趣味数学086：完全数公式

小学数学知识点：完全数的七个特有性质

小学数学知识点：完全数的七个特有性质小学数学知识点：完全数的七个特有性质完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。

它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。

特有性质1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+127特有性质2.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2 特有性质3.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。

例如:28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3特有性质4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。

例如:6=2^1+2^228=2^2+2^3+2^4496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^88128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^1233550336=2^12+2^13+……+2^24特有性质5.完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。

)特有性质6.各位数字辗转式相加个位数是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

例如:28:2+8=10，1+0=1496:4+9+6=19，1+9=10，1+0=18128:8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=133550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1特有性质7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。

完全数的公式定律

完全数的公式定律完全数是指一个数的所有真因子(即除了这个数本身以外的所有因子)之和等于这个数本身的数。

完全数具有如下的公式定律：1.素数测迭代法：根据欧几里得的定理，每个完全数都可以表示为2^(p-1)(2^p-1)，其中p是素数。

这个公式指出，如果p是素数，那么2^p-1一定是一个完全数。

例如，p=2时，2^2-1=3，是一个完全数；p=3时，2^3-1=7，也是一个完全数；p=5时，2^5-1=31，同样是一个完全数。

这个公式对于小的完全数是成立的，但是它不一定对所有的完全数都成立。

2. Euclid-Euler定理：欧几里得-欧拉定理给出了每个偶完全数的公式。

根据这个定理，一个完全数可以表示为2^(p-1) * (2^p - 1)，其中p和2^p - 1都是素数。

根据欧拉的证明，当2^p-1是一个素数时，2^(p-1)(2^p-1)是一个完全数。

例如，当p=2时，2^2-1=3是素数，因此2^(2-1)(2^2-1)=6是一个完全数。

目前为止，找到的所有完全数都可以用这个公式表示。

然而，尚未确定是否存在其他类型的完全数。

3.严格完全数：严格完全数是指除了该数本身以外的真因子之和等于这个数本身的数。

根据这个定义，完全数是严格完全数的一个子集。

根据数论的知识，任意一个大于2的合数都可以被分解成几个素数的乘积。

因此，对于一个偶数n来说，如果n是一个完全数，它一定也是一个严格完全数。

但是对于其他类型的数，尚未确定是否存在严格完全数。

综上所述，完全数具有一定的公式定律，但目前尚未确定是否存在其他类型的完全数，这仍然是一个待解决的数论难题。

完全数的公式定律

完全数的公式定律完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。

它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。

第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。

后面的数是496、8128等等。

6＝1+2+328＝1+2+4+7+14496＝1+2+4+8+16+31+62+124+2488128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

(此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明)例如p＝2，2^p-1＝3是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝3X2＝6，是完全数。

例如p＝3，2^p-1＝7是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝7X4＝28，是完全数。

但是2^p-1什么条件下才是质数呢?事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。

至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。

规律:1、它们都能写成连续自然数之和例如：6＝1+2+328＝1+2+3+4+5+6+7496＝1+2+3+……+30+312、每个都是调和数它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

例如：1/1+1/2+1/3+1/6＝21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝23、可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。

例如：28＝1^3+3^3496＝1^3+3^3+5^3+7^38128＝1^3+3^3+5^3+……+15^333550336＝1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和例如：6＝2^1+2^228＝2^2+2^3+2^48128＝2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 33550336＝2^12+2^13+……+2^245、完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

完全数计算公式范文

完全数计算公式范文完全数是指一个数恰好等于它的因子（除了它本身）的和。

具体而言，一个数如果等于它的所有真因子之和，那么这个数就是完全数。

完全数在数学上具有很多有趣的性质和特点。

下面我将介绍完全数的计算公式以及一些有关完全数的性质和应用。

首先，我们来介绍计算完全数的公式。

根据欧几里得（Euclid）的证明，所有的完全数都可以表示为2^(p-1) * (2^p - 1)，其中 p 是一个素数。

换句话说，只有当 p 是素数时，才能得到一个完全数。

举个例子来说明：当p=2时，根据公式，我们可以计算得到2^(2-1)*(2^2-1)=2*(4-1)=2*3=6、因为6的因子有1,2,3，且1+2+3=6，所以6是一个完全数。

再举个例子：当p=3时，根据公式，我们可以计算得到2^(3-1)*(2^3-1)=2^2*7=4*7=28、因为28的因子有1,2,4,7,14，且1+2+4+7+14=28，所以28是一个完全数。

