第二章几个重要的不等式 (6)
高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
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题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
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题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
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3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件-(共5份打包)
1．柯西不等式中，当实数a，b，c，d满足什么条件时取 等号？
提示：当向量(a，b)与向量(c，d)共线，即ad－bc＝0，也 就是ad＝bc时取等号．
若实数 m，n，x，y 满足 m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则
mx＋ny 的最大值是( )
A．a＋2 b
B． ab
C．
a2＋b2 2
解：由柯西不等式，得 4a＋1＋ 4b＋1＝1· 4a＋1＋1· 4b＋1
≤ 12＋12[ 4a＋12＋ 4b＋12] ＝ 24a＋1＋4b＋1＝ 2×6＝2 3， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b＝12时等号成立． 故 4a＋1＋ 4b＋1的最大值为 2 3.
1．柯西不等式强调的是两个正项与另外两个正项之间的 关系，对不符合形式的式子要从整体上进行拆分，“拼” “合”“变式”，转化为某两项间的关系，进而利用不等式求 最值或取值范围．
利用柯西不等式求最值
若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及取得最小值时 x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
∴a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
b1－c2＝4.
【点评】 利用柯西不等式证明某些不等式比较方便，但 技巧性很强，关键是在结构上灵活凑出柯西不等式的形式．
1．已知a，b为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)． 求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式2.1.2一般形式的柯西不等式北师大版选
ab22.
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两
组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字 1 的增补：如 a
＝1·a)变形等．
[解题过程] (a1b1＋a2b2)ab11＋ab22
＝ a1b12＋ a2b22
ba112＋
a22 b2
≥ a1b1· ab11＋ a2b2· ab222＝(a1＋a2)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2 解得 1≤a≤2， 当且仅当 2b ＝ 3c ＝ 6d 时等号成立，
1/2 1/3 1/6 代入 b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2， b＝1，c＝1.如右图，已知在正方形ABCD中，有四 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直 角边的长为a、b，则正方形ABCD的面积为S1 ＝__a_2＋__b_2__，4个直角三角形面积的和为
S2＝_2_a_b_，则S1_≥__S2(填“≥”“≤”或“＝”)．据此， 我们就可得到一个不等式__a_2＋__b_2_≥_2_a_b__ (用a、b的式子表示)， 并且当a_＝__b时，直角三角形变为_等__腰__直__角__三__角__形__时，S1＝S2.
当 向 量 (a1 ， a2 ， a3) 与 向 量 (b1 ， b2 ， b3) 共 线 时 “ ＝ ” 成 立．
1．二维形式的柯西不等式可用________表示( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 答案： C
1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1. [思路点拨] 构造柯西不等式的形式，证明不等式． 证明： ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 又由柯西不等式知 ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2 ∴1≥(ax＋by)2， ∴1≥|ax＋by|≥ax＋by， ∴所以不等式得证．
第二章 等式与不等式
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则1a<1b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0，则ad>bc”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x∈R，x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1＋x2＝ca，若bc ＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是(1)将f(x)最高次项系数化为正数．(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f(x)＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2解不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，可转化为函数y＝x2－2x＋3－m图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6.2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．3．技巧三：分子常数化典例7设x∈(0，＋∞)，求函数y＝2xx2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，
职高一年级 第二章 不等式
第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b =0⇔a =b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞b c;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜b c; (4)移项法则:如果a+b ＞c ,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞b d. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1); a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1); a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c ; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2a b （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3a bc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c ≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q ≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B; (3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (96高职-2)在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b ≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. (98高职-2)已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. (99高职-2)如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 4. (2001高职-4)“a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a ≠b B.ab ≠0且a ≠b C.a ＞0,b ＞0且a ≠b D.a ≠1且b ≠1 6. (2003高职-2)已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.17. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b ≥c ＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c ≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a ≠2或b ≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定 11. 已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a > C. b a 11> D. ab a 11>- 13. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x ≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 215. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3417. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 19. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21B.aC.2abD.a 2+b 2 20. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （二）填空题：22. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题.24. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 .25. (99高职-17)已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26. (2002高职-16)已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 . （三）解答题： 27. (1)已知:1>x ,求294x x +的最小值；(2)已知:0<x ,求3364xx y +=的最大值.28. 