第二章几个重要的不等式 (6)

n
专题五 探索性问题
【例 5】 是否存在常数 a，b，c 使得等式 1· 22＋2· 32＋„＋ n（n＋1） 2 n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切 n∈N＋都成立？ 12
2
并 证明你的结论.
解 假设存在符合题意的常数 a，b，c， n（n＋1） 2 在等式 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)中， 12
专题六 与数列通项有关的归纳、猜想、证明
【例 6】
1n 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋n an(n∈N＋)，e
为自然对数的底数. (1)求函数 f(x)＝1＋x－e
x
1n 的单调区间， 并比较1＋n 与 e 的大小；
b1b2„bn b1 b1b2 b1b2b3 (2)计算a ，a a ，a a a ，由此推测计算 的公式，并给出 a a „ a 1 1 2 1 2 3 1 2 n 证明； 1 (3)令 cn＝(a1a2„an)n，数列{an}，{cn}的前 n 项和分别记为 Sn， Tn，证明：Tn<eSn.
章末复习提升
学习目标 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义， 会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值. 2.了解n个正数的平均值不等式，n维柯西不等式，排序不等 式.
3.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关 的等式、不等式、整除性问题和几何问题. 4.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不
1 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a
≥(1＋1＋1＋1)2. 即
1 1 1 1 2(a＋b＋c＋d)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a ≥16，
2 2 2 2 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d a＋b b＋ c c＋d d＋a 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 1 a＋b b＋c c＋d d＋a ⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等， 2 2 2 2 16 故 ＋ ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d
3
1 (2)由(1)猜想 x ＋xn＝2cos nθ (n∈N＋)，
n
证明：①当 n＝1，2 时，由(1)已证.
②假设 n＝k 及 n＝k－1 (k≥2，k∈N＋)时，命题成立， 1 即 x ＋xk＝2cos kθ ，
k
x
k－1
＋
1 xk－1
＝2cos(k－1)θ 则 n＝k＋1 时，x
k＋1
＋
1 xk＋1
7. 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 . 证明 时，它的两个步骤缺一不可 . 它的第一步 ( 归纳奠基 )n ＝ n0 时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推
得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理
的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成 立.
(2)( 二 维 变 式 ) ：
a2＋b2来自百度文库·
c2＋d2 ≥ |ac ＋ bd| ，
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3)(向量形式)： 设 α， β 为平面上的两个向量， 则|α||β|≥|α·β|， 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 与 β 共 线(或平行)⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ.
专题二 利用柯西不等式求最值
【例 2】 已知 x＋y＋z＝1， 求 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3的 最大值.
解 由柯西不等式，得
( 3x＋1·1＋ 3y＋2·1＋ 3z＋3·1) ≤ 3x＋1＋3y＋2＋3z＋3· 12＋12＋12 ＝ 3（x＋y＋z）＋6· 3＝ 27＝3 3. 3x＋1 3y＋2 3z＋3 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ，
证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 1 1 1 故 a ≥b ≥c ， ≥ ≥ ， b＋c c＋a a＋b
2 2 2
由排序不等式得： a2 b2 c2 c2 a2 b2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b a2 b2 c2 b2 c2 a2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
1 1 1 (*1)得 Tn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn＝(a1)1＋(a1a2)2＋(a1a2a3)3＋„ ＋(a1a2„an)n
1
1 1 1 1 （b1） （b1b2） （b1b2b3） （b1b2„bn）n 1 2 3 ＝ 2 ＋ ＋ ＋„＋ 3 4 n＋1 b1＋b2 b1＋b2＋b3 b1＋b2＋„＋bn b1 ≤ ＋ ＋ ＋„＋ 1×2 2×3 3×4 n（n＋1）
8.运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时， 项数发生什么变化被弄错. (2)没有利用归纳假设. (3) 关键步骤含糊不清，“假设 n ＝ k 时结论成立，利用此假
设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，
也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完 整，注意证明过程的严谨性、规范性.
2
a1 a2 2 1 bn)2≥|a1b1＋a2b2＋„＋anbn|， 其中等号成立⇔b ＝b ＝„＝ 1 2 an bn. 4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.
5.排序不等式：设a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn为两组实 数，c1，c2，„，cn为b1，b2，„，bn的任一排列，则有： a1bn ＋ a2bn － 1 ＋„＋ anb1 ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋„＋ ancn ≤ a1b1 ＋
2
1 (2)归纳出 x ＋xn (n∈N＋)的值，再用数学归纳法证明.
n
解
1 1 2 (1)x ＋ x2 ＝ x＋x － 2 ＝ 22cos2 θ － 2 ＝ 2(2cos2θ － 1) ＝
2
2cos 2θ 1 13 1 x ＋ 3＝x＋x －3x＋x ＝8cos3θ －3×2cos θ ＝2cos 3θ . x
a2b2＋„＋anbn.等号成立(逆序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝„
＝an或b1＝b2＝„＝bn.排序原理可简记作：逆序和≤乱序 和≤顺序和.