接下来，我们来看一下完全数的一些性质和应用。

其次，完全数还与三角形数有关。

三角形数是指可以形成一个等边三角形的点数，它们是一个数列：1,3,6,10,15,...。

有趣的是，完全数可以表示为两个连续的三角形数的差值。

具体而言，如果n是一个奇数，则2^(n-1)是一个完全数，并且可以表示为三角形数(2^n-1)-(2^(n-1)-1)的差值。

此外，完全数还被用于密码学和编码理论中。

在RSA加密算法中，完全数被用作一种安全的公钥加密方法。

由于完全数的因子较少且难以分解，因此利用完全数进行加密可以提高数据的安全性。

综上所述，完全数是一类特殊的数，可以通过欧几里得的公式来计算。

它们在数学上具有一些有趣的性质和应用，如与素数和三角形数的关系，以及在密码学和编码理论中的应用。

虽然完全数的数量很稀少，但它们依然是数学领域中备受研究和关注的一个重要问题。

完全数公式推理

第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：首数是1尾数是2^n-1项数是2^n-1代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 ×(2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)请注意，连续自然数相加从1加到2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。

也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数2^n-1。

证毕。

第二步：我们把无穷连续自然数分组。

P为任意奇数。

每一组的首数是（P^2 +1）/2 - P (2)每一组的尾数是（P^2 -1）/2 + P (3)用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：Q =（首数+尾数）/2 ×项数= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2×{[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}= P^2/2 × 2P = P^3此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。

举例：P 首数尾数所占区间区间内全部自然数之和1 0 1 0 ～1 1=1^33 2 7 2 ～7 27=3^35 8 17 8 ～17 125=5^37 18 31 18 ～31 343=7^39 32 49 32 ～49 729=9^317 128 161 128～161 4913＝17^3第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。

Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2= 1本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。

完全数

《完全数》数学离不开数，数有时候很简单，有时候有很神秘，今天我们就来分享一种神奇的数——《完全数》古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。

有人认为，6是属于美神维纳斯，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。

6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。

例如，28也是一个完全数，它的真因数有1、2、4、7、14，而1＋2＋4＋7＋14正好等于28。

在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。

有人统计过，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。

并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。

公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果n是一个质数，也是一个质数，那么，由公式的出来的就是一个完全数。

例如：n=2时，=3都是质数，那么，=6,6就是一个完全数。

当n=3时，=7，都是质数，那么，=28,28就是一个完全数。

当n=5时，=31，都是质数，那么，=496,28就是一个完全数。

尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。

直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。

1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。

以后数学家们又陆续发。

当n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。

完美数的公式

完美数的公式完美数，这玩意儿听起来是不是有点神秘兮兮的？其实在数学的世界里，它可是个特别有趣的存在。

咱先来说说啥是完美数。

简单说，一个数如果它的真因子（就是除了自身以外的约数）之和等于它本身，那这个数就是完美数。

比如说 6 这个数，它的真因子是 1、2、3，而 1 + 2 + 3 恰好等于 6，所以 6 就是一个完美数。

那有没有啥公式能找出完美数呢？还真有！古希腊的数学家欧几里得就发现了一个找完美数的公式。

这公式是：如果2^p - 1 是一个质数，那么 2^(p - 1) × (2^p - 1) 就是一个完美数。

我给您举个例子哈。

比如说当 p = 2 时，2^2 - 1 = 3，3 是质数。

那按照公式，2^(2 - 1) × (2^2 - 1) = 2 × 3 = 6，嘿，这不就是咱刚刚说的那个完美数 6 嘛！再比如说当 p = 3 时，2^3 - 1 = 7，7 也是质数。

那 2^(3 - 1) × (2^3 -1) = 4 × 7 = 28，28 也是个完美数，它的真因子是 1、2、4、7、14，1 +2 + 4 + 7 + 14 = 28，一点儿没错！不过您可别觉得有了这个公式，找完美数就像从树上摘果子那么容易。

