体表面上两点之间的最短距离,可利用展开图.由平面上“两点之间线段最短” 即可求得,如果路径有多条,可通过比较,选取最短者.例2(2006年江西高考题)分析: 在例1的基础上,学生可很快得到本题的解题思路:沿侧棱1AA 展开并重复一次得展开图(如图示),图中矩形对角线1AA 的长即为所求的最短距离.显然1AA 10==.二、对于旋转体表面上两点间的最短距离，直接求解学生可能感到束手无策，若能将空间曲面转化为平面，就可通过“化曲为直”的途径予以解决.。
立体图形中的最短路程问题教学设计
勾股定理的应用----------立体图形中的最短路程问题一、内容和内容解析1、内容利用勾股定理解决立体图形中两点的最短路程问题.2、内容解析勾股定理的应用特别广泛，而利用勾股定理来解决立体图形中两点的最短路程问题是本章中常常遇到的一种类型题.这类问题可以通过将立体图形展开，转化为平面图形，进而利用“线段公理”和“勾股定理”来解决问题.本节课的探究是从研究现实生活中人们常常喜欢走“捷径”这样一个平面问题展开的，进而引导学生探究两点沿“曲面”和“折面”的最短路程的解法，探究的过程要体现从“特殊到一般”的研究方法，同时让学生感受“转化与化归”的数学思想在解决实际问题中的重要作用.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究立体图形展开为平面图形的方法，并学会利用线段公理和勾股定理求出最短路程.二、目标和目标解析1、目标（1）经历立体图形转化为平面图形的探究过程，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的, 感受从特殊到一般的研究方法，培养学生的动手能力和空间想象能力，使学生能够实现从感性认识到理性认识的飞跃.(2)学会利用“线段公理”和“勾股定理”找到并求出立体图形中两点的最短路程，明确“转化与化归”的数学思想是我们解决此类问题的基本思想方法.2、目标解析目标（1）要求学生动手实践，利用长方形纸片围成圆柱的侧面，探究两点在“曲面”上的最短路程的解法，进而总结出等距离绕圆柱n周的规律方法；对于两点沿“折面”的最短路程，先从特殊的长方体-------正方体入手，研究它的各种展开情况，再顺势研究一般的长方体的展开情况，培养学生的空间想象能力,让学生感受从特殊到一般的研究问题的方法，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的。
目标（2）要求学生在前面展开图的基础上找到两点之间的最短路程，并能够构造直角三角形，利用勾股定理计算出最短路程，体会解决此类问题的方法.三、教学问题诊断分析在初一上学期学生已经学过线段公理，知道在平面内，可以利用“两点之间，线段最短”来找到两点之间的最短路程，进而求出这两点的最短距离。
立体图形上最短距离问题
G
表面爬到顶点 E 的位置，请你说
F
A
D E
H
2
B
C
明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短？为什么？ 分析：由于 长方体每边的长短不一样，所以在展开图中就有三种
不同的形式，三种情况下结果就会不一样 解：方案一：将面 ABCD 沿 DC 展开和面 CDEF 在同一个平面中，
如图,这时 BE 的长度为 2+3=5，EF 的长度为 1，所以 AE=
A 是圆周长的一半。然后利用勾股定理求解
即可。 解：圆柱的侧面展开图如图所示：
5
B
A
AB= 32 82 8.5
圆柱是常见的几何体，所以在它其中也有几种基本的变形，总结
如下：
第一种变形：
要绕着圆柱表面从点 A 到点 B ,那么最 B
短距离应该为多少？
分析：要求要绕着圆柱表面从点 A 到点
B，所以肯定不是沿着高来走，同样要在展开 A
（1）、当蚂蚁从正方体的一个顶点 A 沿表面爬到顶点 B，怎样爬
距离最短？
1
分析：由于顶点 A 和顶点 B 在同一个平面上，所以连接，利用勾 股定理直接求解即可。
（2）如图，如果蚂蚁要从边长为 1 cm 的正方体顶点 A 爬到顶点 C，那么爬行的最段距离是多少？
分析：由于顶点 A 和顶点 C 不在同一个平面上，所以要求最短距 离需要将正方体展开，在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。
解：将正方体展开，下面是其四连面的一部分，这是 A 与 C 的位 置如图所示，
A 这时 AC 的长 度就是长方形的对角
C
线的长度。所以 AC 的长度等于 22 12 = 5
所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。
立体图形中的距离最短问题
立体图形中的距离最短问题根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。