已知:a 、b ∈R +,求证:2ba +≥ab .(要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明)29. 若a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c1-1)≥8.六、综合能力提高： 30. 函数116-+=x x y (x ＞1)的最小值是 .31. 已知:R x ∈,求2322++=x x y 的最小值.§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a ≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题： 例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m ≤-4 2. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m ≥41-D.m ＞41-且m ≠0 （二）填空题： 3. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . （三）解答题： 4. 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x-52 ⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-06305201)2(x x x§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题： 例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x-4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x ≠1} D.{x|x ＜3且x ≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x =-3}D.{x|1≤x ≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c )∪[b,a )B.(c,b ]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7. 不等式1312>+-x x 的解集是 . 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x ≥2},则a= . 10. b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0),若再添上m 克糖(m ＞0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .11. 设关于x 的不等式ax+b ＞0的解区间为(1,+∞),则关于x 的不等式0652<+--bax x x 的解区间为 . （三）解答题： 12. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx六、综合能力提高： 13. 若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2},则不等式06522>--++x x qpx x 的解集是( ) A.(1,2) B.(-∞,-1)∪(6,+∞) C.(-1,1)∪(2,6) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1. |x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a ≤x ≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题： 例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (2002高职-2)不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x ≤21或x ≥65}D. {x|21≤x ≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x ≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x ≤7或x ≥3} 5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A ∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} 6. 设ab ＞0,下面四个不等式①|a+b|＞|a|；②|a+b|＜|b|；③|a+b|＜|a-b|；④|a+b|＞|a|-|b|中,正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④7. 下面四个式子①|a-b|=|b-a|；②|a+b|+|a-b|≥2|a|；③a a =-2)(；④()b a +21＞ab 中,成立的有( )A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④ （二）填空题：8. (2001高职-14)若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 9. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 10. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：11. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B ≠Φ.12. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1六、综合能力提高： 13. 解下列不等式:(1) |3x-1|＞x+3 (2) 42>++x x§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x ≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a ≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac ≥0D.a ＜0且b 2-4ac ≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A ∩B=Φ,求a 的取值范围.10. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.11. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：13.已知不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＜0；③2x2-9x+m＜0.要使同时满足①、②的x也满足③,则有( )A.m＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤914.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为0＜α＜x＜β,求不等式cx2-bx+a＞0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?6. 某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元t 元时,则每年销售将减少58t 万件. (1) 将税金收入表示为征收附加税率的函数;(2) 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么政府征收附加税率应控制在什么范围内?。
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.2基本不等式
（2）求y的最值.
解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200
=800x+259200/x+16000.
≥2
800x 25当800x=259200/x, 即x=18时，取等号
练习:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价400元/m，中间两道隔墙建造单 价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池 所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长 和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.
因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,
答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为 30400元。
三、知识小结
重要 a2 b2 2ab
不等式 a b 2 ab (a、b∈R+)
结 论 ：（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定 、三相等
重要不等式 a2 b2 2ab
(1)
ab
1
2
1
;
ab
北师大版选修四 柯西不等式 课件
-5-
§1 柯西不等式 12
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重难聚焦
HONGNANJUJIAO
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随堂演练
UITANGYANLIAN
2 .一 般 形式的柯西不等式
(1)定理 2:
设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a 1b 1+a2b 2+…+anbn)2,当向量(a1,a 2,…,an)与向量(b 1,b2,…,b n)共 线时,等号成立.
题.
-3-
§1 柯西不等式 12
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知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1 .简 单 形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式): 对任意实数 a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a,b)与向量(c,d) 共线时,等号成立. (2)简单形式的柯西不等式的向量形式: 设 α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量(a,b) 与向量(c,d)共线时,等号成立.
【做一做 2-2】 已知 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是
第二章几个重要的不等式 (6)
答案：B
4．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )
A．4
B．2
C．1
D.
解析：
＝·
≥2＝2＝22＝4.
答案：A
二、填空题
5．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为________．
解析：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.