实际上，要判断 2^p - 1 是不是质数可不容易，得费不少功夫呢。

记得有一次，我给班上的孩子们讲完美数的公式。

有个小家伙特别较真儿，非得自己动手算几个试试。

他算得满头大汗，嘴里还念念有词。

我就在旁边看着，心里偷着乐。

最后他算出了一个结果，兴奋得跳了起来，那股子认真劲儿，真让人觉得可爱。

这完美数的公式虽然厉害，但到现在为止，人们发现的完美数还是少得可怜。

数学的世界就是这么奇妙，一个小小的公式，能引出这么多的思考和探索。

也许未来的某一天，会有更厉害的公式或者方法，让我们能更容易地找到更多的完美数。

但不管怎样，就现在这个公式，也已经让我们在数学的海洋里畅游了一番，感受到了其中的乐趣和奥秘。

完全数公式推理范文

完全数公式推理范文完全数是指一个数的所有真因子（除了自己本身）之和与该数本身相等的数。

一个完全数可以用以下公式来表示：N=2^(p-1)*(2^p-1)其中，p是一个素数，N是完全数。

现在我们来推导这个完全数公式。

首先，我们需要了解什么是素数。

素数是只能被1和自身整除的大于1的正整数。

例如，2，3，5，7，11等都是素数。

接下来，我们来证明这个公式。

我们知道，任何一个大于1的正整数N都可以表示为若干个素数的乘积。

假设 N 是一个完全数，它的所有真因子（除了自己本身）可以表示为：p1，p2，p3，...，pk。

那么N可以表示为：N = 1 * p1 * p2 * p3 * ... * pk = p1 * p2 * p3 * ... * pk其中，p1，p2，p3，...，pk 都是素数。

我们可以看出，N的每个真因子都是素数，而且是不同的素数。

另外，N的所有真因子之和可以表示为：Sum = 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pk由于 N 是一个完全数，所以 Sum = N。

我们将 Sum 代入上面的式子中：N = 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pk我们可以将其改写成：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk +1假设N是一个偶数，那么N可以表示为2k的形式，其中k是一个正整数。

代入上面的式子：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk + 1 = 2k我们可以将其改写成：p1 + p2 + p3 + ... + pk = 2k - 1我们可以得到结论，所有的真因子之和为一个奇数。

现在，我们来考虑一个特殊的情况。

假设N是一个完全数，并且N是一个素数。

此时，N的真因子只有两个：1和N本身。

则我们有：Sum = 1 + N = N + 1代入公式中：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk + 1 = N + 1我们可以得到：p1 + p2 + p3 + ... + pk = N也就是说，一个素数的所有真因子之和等于它本身。

完全数的公式定律

完全数的公式定律完全数是指它的所有真因数之和等于它本身的正整数。

换句话说，一个完全数的真因数之和等于它本身，真因数是指除了自身以外的因数。

完全数的研究可以追溯到古希腊时期，而现在已经发现的完全数不多。

目前为止，人们已经发现的完全数只有四个，分别是6、28、496和8128、这四个完全数的因式分解如下：-6=1+2+3-28=1+2+4+7+14-496=1+2+4+8+16+31+62+124+248-8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064事实上，人们还在持续更大的完全数。

截至目前，最大的已知完全数是2^77,232,917 − 1，它由GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search）计算得出。

1. 欧几里德第一定理（Euclid's First Theorem）：如果2^p − 1是一个素数，那么它对应的完全数为 (2^p − 1) × 2^(p−1)。