空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。
立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。
解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。
一、通过平移来转化1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm二、通过旋转来转化2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
AB = 4，BC为底面周长的一半即BC = 5πAC = AB2 + BC2=42 + (5π)2= 16 + 25π24.藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？（1）如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得AB =50cm．故爬行一圈的路程是50cm；（2）⊙O的周长为80cm，即AC=80cm，绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，高BC = 60cm．∴树干高=60×10=600cm=6m．故树干高6m5.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）B CBACAA.B.C.D.要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线． 故选C6.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）。
计算球面上两点间最短距离的方法
计算球面上两点间最短距离的方法在球面上确定两点之间的最短距离，实际上是寻找这两点沿球面大圆（即过球心的平面与球面相交得到的圆）上的弧长。
这是因为球面大圆上的弧是球面上任意两点之间的最短路径。
以下是如何计算这一最短距离的步骤：1. 坐标表示首先，需要知道这两点在三维空间中的坐标，记为点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)。
2. 转换为球坐标（可选）虽然这一步不是必需的，但将直角坐标转换为球坐标（即纬度、经度和半径）有时可以使问题更直观。
然而，在直接计算最短距离时，我们通常会保持使用直角坐标。
3. 计算球心角两点之间的最短距离对应于以球心为顶点、两点为端点的球面三角形的内角（或称为球心角）。
这个角θ可以通过计算两点与球心构成的向量之间的夹角来得到。
具体地，使用向量的点积公式：cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1x2+y1y2+z1z2R2其中，R是球的半径，OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是从球心O到点A和点B的向量。
注意，由于OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 都是半径为R的向量，所以它们的模都是R，可以直接在公式中消去。
4. 计算最短距离一旦我们有了球心角θ（以弧度为单位），就可以使用弧长公式来计算两点之间的最短距离d：d =R ∙θ但是，由于我们已经有cosθ，并且需要得到θ本身，我们可以使用反余弦函数（即arccos 或cos −1）来找到它：θ=arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)然后，将θ代入弧长公式得到最短距离：d =R ∙arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)注意事项● 确保在计算arccos 时使用的是弧度制，而不是角度制。
● 如果两点几乎重合或非常接近，则cosθ将非常接近于1，这可能导致数值不稳定性。
在实际应用中，可能需要添加一些检查来处理这种情况。
三维空间中两个线段的最小距离算法 用向量的方式
三维空间中两个线段的最小距离算法用向量的方式在三维空间中，两个线段的最小距离可以通过向量的方式进行计算。
首先，我们需要定义两个线段，每个线段可以用两个点来表示。
假设线段AB和线段CD是我们要计算最小距离的线段。
步骤1：计算两个线段的方向向量首先，我们可以计算线段AB的方向向量和线段CD的方向向量。