答案：
6．(陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的
最小值为________．
解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋mn(a2＋b2)＝4ab＋2(a2
＋b2)＝2(2ab＋a2＋bห้องสมุดไป่ตู้)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时取等号)．
答案：2
7．函数y＝3＋4的最大值是________．
解析：∵3＋4
将上面三个同向不等式相加得： ≥2(a＋b＋c)． ∴ ＋ ＋ ≥ ·(a＋b＋c)．
利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2) ≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.找出待证不 等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补： 如a＝1×a)变形等．
§1
柯西不等式
1．1 简单形式的柯西不等式
[对应学生用书P32]
1．简单形式的柯西不等式 定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设 ， 是任意两个向量，则| || |≥| · |， 当向量 ， 共线时，等号成立．
第二章 考点6 一元一次不等式(组)及其解法
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 (1)原不等式可化为4(4－2x)<12－3(x－3)⇒16－8x<12 －3x＋9⇒－5x<5⇒x>－1，∴原不等式的解集为{x|x>－1}．
(2)原不等式组可化为 ，
2x 16 10
2 x 1 3
x
4x 12,
1 0,
即
x x
1, 解得x≤1 5,
1 3
,
5 2
．
【提示】
由题意得
3x 1 0,
2x 5,
解得
1 3
x
5 2
.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
8．已知 x 1 x 1 ，化简：|2x＋1|－|1－x|＝ x+2 ． 43
【提示】 由 x 1 x 1 得x≥7，
43 ∴|2x＋1|－|1－x|＝2x＋1－(x－1)＝x＋2.
10．若关于x的不等式组 是 [2，＋∞) ．
x x
m 1, 2m 1
无解，则m的取值范围
【提示】∵不等式组无解，∴2m－1≥m＋1，∴m≥2.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
三、解答题 11．解下列关于x的不等式． (1)ax＋4<2x＋a2，其中a>2； (2)mx＋1>x＋m3，其中m<1．
A．(
4
2x ，1]
5
3x
4 B．(
4
，2)
3
3
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
广东中考数学课件：第二章方程与不等式第6节分式方程
时，
由题意得：
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解，∴当x=20时，1.5x=30．
答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千首米页/时． 末页
数学
广东中考
10. （2011广东）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进 行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶 比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？ 解析：根据等量关系：整箱购买，则买一送三瓶，相当于每瓶比原价
解析：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1 时，x+1≠0．∴x=1是原方程的解．
注意事项：解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式 方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
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广东中考
8. （2009广东）解方程：
解析：本题的最简公分母为：（x+1）（x﹣1）．方程两边都 乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 结果需检验． 答案：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1）， 得：2=﹣（x+1）， 解得：x=﹣3， 检验：当x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0． ∴x=﹣3是原方程的解．
化为整式方程；②解所得的整式方程；③验根 作答. (3)换元法的步骤：①设辅助未知数；②得到关
于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值
；③把辅助未知数的值代回原式中，求出原来 未知数的值；④检验作答.
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考点梳理
(4)解分式方程的基本思想：将分式方程“ 转化”为整式方程. (5)解分式方程时，在把分式方程转化为整 式方程时，有时可能产生不适合原方程的 根，我们把这个根叫做方程的增根，所以 解分式方程时要验根.
第二章 一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x＝1－2xx＝14时，y max＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f(x)＝ax(b－ax)型．典例7：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1 y＝1，∴x＋2yx＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx，＝12，＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式课件北师大版选修4_5
• (2)数学归纳法适用范围：可用于证明与
____________有关的命题．
正整数
• 2．数学归纳法证明命题的步骤
•
(1)验证当n取__第_一__个_值__n0_____ 正确．
(如n0＝1或2等)时命题
• (_2n_＝)_假k_＋_设1__当__n_＝__k时(k∈命N题＋也，正k≥确n．0)时命题正确，证明当
• 【点评】 应用数学归纳法证明代数恒等式的关键 是在运用归纳假设，分析p(k)与p(k＋1)的差异及联系， 利用拆、添、并、放等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)， 再进行局部调整，也可考虑寻求两者的结合点，以 便顺利过渡，利用归纳假设，经过恒等变形，得到 结论需要的形式．
1．用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1(其中 n∈N＋)．
中，从n＝k到n＝k＋1，只用拼凑的方法，有时也行 不通．因为对不等式来说，它还涉及放缩的问题， 它可能需通过放大或缩小的过程，才能利用上归纳 假设．因此，我们可以利用比较法、综合法、分析
法等来分析从n＝k到n＝k＋1的变化，从中找到放缩 尺度，准确地拼凑出所需要的结构．