6.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方
法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后 假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时 命题也成立，那么就证明了这个命题成立 . 这种证明方法叫 做数学归纳法.
专题一 利用柯西不等式证明不等式
2 2 【例 1】 设 a， b， c， d 为正数， 且不全相等， 求证： ＋ a＋b b＋c 2 16 ＋ > . d＋a a＋b＋c＋d
证明
构造两组数 a＋b， b＋c， c＋d， d＋a，
1 1 1 1 与 ， ， ， ， a＋b b＋c c＋d d＋a 则由柯西不等式得：
k 1 1 1 k－1 ＝x ＋xkx＋x －x ＋xk－1 ＝4cos
kθ cos θ －2cos(k－1)θ
＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ＝2cos(k＋1)θ
∴当 n＝k＋1 时，命题也成立， 1 由①、②知，对一切 n∈N＋都有 x ＋xn＝2cos nθ .
等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单
问题.
知识结构
知识梳理
1.二维形式的柯西不等式
2 2 (1)定理 1(二维)：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a2 ＋ a )· ( b 1 2 1 2 ＋b2 ) ≥ ( a b ＋ a b ) 2 1 1 2 2 ，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.
由归纳假设可得
b1b2„bkbk＋1 b1b2„bk bk＋1 ＝ · a1a2„akak＋1 a1a2„ak ak＋1 ＝(k＋1)
k k＋1 1 (k＋1)1＋k＋1 ＝(k＋2)k＋1.所以当 n＝k＋1 时， (*2)
也成立.根据①②，可知(*2)对一切正整数 n 都成立. (3)证明 由 cn 的定义，(*2)，均值不等式(推广)，bn 的定义及
(1)解
f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当 f′(x)>0，即 x<0 时，f(x)单调递增； 当 f′(x)<0，即 x>0 时，f(x)单调递减； 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)， 单调递减区间为(0，＋∞). 当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0，即 1＋x<ex.
b1b2„bn 由此推测： ＝(n＋1)n.(*2) a1a2„an 下面用数学归纳法证明(*2).
①当 n＝1 时，左边＝右边＝2，(*2)成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(*2)成立， b1b2„bk 即 ＝(k＋1)k. a1a2„ak 当 n＝k＋1
1 k＋1a ， 时，bk＋1＝(k＋1)1＋k＋1 k＋1
2 2 2 2 2 2.三维形式的柯西不等式：(a2 ＋ a ＋ a )( b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3)≥(a1b1＋
a2b2＋a3b3)2. 3.定理 2：柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，„，an，b1，
2 2 2 1 2 b2，b3，„，bn 为实数，则(a1＋a2＋„＋an) (b1＋b2 2＋„＋
1n 1 1 1 令 x＝n，得 1＋n<e n ，即1＋n <e.(*1)
11 b1 1＋ ＝1＋1＝2； (2)解 a ＝1· 1 1 12 b1b2 b1 b2 ＝ · ＝2· 21＋2 ＝(2＋1)2＝32； a1a2 a1 a2 13 b1b2b3 b1b2 b3 2 1＋ ＝(3＋1)3＝43. ＝ · ＝ 3 · 3 3 a1a2a3 a1a2 a3
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 b c ＋ ＋ 以上两式相加得：2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋
a2＋b2 . a＋b
专题四 归纳、猜想、证明问题
1 【例 4】 已知 x＋x ＝2cos θ ， 1 1 3 (1)计算 x ＋ 2及 x ＋ 3的值； x x
2 2 2
那么 1· 22＋2· 32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 k（k＋1） 2 ＝ (3k ＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ (3k ＋5k＋12k＋24) 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ [3( k ＋ 1) ＋11(k＋1)＋10]， 12 由此可知，当 n＝k＋1 时，(*)式也成立. 综上所述，当 a＝3，b＝11，c＝10 时题设的等式对于一切 n∈ N＋都成立.
2 2 2
1 令 n＝1，得 4＝ (a＋b＋c)① 6 1 令 n＝2，得 22＝2(4a＋2b＋c)②
令 n＝3，得 70＝9a＋3b＋c③ 由①②③解得 a＝3，b＝11，c＝10， 于是，对于 n＝1，2，3，都有 1· 22＋2· 32＋„＋n(n＋1)2 n（n＋1） 2 ＝ (3n ＋11n＋10) (*)成立. 12 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立. 假设 n＝k 时，(*)成立， k（k＋1） 2 即 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)， 12
即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， k－1 k－2 k－3 则 x＝ 3 ，y＝ 3 ，z＝ 3 . 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. 2 1 ∴x＝3，y＝3，z＝0 时取等号.
专题三 利用排序不等式证明不等式
【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 a2＋b2 b c ＋ ＋ 2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋ a＋b .