这个定理由欧几里德在公元前300年左右提出，并被证明是正确的。

它揭示了完全数与梅森素数的关系，但并没有涵盖所有的完全数。

2. 欧几里德第二定理（Euclid's Second Theorem）：如果(2^p − 1) 是素数，那么 p 也必须是一个素数。

这个定理由欧几里德提出，但直到数学家费马的时代才被证明是正确的。

它在寻找完全数时提供了一个较小的空间。

3. 五重定理（Pentagon Theorem）：如果 p 是一个奇质数，那么2^(p−1) × (2^p − 1) 必须是一个完全数。

这个定理由数学家费马提出，但直到19世纪中叶才被证明是正确的。

它成为了寻找大型完全数的一个重要判据。

除了这些定理外，数学家还提出了其他一些关于完全数的猜想，但它们仍然是未解决的问题。

例如：1. 偶完全数猜想（Even Perfect Numbers Conjecture）：所有的完全数都是偶数。

求完全数的数学公式

求完全数的数学公式嘿，咱今天来聊聊求完全数的数学公式！完全数，这名字听起来是不是有点神秘？其实呀，它在数学的世界里可有着独特的魅力。

先给您说说啥是完全数。

完全数就是所有真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身的数。

比如说 6 就是一个完全数，因为 6 的真因子是 1、2、3，而 1 + 2 + 3 恰好等于 6 。

那求完全数的公式是啥呢？这可没那么简单，不过咱们可以一步步来理解。

要找到求完全数的公式，得先从数的因数说起。

您看，一个数的因数就像是它的小伙伴，有的小伙伴能和它组成完美的组合，有的就不行。

比如说 8 ，它的因数有 1、2、4、8 ，但 1 + 2 + 4 可并不等于 8 ，所以 8 就不是完全数。

我记得有一次给学生们讲完全数的时候，有个小家伙特别较真儿。

他一直在那算呀算，还说：“老师，这完全数怎么这么难找啊！”我笑着告诉他：“别着急，数学的奥秘得慢慢探索。

”后来经过大家一起努力，终于找到了几个小的完全数，那场面，别提多有成就感了！咱们回到求完全数的公式上来。

古希腊的数学家欧几里得发现了一个有趣的规律，如果 2^(p - 1)×(2^p - 1) 是一个质数，那么 2^(p -1)×(2^p - 1) 就是一个完全数。

这里的 p 是一个质数。

您可能会觉得有点晕乎，没关系，咱举个例子。

比如说当p = 2 时，2^(2 - 1)×(2^2 - 1) = 2×3 = 6 ，6 就是个完全数。

但要注意哦，这个公式也不是万能的，它只是能帮我们找到一部分完全数。

数学的世界就是这样，充满了未知和挑战，一个公式可能解决一部分问题，但还有更多的奥秘等着我们去发现。

在探索完全数的过程中，您会发现数学就像一个巨大的宝藏库，每一个角落都可能藏着惊喜。

有时候，可能会觉得有点难，有点绕，但只要坚持下去，就会发现其中的乐趣。

总之，求完全数的公式虽然有点复杂，但只要我们有耐心，有兴趣，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处。

完全数计算公式范文

完全数计算公式范文完全数也被称为完美数，是一种特殊的自然数，它等于除自身外所有真因数之和。

在数学中，完全数是一种古老且有趣的研究对象，人们一直在尝试找到完全数的规律和计算方法。

首先，我们来了解一下完全数的定义。

一个自然数如果等于除自身外的所有真因数之和，那么这个数就是完全数。

例如，6是一个完全数，因为它的真因数是1、2，而1+2=3、同样地，28也是一个完全数，因为它的真因数是1、2、4、7和14，而1+2+4+7+14=28为了计算完全数，我们需要找到一个高效的方法来列举所有可能的真因数。

首先，我们可以观察到，只有自然数的前一半范围内的数才可能是它的真因数，因为超过一半的数不可能整除这个自然数。

例如，对于数6来说，它的真因数只有1和2，4和7已经超过了一半的范围。

因此，我们可以确定计算完全数的范围为[2, n/2]，其中n是待验证的自然数。

然后，我们可以编写一个循环来迭代这个范围内的所有数，判断它们是否是n的真因数。

如果是，我们就将它们累加到一个变量sum中。

下面是一个Python代码示例：```def is_perfect_number(n):sum = 1 # 自身必定是其真因数，所以初始sum为1for i in range(2, n//2 + 1):if n % i == 0:sum += ireturn sum == ndef calculate_perfect_numbers(limit):perfect_numbers = []for num in range(2, limit+1):if is_perfect_number(num):perfect_numbers.append(num)return perfect_numbersperfect_numbers = calculate_perfect_numbers(limit)print(perfect_numbers)```在上面的代码中，我们首先定义了一个函数`is_perfect_number`，它用于判断一个数是否是完全数。