2．用数学归纳法证明：1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12>1 (n≥2，n∈N＋)．
• 3．数列中的不少问题都可用数学归纳法予以证明， 既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的综合性， 其中用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出 证明是常见题型．
解：计算，得 S1＝89，S2＝2245，S3＝4489，S4＝8801. 猜测 Sn＝2n2＋n＋112－2 1(n∈N＋)．证明如下：
(1)当 n＝1 时，结论显然成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即 Sk＝2k2＋k＋112－2 1， 那么当 n＝k＋1 时， Sk＋1＝Sk＋2k＋81k2＋21k＋32 ＝2k2＋k＋112－2 1＋2k＋81k2＋21k＋32
高二数学第二章的重要知识点概括整理
高二数学第二章的重要知识点概括整理高二数学第二章的重要知识点概括1一、不等式的性质1.两个实数a与b之间的大小关系2.不等式的性质(4)(乘法单调性)3.绝对值不等式的性质(2)如果a>0，那么(3)|a?b|=|a|?|b|.(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性高二数学第二章的重要知识点概括2一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。
第二章 方程与不等式知识点
分析解读方程与不等式在近几年春季高考中归结到代数部分予以考查，既有本章知识的直接考查，也有函数的定义域、集合的运算等其他知识的间接考查，题型以选择题和填空题为主，有时会在大题中分步骤出现，难度中等每年必考，主要考查的内容有以下几个方面．1．两个方法：配方法，作差比较法；2．两种工具：区间——表示不等式的解集；不等式的性质——解不等式变形的依据；3．四种解法：一元二次方程的解法，一元一次不等式(组)的解法，含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法；4．一个应用：运用不等式的知识解决实际问题；5．两个思想：数形结合的思想；分类讨论的思想．思维导图1．配方法(1)配方法的主要思想以_______________为依据，对所给的____________进行恒等变形、化简，得到形如____________的代数式．配方法是中学数学解决二次问题的一种重要方法，可以作为解二次问题的统一方法．(2)对二次三项式进行配方的一般步骤①把ax2＋bx＋c变形为_______________；②配方为________________________；③整理成________________________的形式．2．一元二次方程(1)一元二次方程的概念只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是2的______方程叫做一元二次方程．(2)一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c常数，且a≠0)，a，b，c依次称为方程的___________，___________，________.(3)方程的解与解方程能够使方程左右两边的值相等的________的值，叫做方程的解．求出方程的解或者_________________的过程，叫做解方程．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法(1)配方法：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤：①化二次项系数为________；②把常数项移项到等号的另一边；③在等号的两边同加____________________________；④写成完全平方的形式；⑤开平方得结果．(2)求根公式法：求根公式：________________.其中Δ＝b2－4ac为根的判别式，确定方程解的情况如下：①Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＝_____________；②Δ＝0时，方程的解有两个相等的实数根：x1＝x2＝____；③Δ<0时，原方程______________．(3)分解因式法：①提公因式；②十字相乘(竖分，叉乘，横写)．4.根与系数的关系(韦达定理)已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则x1＋x2＝______，x1x2＝______.5．实数大小的基本性质(1)实数大小的性质①a－b＞0⇔______；②a－b＜0⇔______；③a－b＝0⇔______.(2)作差比较法：一种常见的比较两个实数(或代数式)大小的方法，一般步骤是①作差；②变形；③判断(符号)；④得出结论．6．不等式的基本性质(1)加法法则不等式的两边都加上(或减去)同一个数或者整式，不等号的方向不变，用式子表达即为若a＞b，则a＋c______b＋c；推论：(移项法则)a＋b＞c，则a______c－b.(2)乘法法则①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0，则ac______bc；②不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac______bc.推论：若a＞0，b＞0，则a＞b⇔______.(3)常用的不等式的性质①反身性：a＞b⇔______.②传递性：a＞b，b＞c⇔______.③同向加法：a＞b，c＞d⇔_____________.④同向乘法：a＞b＞0，c＞d＞0⇔________.推论：(乘方法则)a＞b＞0⇔_______________.7．一元一次不等式(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是_______，系数不等于0的_____________________________叫作一元一次不等式．(2)解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.8．不等式的解集(1)一元一次不等式的解集①一元一次不等式最终可化为ax ＞b(a ≠0)的形式，当a ＞0时，不等式的解集为____________；当a<0时，不等式的解集为___________． ②要注意不等式ax ＞b 与一元一次不等式ax ＞b 的区别，对于不等式ax ＞b 的解集要讨论a ＝0的情况．当a ＝0时，若b ＜0，则不等式的解集为______；若b ≥0，则不等式的解集为______．(2)一元一次不等式组的解集①含有___________的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．②几个一元一次不等式的解集的________叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等式的解集的________是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集．(3)一元一次不等式组的解法若a ＜b ，则不等式组①⎩⎨⎧x ＞a x ＞b 的解集为____________； ②⎩⎨⎧x ＞a x ＜b 的解集为____________； ③⎩⎨⎧x ＜a x ＜b的解集为____________； ④⎩⎨⎧x ＜a x ＞b 的解集为____________． 9．区间设a ，b ∈R ，且a ＜b ，则(1)满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作________．(2)满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作________．