电子科技大学,电磁场与电磁波。第一章__矢量分析
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电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
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? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
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矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
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位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
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e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
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A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版)
第一章 矢量分析仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数),(t r u来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数),(t r F来描述。
矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。
1.1 矢量代数1.矢量的表示矢量A 可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量A的大小，称为矢量的模；箭头的指向表示矢量A 的方向。
用A e表示与矢量A 同方向的单位矢量，则A e A A=； AA e A=2.矢量的加法 矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。
交换律：A B B A+=+；结合律：)()(C B A C B A++=++两个矢量的相减可以归结为相加运算。
3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量A 与标量k 的乘积A k 为矢量，大小为A k 。
若0>k ，A k 与A同向；若0<k ，Ak 与A反向。
(2)矢量的标积或点积 θcos AB B A =⋅标积的运算符合交换律和分配律：A B B A⋅=⋅；C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)((3)矢量的矢积或叉积大小：θsin AB ；即等于矢量A 和B构成的平行四边形的面积。
方向：与矢量A 和B垂直，其指向由右手螺旋决定。
矢量积不服从交换律，但服从分配律：A B B A⨯-=⨯；C A B A C B A ⨯+⨯=+⨯)( (4)标量三重积（三矢量的混合积）形式：)(C B A⨯⋅几何意义：等于矢量C B A,,构成的平行六面体的体积性质：a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。
)()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅b.只把两矢量对调，其积差一负号。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
只要 以 面体,故
即可。
z
点为顶点作一个平行六 x
经过左右两面的通量为：
(x,y,z +△z)
y △z
M●(x,y,z) △y
△x
(x+△x,y,z)
(x,y+△y,z)
用偏微分代替偏增量，得:
第36页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 同理，前后、上下面的通量分别为:
故从该平行六面体穿出的通量为:
； 没有 分量，则
，所以
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
微分面积：
e
单位长度( z=1 )圆柱面的通量:
e e
第43页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第五节 矢量的环流与旋度
（Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
例如:流速场
、电场
是矢量场
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电磁场பைடு நூலகம்电磁波 第一章__矢量分析
3、场的表示
矢量
，
矢量场
一个矢量场对应着三个标量场
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.1.2 矢量的加法和减法
B
A＋B
A
矢量的加法
B
A
-B A－B
矢量的减法
B
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
1.1.3 矢量的乘法 矢量的点积(标积):
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
电磁场与电磁波理论第1章
1-2
《电磁场与电磁波理论》
基本要求
第1章 矢量分析与场论
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算； ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理.
1-3
《电磁场与电磁波理论》
三种常用的正交坐标系
第1章 矢量分析与场论
直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 几点说明
第1章 矢量分析与场论
矢量与矢量的表示法 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
矢量与矢量的表示法
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-11
《电磁场与电磁波理论》
1.矢量与单位矢量
第1章 矢量分析与场论
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段. ♥ 该线段的长度 代表该矢量的模, ♥ 该线段的方向 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容
基本要求
三种常用的正交坐标系
物理量的分类
1.1 矢量的代数运算 1.2 场的微分运算 1.3 矢量的恒等式和基本定理 1.4 常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
主要内容
第1章 矢量分析与场论
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念.此外, 有很多物理量都是矢量,一些用来描述电磁现象基本规律 的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程.因此,矢 量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础.本章仅讨论 在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容,包 括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉 普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理.最后,还给 出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这 三种坐标系中的表示式.