51个完全数的计算方法

51个完全数的计算方法
完全数可是数学里很有趣的数呢！不过到现在发现的完全数可没有51个那么多哦。

那啥是完全数呢？完全数就是它所有的真因子（就是除了它本身以外的约数）的和恰好等于它本身。

比如说6，6的真因子有1、2、3，1+2+3 = 6，所以6就是一个完全数。

那怎么去找完全数呢？这里面有个小秘密跟梅森素数有关哦。

梅森素数是一种特殊形式的素数，写成2的p次方减1的形式（这里的p也是素数）。

当你找到一个梅森素数，就可以算出一个完全数啦。

公式就是如果M = 2的p次方 - 1是梅森素数，那么完全数A = 2的（p - 1）次方×（2的p次方 - 1）。

比如说当p = 2的时候，2的2次方 - 1 = 3，3是梅森素数呢。

那完全数A = 2的（2 - 1）次方×（2的2次方 - 1）= 2×3 = 6。

再比如当p = 3的时候，2的3次方 - 1 = 7，7是梅森素数，完全数A = 2的（3 - 1）次方×（2的3次方 - 1）= 4×7 = 28。

28的真因子1、2、4、7、14加起来也是28哦。

不过随着数字越来越大，找梅森素数和计算完全数就变得超级难啦。

科学家们用超级强大的计算机去寻找呢。

而且每发现一个新的梅森素数和对应的完全数都是一件超级兴奋的事儿，就像在数学这个大宝藏里又挖到了一颗超级闪亮的钻石。

虽然现在还没找到51个完全数，但是数学家们一直在探索的路上，说不定哪天就又有新的发现啦，那时候肯定会让全世界的数学爱好者都欢呼雀跃的呢！。

趣味数学086：完全数公式

完全数公式前面，在“从一个数的约数谈起”一文中，介绍了求一个数的约数总和的公式：如果一个数N ＝ɑi b j …c k ，其中ɑ、b 、…、c 是N 的质因数，i 、j 、…、k 是这些质因数的幂指数。

N 的所有约数的总和等于：111--+a a i ×111--+b b j ×…×111--+c c k 同时，还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。

2n-1(2n －1)式中，n 是大于1的自然数，并且2n －1是质数。

其实，偶完全数欧几里得公式，可以从约数和公式推出来。

下面就是推导的过程：完全数的定义是：如果一个数的真约数之和等于这个数，或者一个数的所有约数之和等于这个数的2倍，这个数就是完全数。

按照完全数的定义，最小的完全数是6。

6是偶数，把6分解质因数6＝2×3。

进而推想，偶完全数分解质因数后，一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。

如果把若干个2的积记作2m ，(m ≥1)，把若干个奇质数乘幂的积记作p ，那么，偶完全数就可以记作2m p 。

根据约数总和公式，2m 的约数总和等于12121--+m ＝2m+1－1。

设p 的真约数之和是q ，那么，p 的约数总和就是p ＋q 。

于是，偶完全数2m p 的约数总和就是(2m+1－1)(p ＋q)。

因为完全数的约数总和等于完全数的2倍，所以，(2m+1－1)(p ＋q)＝2×2m p ＝2m+1p 。

化简，(2m+1－1)(p ＋q)＝2m+1p2m+1p ＋2m+1q －p －q ＝2m+1p (乘开)2m+1q －q ＝p (消项，移项)2m+1－1＝p/q (除以q)2m+1－1是一个整数，p/q 等于一个整数，并且，因为m ≥1，所以2m+1－1≥3，说明q 是p 的真约数。

而前面已经假设q 是p 的真约数之和，这就意味着，q是p唯一的真约数。

那么，什么样的数只有一个真约数呢？只有质数，并且这个真约数只能是1，即q＝1。

完全数计算公式范文

完全数计算公式范文完全数是指一个数恰好等于它的因子之和。

举例来说，6的因子为1、2、3，而1+2+3=6，因此6是一个完全数。

完全数是数论中的经典问题之一，自古以来就受到人们的广泛关注和研究。

为了计算完全数，我们可以采用暴力的方法。

具体操作如下：1.首先，我们需要确定待计算的完全数的范围。

假设我们要计算1到N之间的所有完全数。

2.对于每一个数x，我们需要找到它的所有因子。

通常情况下，一个数的因子是从1到该数本身的所有整数，并且这些因子中不能包含大于x/2的数。

3.对于每一个数x，我们需要计算它的因子之和。

这可以通过一个循环遍历x的所有因子，并将它们累加起来的方式实现。

4.接下来，我们需要判断因子之和是否等于x本身。

如果相等，则x是一个完全数，如果不相等，则x不是一个完全数。

5.最后，我们将所有的完全数打印输出。

下面是一个示例的Python代码实现：```pythondef find_perfect_numbers(N):perfect_numbers = []for x in range(1, N+1):factors = []for i in range(1, x//2+1):if x % i == 0:factors.append(i)factor_sum = sum(factors)if factor_sum == x:perfect_numbers.append(x)return perfect_numbersN = int(input("请输入计算范围N："))perfect_numbers = find_perfect_numbers(N)print("找到的完全数有：")for number in perfect_numbers:print(number, end=" ")```这段代码首先定义了一个函数find_perfect_numbers，它接受一个参数N，表示计算范围的上限。