(3)满足a ≤x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．(4)满足a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．(5)①满足x ＜a 的全体实数x 的集合，可记作__________；②满足x ＞a 的全体实数x 的集合，可记作____________；③满足x ≤a 的全体实数x 的集合，可记作____________；④满足x ≥a 的全体实数x 的集合，可记作____________；⑤其中“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”，实数集R 可记作____________．10．实数的绝对值(1)绝对值的定义：|a|⎩⎨⎧(2)实数绝对值的几何意义：|a|的几何意义是数轴上表示实数a 的点到______的距离．11．含有绝对值的不等式(1)最简单的含绝对值的不等式 如果m ＞0，则①|x|≤m ⇔_____________；②|x|≥m ⇔_____________.(2)含有绝对值的不等式的解法①当c ≥0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________；②当c ＜0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________．12．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是_________________________．(2)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．13．一元二次不等式的解法(1)配方法：首先将一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0利用配方法化为(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2或(x+b 2a )2x ＜b 2-4ac 4a 2的形式，不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．①当Δ=b 2－4ac>0时，(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2等价于________________，即________________________________；(x+b 2a )2＜b 2-4ac 4a 2等价于____________________，即____________________________________．由此可得不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为②当Δ＝b 2－4ac ＞0时，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为__________；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为____ __．③当Δ＝b2－4ac ＜0时，不等式ax2＋bx ＋c ＞0解集为______．(2)由函数的图象与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的位置关系确定不等式的解集．具体过程如下：将一元二次不等式整理成ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式，设其相应方程的两个根为x1，x2，且x1＜x2，不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．①若Δ＝b2－4ac＞0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____ ___；②若Δ＝b2－4ac＝0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______；③若Δ＝b2－4ac＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______．。
第二章 几个重要的不等式 复习课 线上课程课件-北师大版高中数学选修4-5
①
又因为 a11≥b11≥c11，a1≤b1≤1c，
再次由排序不等式，得aa11＋bb11＋cc11≤ab11＋bc11＋ca11.
②
由①②得ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10.
等号成立条件为a b c.
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根 据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合 理选择. (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不 等式解决往往很简捷.
复习回顾4
数学归纳法
数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题. 证明步骤： (1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确. (2)假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题正确，
证明当n＝k＋1时，命题也正确.
（验证初值） （完成思想构建）
复习回顾5
贝努利不等式
对任何实数x≥-1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx
＝5＋511－－22k－1＝5×2k－1. 得证
（验证初值）
5 2k2
（完成思想构建）
反思与感悟
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路： 观察——归纳——猜想——证明. 即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论， 然后用数学归纳法进行证明.
类型四 利用贝努利不等式证明不等式
例 5 设 b>a>0，n∈N＋，证明：ban≥na(b－a)＋1. 点拨 由 b>a>0，令 1＋x＝ba(x>0)，利用贝努利不等式证明． 解 由 b>a>0，知ba>1，令 1＋x＝ba(x>0)，则 x＝ba－1， 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx， ∴ban＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋nba－1，故ban≥na(b－a)＋1.
2.2基本不等式
课堂探究
基本不等式：
a +b
ab ≤
（a > 0, b > 0,当且仅当a = b时，等号成立）
2
证明：a b ab a b 2 ab
2
2
a b
2
2
2 a b
作差法
2
a b
2
0 （当且仅当a
ab
ab
所以，如果 a 0, b 0 ，那么
2
巩固训练
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的
长度各为多少时，两条直角边的和最小? 最小值是多少?
解：
设两直角边长分别为a , b，则有ab 100.
由基本不等式，可得a b 2 ab 20，
当且仅当a b=10时，上式等号成立，
∴当两直角边的长度都为10cm时，两直角边和最小，且最小值 20.
3. 做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面
的边长取什么值时，用纸最少?