方向向量可以通过线段的两个点之间的差来计算：向量AB = B - A向量CD = D - C步骤2：计算两个线段上一点到另一线段的向量我们可以选择线段AB上的一点P，并且计算向量PC = C - P。
同样地，我们可以选择线段CD上的一点Q，并且计算向量QA = A - Q。
步骤3：计算两个线段的最小距离最小距离可以通过将两个线段的方向向量与两个线段上的点到另一线段的向量进行组合来计算。
具体计算方法如下：-计算AB和CD的垂直向量计算向量n = AB × CD的叉乘。
（×表示向量的叉乘）。
这个向量垂直于AB和CD，且具有长度。
-计算线段AB上的一点P到CD上的投影计算向量v = PC · n / (AB · n)的数量积。
（·表示向量的数量积）这个向量是点P到线段CD的投影向量。
-计算线段CD上的一点Q到AB上的投影计算向量u = QA · n / (CD · n)的数量积。
这个向量是点Q到线段AB的投影向量。
-计算最小距离最小距离可以通过将线段AB上的点坐标P与线段CD上的点坐标Q 进行组合计算：最小距离= ||P + v · AB - Q - u · CD||的长度。
（||表示向量的长度）步骤4：判定两个线段是否相交如果最小距离为0，则说明两个线段相交。
因此，我们还需要进行这一步骤的判断。
综上所述，以上就是计算三维空间中两个线段最小距离的算法流程。
这种算法通过将线段投影到垂直于两个线段的向量上，并计算向量投影的数量积，能够准确地计算得到两个线段之间的最小距离。
三维坐标中两点间距离公式
三维坐标中两点间距离公式在我们学习数学的旅程中，有一个非常实用的工具，那就是三维坐标中两点间距离公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开很多空间几何的谜题。
想象一下，我们身处一个巨大的三维空间里，就像在一个超级巨大的立体迷宫中。
这个迷宫可不是那种平面的，而是有着上下、左右、前后的全方位空间。
而我们要找到从一个点到另一个点的最短路径，这时候三维坐标中两点间距离公式就派上用场啦！比如说，有两个点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，那它们之间的距离 d 就可以通过这个公式算出来：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂- z₁)²) 。
咱们来具体讲讲这个公式怎么用。
假设我们有一个点 A(1, 2, 3) ，另一个点 B(4, 5, 6) 。
那我们就把数字代入公式里，先算 (4 - 1)²，这等于 9 ；再算 (5 - 2)²，得 9 ；最后算 (6 - 3)²，是 9 。
然后把这三个 9 加起来，就是 27 。
最后再对 27 开平方根，就能得到这两点之间的距离啦。
我记得有一次，我们班上组织了一个有趣的活动。
老师在教室里布置了一个三维空间的模型，让我们分组去找出指定两点之间的距离。
我和我的小伙伴们兴奋极了，拿着尺子和笔，在那个模型里比划来比划去。
我们认真地记录着每个坐标的数值，然后小心翼翼地代入公式进行计算。
有时候因为太着急，还会算错，然后大家一起重新检查，互相帮忙。
那股认真劲儿，现在想起来都觉得特别有意思。
再深入一点说，这个公式在实际生活中也有很多用处呢。
比如说建筑师在设计高楼大厦的时候，他们要考虑不同楼层、不同位置之间的距离和空间关系，这时候就需要用到三维坐标中两点间距离公式。
还有在航空航天领域，计算卫星之间的距离、轨道的长度等等，也离不开这个公式。
而且啊，这个公式还能帮助我们更好地理解空间的概念。
三维空间两点间距离公式
三维空间两点间距离公式在我们学习数学的奇妙旅程中，有一个非常实用又有趣的知识点，那就是三维空间两点间距离公式。
还记得我有一次去商场逛街，在一个偌大的玩具区，我看到一个小男孩儿正在努力地摆放着一堆积木。
他想要把两块形状不同但位置似乎有关联的积木拼接在一起，小脸儿上满是专注和认真。
我好奇地走近，发现他其实是在尝试构建一个三维的小城堡。
他一边摆弄着积木，一边嘴里还念念有词。
我仔细一听，原来他在计算积木之间的距离，想要让城堡的结构更加稳固和美观。
这让我一下子就想到了咱们要说的三维空间两点间距离公式。
那到底什么是三维空间两点间距离公式呢？咱们来好好说道说道。
假设在三维空间中有两个点 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂) ，那么这两点之间的距离 d 就可以通过以下这个公式来计算：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] 。
这个公式看起来有点复杂，是吧？但其实咱们把它拆开一点点理解，也没那么难。