(电子科技大学)电磁场与电磁波1
矢量的标积符合交换律 A⋅ B= B⋅ A ——矢量的标积符合交换律
A
矢量 A B的夹角 与
A B ⊥
A⋅ B =0
A// B
A⋅ B = A B
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
ex ⋅ex =ey ⋅ey =ez ⋅ez =1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（4）矢量的矢积（叉积） ）矢量的矢积（叉积）
∇ C =0 (C ) =C u ∇ u ∇ 梯度运算的基本公式： ∇ 梯度运算的基本公式： (u±v) =∇ ±∇ u v (u ) =u v+v u ∇ v ∇ ∇ f (u) = f ′(u)∇ ∇ u
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
18
描述了空间标量场。 例1.2.1 设一标量函数ϕ (x,y,z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。 试求： 试求： 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 处的梯度， (1) 该函数ϕ 在点 处的梯度 单位矢量； 单位矢量； (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el= ex cos60°＋ey cos45° ＋ ez cos60° ° ° ° 方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 方向的方向导数，并以点 处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。 作以比较，得出相应结论。 由梯度计算公式， 解 (1)由梯度计算公式，可求得 点的梯度为 由梯度计算公式 可求得P点的梯度为
若 A⊥ B，则 A×B = A B 若 A// B ，则 A×B =0
AB sin θ
A
矢量A与 B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（5）矢量的混合运算
A
矢量 A B的夹角 与
A B ⊥
A⋅ B =0
A// B
A⋅ B = A B
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
ex ⋅ex =ey ⋅ey =ez ⋅ez =1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（4）矢量的矢积（叉积） ）矢量的矢积（叉积）
∇ C =0 (C ) =C u ∇ u ∇ 梯度运算的基本公式： ∇ 梯度运算的基本公式： (u±v) =∇ ±∇ u v (u ) =u v+v u ∇ v ∇ ∇ f (u) = f ′(u)∇ ∇ u
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
18
描述了空间标量场。 例1.2.1 设一标量函数ϕ (x,y,z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。 试求： 试求： 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 处的梯度， (1) 该函数ϕ 在点 处的梯度 单位矢量； 单位矢量； (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el= ex cos60°＋ey cos45° ＋ ez cos60° ° ° ° 方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 方向的方向导数，并以点 处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。 作以比较，得出相应结论。 由梯度计算公式， 解 (1)由梯度计算公式，可求得 点的梯度为 由梯度计算公式 可求得P点的梯度为
若 A⊥ B，则 A×B = A B 若 A// B ，则 A×B =0
AB sin θ
A
矢量A与 B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（5）矢量的混合运算
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)
环流面密度矢量→旋涡源密度矢量 旋涡源密度矢量。 物理意义 ◇ 环流面密度矢量 旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式 的示意图如图所示。 推导 rot x F 的示意图如图所示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5.2. 矢量场的旋度（∇× F） 矢量场的旋度（ 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系， 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 矢量场的旋度。 （1）环流面密度 ） 过点M 作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为C， 过点 作一微小曲面∆S ，它的边界曲线记为 ，曲面的法 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0 时，极限 →
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 宏观上 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.4.3. 矢量场的散度 散度： 向某点无限收缩时， 散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该 点的散度， 表示， 点的散度，以 div F 表示，即
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合 矢量场对于闭合曲线 环流定义为该矢量对闭合 曲线C 的线积分， 曲线 的线积分，即
Γ = ∫C F(x, y, z) ⋅ dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 旋场，又称为保守场。 保守场 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零， 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。 旋涡源 磁场的旋涡源。 磁场的旋涡源。
第1章__矢量分析。
27
★梯度的性质
标量场)的梯度是一个矢量函数。 1）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。 变化率最大的， 梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是 函数在该点的最大变化率的数值。 函数在该点的最大变化率的数值。 2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u 方向的投影。 的梯度在l方向的投影。
16
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
0 ≤ r < ∞ 0 ≤θ ≤ π 0 ≤ϕ ≤ 2π
v v v ar , vθ ,v ϕ a a v er , eθ , eϕ
v 矢量表示： ★矢量表示：A
6
4、坐标变换
★直角坐标系与圆柱坐标系： 直角坐标系与圆柱坐标系：
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
v 例如： v v 例如： a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ v v v a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ
10
★圆柱坐标系与球坐标系： 圆柱坐标系与球坐标系：
v v v 例如： 例如：a r = a R sin θ + aθ cos θ v v v a R = a r sin θ + a z cos θ
14
v v v v A⋅ B与 ×B的 算 A 计 v
★梯度的性质
标量场)的梯度是一个矢量函数。 1）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。 变化率最大的， 梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是 函数在该点的最大变化率的数值。 函数在该点的最大变化率的数值。 2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u 方向的投影。 的梯度在l方向的投影。
16
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
0 ≤ r < ∞ 0 ≤θ ≤ π 0 ≤ϕ ≤ 2π
v v v ar , vθ ,v ϕ a a v er , eθ , eϕ
v 矢量表示： ★矢量表示：A
6
4、坐标变换
★直角坐标系与圆柱坐标系： 直角坐标系与圆柱坐标系：
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
v 例如： v v 例如： a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ v v v a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ
10
★圆柱坐标系与球坐标系： 圆柱坐标系与球坐标系：
v v v 例如： 例如：a r = a R sin θ + aθ cos θ v v v a R = a r sin θ + a z cos θ
14
v v v v A⋅ B与 ×B的 算 A 计 v
第1章电磁场与电磁波
（球面）
rr
位置矢量：r err
er e
e P(r0,0,0)
设：A er Ar e A e A B er Br e B e B
0（半平面）
球坐标系
A B er Ar Br e A B e A B
AgB Ar Br A B A B
对应分量积之和
各分量为对应分量之和
1.2.1 直角坐标系
单位矢量：ex , ey , ez，遵循右手螺旋法