解: 设长方体的底面相邻两条边长分别为x m, y m，则有
2xy=32，即xy=16. 根据题意，有
S表面积 2( xy 2 x 2 y ) 32 2( x y )
32 2 xy 40.
第二章 一元二次函数、方
程和不等式
2.2 基本不等式
复习导入
问题：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么是
否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的
重要作用呢？
重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有
a2+b2≥2ab
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(1)解
f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当 f′(x)>0，即 x<0 时，f(x)单调递增； 当 f′(x)<0，即 x>0 时，f(x)单调递减； 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)， 单调递减区间为(0，＋∞). 当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0，即 1＋x<ex.
n
专题五 探索性问题
【例 5】 是否存在常数 a，b，c 使得等式 1· 22＋2· 32＋„＋ n（n＋1） 2 n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切 n∈N＋都成立？ 12
2
并 证明你的结论.
解 假设存在符合题意的常数 a，b，c， n（n＋1） 2 在等式 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)中， 12
2 2 2
1 令 n＝1，得 4＝ (a＋b＋c)① 6 1 令 n＝2，得 22＝2(4a＋2b＋c)②
令 n＝3，得 70＝9a＋3b＋c③ 由①②③解得 a＝3，b＝11，c＝10， 于是，对于 n＝1，2，3，都有 1· 22＋2· 32＋„＋n(n＋1)2 n（n＋1） 2 ＝ (3n ＋11n＋10) (*)成立. 12 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立. 假设 n＝k 时，(*)成立， k（k＋1） 2 即 1· 2 ＋2· 3 ＋„＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)， 12
由归纳假设可得
b1b2„bkbk＋1 b1b2„bk bk＋1 ＝ · a1a2„akak＋1 a1a2„ak ak＋1 ＝(k＋1)
k k＋1 1 (k＋1)1＋k＋1 ＝(k＋2)k＋1.所以当 n＝k＋1 时， (*2)
也成立.根据①②，可知(*2)对一切正整数 n 都成立. (3)证明 由 cn 的定义，(*2)，均值不等式(推广)，bn 的定义及
1 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a
≥(1＋1＋1＋1)2. 即
1 1 1 1 2(a＋b＋c＋d)a＋b＋b＋c＋c＋d＋d＋a ≥16，
2 2 2 2 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d a＋b b＋ c c＋d d＋a 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 1 a＋b b＋c c＋d d＋a ⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等， 2 2 2 2 16 故 ＋ ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋d d＋a a＋b＋c＋d
8.运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时， 项数发生什么变化被弄错. (2)没有利用归纳假设. (3) 关键步骤含糊不清，“假设 n ＝ k 时结论成立，利用此假
设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，
也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完 整，注意证明过程的严谨性、规范性.
7. 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 . 证明 时，它的两个步骤缺一不可 . 它的第一步 ( 归纳奠基 )n ＝ n0 时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推
得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理
的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成 立.
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 b c ＋ ＋ 以上两式相加得：2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋
a2＋b2 . a＋b
专题四 归纳、猜想、证明问题
1 【例 4】 已知 x＋x ＝2cos θ ， 1 1 3 (1)计算 x ＋ 2及 x ＋ 3的值； x x
2
1 (2)归纳出 x ＋xn (n∈N＋)的值，再用数学归纳法证明.
n
解
1 1 2 (1)x ＋ x2 ＝ x＋x － 2 ＝ 22cos2 θ － 2 ＝ 2(2cos2θ － 1) ＝
2
2cos 2θ 1 13 1 x ＋ 3＝x＋x －3x＋x ＝8cos3θ －3×2cos θ ＝2cos 3θ . x
2
a1 a2 2 1 bn)2≥|a1b1＋a2b2＋„＋anbn|， 其中等号成立⇔b ＝b ＝„＝ 1 2 an bn. 4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.
5.排序不等式：设a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn为两组实 数，c1，c2，„，cn为b1，b2，„，bn的任一排列，则有： a1bn ＋ a2bn － 1 ＋„＋ anb1 ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋„＋ ancn ≤ a1b1 ＋
k 1 1 1 k－1 ＝x ＋xkx＋x －x ＋xk－1 ＝4cos
kθ cos θ －2cos(k－1)θ
＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ＝2cos(k＋1)θ
∴当 n＝k＋1 时，命题也成立， 1 由①、②知，对一切 n∈N＋都有 x ＋xn＝2cos nθ .