你看，(x₂ - x₁)²这部分就是计算在 x 轴方向上两点的距离差的平方，(y₂ - y₁)²是在 y 轴方向上的，(z₂ - z₁)²是在 z 轴方向上的。
然后把这三个平方和开个平方根，就得到了三维空间中两点的实际距离。
比如说，有两个点 A(1, 2, 3) 和 B(4, 5, 6) ，那它们之间的距离就是：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²] = √[3² + 3² + 3²] = √27 = 3√3 。
这个公式在生活中的应用可多了去了。
就像刚才那个小男孩搭积木，如果他知道这个公式，就能更准确地计算出积木之间的距离，从而搭建出更完美的城堡。
再比如说，建筑师在设计大楼的时候，他们要考虑不同房间、不同结构之间的位置关系，这时候三维空间两点间距离公式就能派上大用场。
2019国考行测备考：立体几何最短路径问题轻松解决
2019国考行测备考：立体几何最短路径问题轻松解决2019国考的备考学习已经开始了，很多考生已经正式开启了备考模式，您呢?开始学习了么?学到数量关系了么?遇见立体几何的最短路径问题了么?觉得有困难么?今天就一起看看立体几何中的最短路径问题，让您轻松应对，从容解决!那么让我们先从一个立方体开始吧!
一、题型预览：
例1：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。
设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：
二、解题方法：
将立体图形上行走最短路径部分形成平面展开图，求解平面展开图上两点间最短距离。
(立体图形平面转开)
示例：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。
设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：
解析：正方体形成平面展开图含A点和C点即可，如图所示，连接AC。
两点之间直线最短，则蚂蚁爬过的最短路程为A、C两点连线，则
，选择B。
数量关系中的立体图形最短路径问题真的可以很容易解决了吧，其实，这里考查的关键点还是我们在很小就知道的两点之间，线段最短的道理。
还要提醒各位同学，很多的有趣的题目好像有点儿难其实考的都是我们的基础，回归课本，回归课堂其实就会看到自己的进步，走近公职的梦想。
立体图形中的距离最短问题
立体图形中的距离最短问题根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。
空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。
立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。
解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。
一、通过平移来转化1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm二、通过旋转来转化2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
AB = 4，BC 为底面周长的一半 即BC = 5πAC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2= 16 + 25π24.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm ，绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？（1）如图，⊙O 的周长为30cm ，即AC=30cm ， 高是40cm ，则BC=40cm ，由勾股定理得AB =50cm ． 故爬行一圈的路程是50cm ；（2）⊙O 的周长为80cm ，即AC=80cm ，绕一圈爬行100cm ，则AB = 100cm ，高BC = 60cm ．∴树干高=60×10=600cm=6m ． 故树干高6m5.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线．A .B .C .D .故选C6.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）。
三维距离公式
三维距离公式三维距离公式是计算三维空间中两点之间的距离的数学公式。
在三维空间中，每个点可以用一个三个数字的有序组来表示，分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，那么这两个点之间的距离可以通过以下公式进行计算：d = √((Bx - Ax)² + (By - Ay)² + (Bz - Az)²)其中，d表示点A和点B之间的距离。