任意矢量：A ex Ax ey Ay ez Az
位置矢量：r ex x ey y ez z
设：Av evx Ax evy Ay evz Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
v A
v B
evx
(
Ax
Bx
)
evy
电子科技大学
第1章 矢量分析
本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理 主要内容
矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 矢量场的散度和旋度 无旋场与无散场 格林定理和亥姆霍兹定理
1.1 矢量代数
电子科技大学
1.1.1 标量和矢量
标量：只有大小没有方向的物理量（温度、高度、电压等）
矢量：既有大小又有方向的物理量（力、速度、电磁场强度等）
矢量的表示
图示法：用一条有方向的线段表示，其长度表示矢量的大
小即矢量的模，箭头指向表示矢量的方向
书写法：粗体或在符号上加箭头，如 A、b 或 Av、bv
矢量的模：矢量A的模表示为
A
A
v A
单位矢量：模为1的矢量称为单位矢量，如eA，表示与矢 量A同方向的单位矢量，显然有
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
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第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
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dS
螺旋法则确定；
对闭合曲面：闭合面外法线方向
蜒s FvgdSv
s
FvgevndS
?s
v F
cos (rv)dS
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第1章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
0
若 0，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发
出矢量线的正源；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
r A
A(erx
cos
ery
cos
erz
cos
)
erA erx cos ery cos erz cos
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第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx Bx
evy
By
evz Bz
vv vv v v v vv vv AgB BgA Ag(B C) AgB AgC
2、两个矢量的点积为标量
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第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
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第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大 面电荷分布产生电场分布。
2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长 线电流产生磁场分布。
3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷 产生电场分布。
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r dS
er dl dlz
er d dz
r dSz
r ez dl dl
r ez
d
d
圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev
B
ev B
evz Bz
A
ev
A
v B
evr Br
ev B
ev B
v 加减：A
v B
evr (Ar
Br
)
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
vv 标积：AgB
(evr Ar
ev
A
ev
A
)g(evr Br
ev B
ev B )
Ar Br A B A B
v v evr ev ev 矢积：A B Ar A A
Br B B evr ( A B A B ) ev ( A Br Ar B ) ev ( Ar B A Br )
u
0 l M0
，标量场
u
在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
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第1章 矢量分析
1.3.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：evl 为场量 u
z) evl
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz
)
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
vv v vv v vv v Ag(B C) Bg(C A) Cg(A B) v v v vvv vvv A (B C) B(AgC) C(AgB)
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y e
ey e
φ ex
φ
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系
ez
θ θ
er e
单位圆
e
r
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
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第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
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第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
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x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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1.2.2 圆柱坐标系
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坐标变量
,, z
坐标单位矢量
r e
,
r e
,
erz
位置矢量
rr er erz z
线元矢量
drv erd er d erzdz
面元矢量
r dS
r e
dl
dlz
r e
d
dz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz
)
标积：AvgBv (ev A ev A evz Az )g(ev B ev B evz Bz )
A B A B Az Bz
矢积：Av
v B
ev A
ev A
evz Az ev ( A Bz Az B ) ev ( Az B A Bz )
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第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
r erdl dl er dlrdl
erdlrdl
r er
r
2sin
d
d
r ez
rsin
drd
errdrd
球坐标系
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
说明：球面坐标系下矢量运算：
v A
evr Ar
ev
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x,
y,
z)、
r F
(x,
y,
z)
r
时变标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z,t) 、 F (x, y, z,t)
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第1章 矢量分析
1.3.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
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第1章 矢量分析
若S 为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
说明：1)
面元矢量
v dS
定义：面积很小的有向曲面。
dS ：面元面积，为微分量，无限小
2) 面evn元：法面向元e法vn 线的方确向定，方垂法直：于面元平面。
evn
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手
1.4.2 矢量场的通量
r F M drr rr rr drr
O
矢量线
问题：如何定量描述矢量场的大小？
引入通量的概念。
若矢量场 Fv(rv) 分布于空间中，在
空间中存在任意曲面S，则定义：
Fv(rv)gdSv
为矢量
Fv(rv)
S
沿有向曲面
S
的通量。
矢量场的通量
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第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
rrr
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
rr erx x ery y erz z
线元矢量
r dl
r exdx
r eydy
r ezdz
面元矢量
r dSx
r exdlydlz
r exdydz
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第1章 矢量分析
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos