趣味数学086：完全数公式

完全数公式

前面，在“从一个数的约数谈起”一文中，介绍了求一个数的约数总和的公式：

如果一个数N ＝ɑi b j …c k ，其中ɑ、b 、…、c 是N 的质因数，i 、j 、…、k 是这些质因数的幂指数。

N 的所有约数的总和等于：111--+a a i ×111--+b b j ×…×1

11--+c c k 同时，还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。

2n-1(2n －1)

式中，n 是大于1的自然数，并且2n －1是质数。

其实，偶完全数欧几里得公式，可以从约数和公式推出来。下面就是推导的过程：

完全数的定义是：如果一个数的真约数之和等于这个数，或者一个数的所有约数之和等于这个数的2倍，这个数就是完全数。

按照完全数的定义，最小的完全数是6。6是偶数，把6分解质因数6＝2×3。进而推想，偶完全数分解质因数后，一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。如果把若干个2的积记作2m ，(m ≥1)，把若干个奇质数乘幂的积记作p ，那么，偶完全数就可以记作2m p 。

根据约数总和公式，2m 的约数总和等于1

2121--+m ＝2m+1－1。 设p 的真约数之和是q ，那么，p 的约数总和就是p ＋q 。于是，偶完全数2m p 的约数总和就是(2m+1－1)(p ＋q)。

因为完全数的约数总和等于完全数的2倍，所以，(2m+1－1)(p ＋q)＝2×2m p ＝2m+1p 。

化简，(2m+1－1)(p ＋q)＝2m+1p

2m+1p ＋2m+1q －p －q ＝2m+1p (乘开)

2m+1q －q ＝p (消项，移项)

2m+1

－1＝p/q (除以q)

2m+1－1是一个整数，p/q 等于一个整数，并且，因为m ≥1，所以2m+1－1≥3，说明q 是p 的真约数。而前面已经假设q 是p 的真约数之和，这

就意味着，q是p唯一的真约数。

那么，什么样的数只有一个真约数呢？只有质数，并且这个真约数只能是1，即q＝1。于是，原来所设的偶完全数2m p，就等于2m(2m+1－1)，并且，(2m+1－1)是一个质数。

如果把m＋1换成n，即m＋1＝n，m＝n－1，就得到求偶完全数的欧几里得公式：

2n-1(2n－1)

式中，n是大于1的自然数，并且2n－1是质数。