我们来看一个简单的例子。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用三维距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们可以得到：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3。
三维距离公式的推导过程如下：假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
我们可以将这两个点之间的距离表示为直角三角形的斜边长度，而x轴、y轴和z轴上的距离则分别为两个直角边的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过两个直角边的长度求得。
因此，我们可以将点A和点B之间的距离d表示为：d = √((Bx - Ax)² + (By - Ay)² + (Bz - Az)²)其中，(Bx - Ax)表示x轴上的距离，(By - Ay)表示y轴上的距离，(Bz - Az)表示z轴上的距离。
三维距离公式可以用于解决许多实际问题。
比如，在建筑设计中，可以使用三维距离公式计算建筑物的长度、宽度和高度。
在物理学中，可以使用三维距离公式计算物体在空间中的位置和运动轨迹。
在计算机图形学中，可以使用三维距离公式计算三维模型之间的距离以及三维空间中的碰撞检测等。
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如何证明两点之间距离最短(三维版)
两点之间直线最长曲线最短
证明如下：
两点之间直线最短，这是数学常识，我无异意。
我只是站在另一个角度思考问题。
我试图把北京和纽约这两个点用直线连接起来，因为两点之间直线最短，但折腾了半天，发现：两点之间直线最长。
原理在于，地球是圆的，任何一点与另一点之间都无法直线连接，一旦想直线连接，连线必然沿切线直飞出去，很难与另一点连接在一起。
唯有曲线连接，才是最短的距离。
我拿了一个可口可乐瓶子，在瓶面上取两点，想把这两点用直线连接起来，结果失败，结果依然证明：两点之间直线最长，曲线最短。
百般思索和试验的结果发现：所谓两点之间直线最短的结论仅仅适合于二维平面之中，超出二维平面，这个结论失效。
此外，这个结论在理论上成立，在实际中不成立。
这就是说，不在同一维度中两点之间无法直线连接，越想用直线连接，距离会越远。
同时，理论上正确的，实际中无法应用。
把这个发现引伸到其他领域结果会如何呢？在思想领域，两点之间也无法直线连接，比如耶稣、佛陀、老子、穆罕默德、马克思列宁毛泽东、奥修、赛斯等等的思想相互之间无法用直线连接，最短的距离是曲线连接。
在社会领域，比如美国和中国的制度，这两点之间也无法直线连接，唯有曲线最短。
在信仰领域，比如无神论和有神论，进化论和创造论，唯心论和唯物论，都无法直线连接。
在人文领域，比如东西方文化，尤其是其价值观，也无法直线连
接。
在情爱方面，越是直线连接，寿命越短，"曲径通幽处，禅房花木深，"越曲，越心惊肉跳，越有滋味。
在幸福快乐方面，越想直线获得幸福快乐，越得不到幸福快乐。
许多人走了一辈子，最后会发现越直接的路是离幸福快乐最遥远的路，且不通向任何目的地。
其实，中国人是最懂曲线道理的，行贿不直接向本人行，而是通过其夫人或七大姨八大姑行贿，也不一定直接行物行钱，而是提供获利方便。
办事不直接到办公室说，而是先请到酒店意思意思。
心急火燎却装得没事人似的。
什么"欲擒故纵"、"围魏救赵"、"瞒天过海"、"声东击西"、"暗渡陈仓"、"借尸还魂"、"指桑骂槐"、"偷梁换柱"、"美人计"、"反间计"等等，等等就是在搞"曲线救国"。
人生的路越曲越好，越直接越不好。
人一出生，什么都不感受体验，就直达坟墓，有什么好的？今天谈恋爱，明天就结婚，后天生孩子，大后天就寿终正寝，有什么好的？吃饭、上班、睡觉，再吃饭、再上班、再睡觉，有什么好的？从一而终有什么好的？伟人说过，"前途是光明的，道路是曲折的，"把这句话倒过来说就是一个真理：道路曲折的，前途是光明的。
起码是更有意义的。
生命领域同样如此，如果师父直接告诉我们生命的奥秘，明天就去仙岛群岛洲，一是反而去不了，二是错过了丰富多彩的人生体验。
如果乐着、笑着、打闹着、嘻嘻哈哈着、感受着、经历着、体验着，看起来是曲线，不直接，但实际情况是：两点之间直线最长，曲线最短。
我喜欢反常思维，把正常的看作不正常，不正常的看作正常，结果，思维可以向无限陌生无限宽广的领域延伸，常常有"山穷水复疑无路，柳暗花明又一村"的感受。
常常反过来想想。
常常倒过来看看！就灵活了。
嘻嘻！。