完全数计算公式

完全数计算公式完全数是一个古老且神秘的数学概念，它具有许多有趣的特性和计算公式。

在这篇文章中，我们将深入探索完全数，并介绍一个用于计算完全数的公式。

首先，让我们来了解一下完全数的定义。

一个正整数如果等于它的所有因子之和（除了它本身），那么它就是一个完全数。

举个例子，6是一个完全数，因为它的因子（除了6本身）是1、2、3，而1+2+3=6，恰好等于这个数本身。

完全数的发现可以追溯到古希腊时代，著名的古希腊数学家欧几里得就对完全数进行了深入的研究。

他发现了前四个完全数：6、28、496和8128。

在后续的几个世纪里，数学家们不断寻找更大的完全数，并提出了各种计算公式。

在19世纪初，瑞士数学家欧拉发现了一种计算完全数的公式，这个公式被称为欧拉公式。

欧拉公式说明了完全数与特殊的素数（即只有1和它本身两个因子的数）之间的关系。

按照欧拉公式，形如2^(n-1) × (2^n - 1)的数，其中n为质数，就是一个完全数。

例如，n取2时，得到的数为2^(2-1) × (2^2 - 1) = 6，与之前的例子相符。

再举一个例子，当n取5时，得到的数为2^(5-1) × (2^5 - 1) = 496，也是一个完全数。

这个公式的奇妙之处在于，当2^n - 1为素数时，对应的数就是一个完全数。

欧拉发现了一些特定的n值，使得2^n - 1是一个素数，从而得到了一些更大的完全数。

然而，这个公式并不是总能计算出完全数。

至今为止，已知的完全数只有很少一部分，且其中最大的一个完全数为2^82,589,933 − 1，由格律斯-麦卡锡算法在2018年发现。

虽然欧拉公式是找到完全数的重要工具，但它并没有提供计算完全数的具体步骤。

事实上，目前还没有一种通用且高效的算法可以计算任意大的完全数。

因此，寻找更多的完全数一直是数学家们的激动人心的课题。

总结一下，完全数是一类特殊的正整数，其因子之和（除去它本身）等于这个数本身。

魅力无穷的完全数

魅力无穷的完全数中国数学会 2017-11-16 00:00公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。

他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。

6是人们最先认识的完全数。

发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。

”古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。

”并给出了证明。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。

他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。

可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。

直到1202年才出现一线曙光。

意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。

他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。

斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。

完全数公式推理

第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：首数是1尾数是2^n-1项数是2^n-1代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 ×(2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)请注意，连续自然数相加从1加到2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。

也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数2^n-1。

证毕。

第二步：我们把无穷连续自然数分组。

P为任意奇数。

每一组的首数是（P^2 +1）/2 - P (2)每一组的尾数是（P^2 -1）/2 + P (3)用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：Q =（首数+尾数）/2 ×项数= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2×{[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}= P^2/2 × 2P = P^3此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。

举例：P 首数尾数所占区间区间内全部自然数之和1 0 1 0 ～1 1=1^33 2 7 2 ～7 27=3^35 8 17 8 ～17 125=5^37 18 31 18 ～31 343=7^39 32 49 32 ～49 729=9^317 128 161 128～161 4913＝17^3第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。

Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2= 1本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。

完美数的知识点总结

完美数的知识点总结6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248完美数一直以来都是数学研究的一个重要课题，它们具有很多有趣的特性和性质。

在本文中，我们将对完美数的相关知识进行总结和介绍。

完美数的历史完美数的概念最早可以追溯到古希腊时期。

古希腊数学家尤凯里德（Euclid）认为完美数是神圣和完美的，并在他的《几何原本》中对完美数进行了讨论。

在古希腊时期，古罗马数学家提奥菲卢斯（Theophylus）也对完美数进行了相关研究。

随着数学的发展，完美数的研究逐渐深入，一些著名的数学家如费马、欧几里得、欧拉等人都对完美数进行了研究。

其中，欧拉在18世纪对完美数的性质做出了重要的贡献，他提出了许多关于完美数的猜想和定理。

直到今天，完美数仍然是数学研究的一个重要课题，许多数学家致力于发现新的完美数以及完美数之间的关系和性质。

完美数的性质完美数有许多有趣的性质，下面我们将逐一介绍。

完美数的定义一个正整数如果等于它的所有真因子之和，则称其为完美数。

其中，真因子是除了自身以外的所有正因子。

例如，6的真因子为1、2、3，它们的和为6，所以6是一个完美数。

完美数的表述完美数可以用数学符号表示为：Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中n是一个素数。