2 2 2 2 2 2.三维形式的柯西不等式：(a2 ＋ a ＋ a )( b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3)≥(a1b1＋
a2b2＋a3b3)2. 3.定理 2：柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，„，an，b1，
2 2 2 1 2 b2，b3，„，bn 为实数，则(a1＋a2＋„＋an) (b1＋b2 2＋„＋
即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， k－1 k－2 k－3 则 x＝ 3 ，y＝ 3 ，z＝ 3 . 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. 2 1 ∴x＝3，y＝3，z＝0 时取等号.
专题三 利用排序不等式证明不等式
【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：
2 2 a2 b2＋c2 c2＋a2 a2＋b2 b c ＋ ＋ 2 b＋c c＋a a＋b≥ b＋c ＋ c＋a ＋ a＋b .
2 2 2
那么 1· 22＋2· 32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 k（k＋1） 2 ＝ (3k ＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ (3k ＋5k＋12k＋24) 12 （k＋1）（k＋2） 2 ＝ [3( k ＋ 1) ＋11(k＋1)＋10]， 12 由此可知，当 n＝k＋1 时，(*)式也成立. 综上所述，当 a＝3，b＝11，c＝10 时题设的等式对于一切 n∈ N＋都成立.
a2b2＋„＋anbn.等号成立(逆序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝„
＝an或b1＝b2＝„＝bn.排序原理可简记作：逆序和≤乱序 和≤顺序和.
6.数学归纳法及其原理
数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方
法.即先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时命题成立，然后 假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时 命题也成立，那么就证明了这个命题成立 . 这种证明方法叫 做数学归纳法.
证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 1 1 1 故 a ≥b ≥c ， ≥ ≥ ， b＋c c＋a a＋b
2 2 2
由排序不等式得： a2 b2 c2 c2 a2 b2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b a2 b2 c2 b2 c2 a2 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
专题二 利用柯西不等式求最值
【例 2】 已知 x＋y＋z＝1， 求 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3的 最大值.
解 由柯西不等式，得
( 3x＋1·1＋ 3y＋2·1＋ 3z＋3·1) ≤ 3x＋1＋3y＋2＋3z＋3· 12＋12＋12 ＝ 3（x＋y＋z）＋6· 3＝ 27＝3 3. 3x＋1 3y＋2 3z＋3 等号成立⇔ 1 ＝ 1 ＝ 1 ，
1 1 1 (*1)得 Tn＝c1＋c2＋c3＋„＋cn＝(a1)1＋(a1a2)2＋(a1a2a3)3＋„ ＋(a1a2„an)n
1
1 1 1 1 （b1） （b1b2） （b1b2b3） （b1b2„bn）n 1 2 3 ＝ 2 ＋ ＋ ＋„＋ 3 4 n＋1 b1＋b2 b1＋b2＋n（n＋1）
(2)( 二 维 变 式 ) ：
a2＋b2 ·
c2＋d2 ≥ |ac ＋ bd| ，
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3)(向量形式)： 设 α， β 为平面上的两个向量， 则|α||β|≥|α·β|， 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 与 β 共 线(或平行)⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ.
1n 1 1 1 令 x＝n，得 1＋n<e n ，即1＋n <e.(*1)
11 b1 1＋ ＝1＋1＝2； (2)解 a ＝1· 1 1 12 b1b2 b1 b2 ＝ · ＝2· 21＋2 ＝(2＋1)2＝32； a1a2 a1 a2 13 b1b2b3 b1b2 b3 2 1＋ ＝(3＋1)3＝43. ＝ · ＝ 3 · 3 3 a1a2a3 a1a2 a3
专题一 利用柯西不等式证明不等式
2 2 【例 1】 设 a， b， c， d 为正数， 且不全相等， 求证： ＋ a＋b b＋c 2 16 ＋ > . d＋a a＋b＋c＋d
证明
构造两组数 a＋b， b＋c， c＋d， d＋a，
1 1 1 1 与 ， ， ， ， a＋b b＋c c＋d d＋a 则由柯西不等式得：
b1b2„bn 由此推测： ＝(n＋1)n.(*2) a1a2„an 下面用数学归纳法证明(*2).
①当 n＝1 时，左边＝右边＝2，(*2)成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(*2)成立， b1b2„bk 即 ＝(k＋1)k. a1a2„ak 当 n＝k＋1