这个公式是由欧拉提出的，其中2^(n-1)是一个偶数，(2^n - 1)是一个素数。

因此，所有的完美数都可以表示为一个偶数乘以一个素数。

完美数的特征从定义和表述可以看出，完美数具有以下几个特征：1. 完美数必须是偶数。

因为假设P是一个奇数完美数，那么它的所有真因子中至少包含1和P本身，但P本身是奇数，所以P的真因子之和必定是一个偶数，这与完美数的定义相矛盾。

2. 完美数的素因子分解中一定有重复。

由表述可以得知，Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中2^(n-1)和(2^n - 1)都是Pn素因子分解中的一部分，由于n是素数，所以2^(n-1)和(2^n - 1)构成一对相异素数。

《因数和倍数》完全数和毕达哥拉斯

完全数和毕达哥拉斯完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的因数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

例如：6＝1+2+328＝1+2+4+7+14496＝1+2+4+8+16+31+62+124+2488128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 【相关概念】对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。

由于4本身比其真因子之和大，这样的数叫做亏数。

对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。

由于12本身比其真因子之和小，这样的数就叫做盈数。

那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。

完全数有许多有趣的性质：1、它们都能写成连续自然数之和例如：6＝1+2+328＝1+2+3+4+5+6+7496＝1+2+3+……+30+312、每个都是调和数它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

例如：+++＝2+++++＝23、可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。

例如：28＝+496＝+ ++8128＝+ ++……+33550336＝+ ++……++4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和例如：6＝+28＝++8128＝++ +++ +33550336＝ ++……+5、完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

6、各位上的数相加直到变成个位数则一定是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）28：2+8＝10，1+0＝1496：4+9+6＝19，1+9＝10，1+0＝1【疑难问题】1、到底有多少完全数？寻找完全数并不是容易的事。

经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了47个完全数。

完全数c语言程序

完全数C语言程序1. 什么是完全数完全数是一个非常有趣的数学概念。

在数论中，一个数如果等于其他所有因子（包括1但不包括自身）之和，那么我们称它为完全数。

例如，6是一个完全数，因为它的因子是1、2、3，而1+2+3=6。

另一个例子是28，它的因子是1、2、4、7、14，而1+2+4+7+14=28。

2. 完全数的历史完全数的概念可以追溯到古代。

在中国，完全数被称为“完美数”，在希腊和罗马文化中被称为“完全数”。

早在公元前300年，欧几里得就在他的著作《几何原本》中提到了完全数的概念。

数学家们对完全数的研究一直延续至今，尽管如今我们已经发现的完全数非常有限。

3. 完全数的特性完全数具有一些非常有趣的特性，我们在下面的内容中将逐一介绍。

3.1 完全数的因子如前所述，完全数的因子是它本身之外的所有正因子（即能整除它的正整数）。

以6为例，它的因子是1、2、3，这三个数之和正好等于6。

找出完全数的因子是判断一个数是否是完全数的第一步。

3.2 完全数的奇偶性经过观察可以发现，所有已知的完全数都是偶数。

这是因为如果一个数是完全数，那么它的因子必定是成对出现的。

例如，如果2是一个完全数的因子，那么n2也是该完全数的因子。

假设这些因子按照从小到大的顺序排列，那么第一个因子和最后一个因子的乘积一定等于该完全数。

因此，完全数的因子必定可以配对，而配对的因子一定是一个奇数乘以一个偶数，因此完全数必定是偶数。

3.3 完全数的稀少性迄今为止，我们只知道很少的完全数。

根据目前已知的情况，前几个完全数是6、28、496、8128和33550336。

然而，数学家们认为完全数的数量非常有限，可能只有有限多个。

目前还没有找到一个奇完全数（一个奇数作为完全数），也还没有找到一个大于33550336的完全数。

寻找新的完全数一直是数学界的一个挑战。

4. 用C语言编写完全数的程序既然我们已经了解了完全数的一些基本概念和特性，现在让我们看看如何用C语言编写一个程序来找到完全数。