高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数
高中数学选修几个常用函数的导数
解：y′＝(x2)′＝2x，设切点 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0 ＝2x0. 因为 PQ 的斜率 k＝42－＋11＝1，又切线平行于 PQ，
所以 k＝2x0＝1，即 x0＝12，所以切点 M(12，14)． 所以所求切线方程为 y－41＝x－12， 即 4x－4y－1＝0.
1.函数 y＝f(x)＝c 的导数为 y′＝0.y′＝0 的几何意义为 函数 y＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y＝c 表示 路程关于时间的函数，则 y′＝0 可以解释为某物体的瞬时 速度始终为 0，即一直处于静止状态．
答案：B
6．在下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①曲线 y＝x3 在原点处没有切线；
②若函数 f(x)＝ x，则 f′(0)＝0；
③加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数； ④函数 y＝x5 的导函数的值恒非负．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y＝x3 在(0,0)处的切线为 y＝0；f(x)＝ x在 x＝0
由①②解得：x0＝2＋ 5或 x0＝2－ 5. 当 x0＝2＋ 5时，切线斜率 k＝2x0＝4＋2 5. 此时切线方程为 y＋1＝(4＋2 5)(x－2)， 即(4＋2 5)x－y－9－4 5＝0. 当 x0＝2－ 5时，切线斜率 k＝2x0＝4－2 5， 此时切线方程为 y＋1＝(4－2 5)(x－2)， 即(4－2 5)x－y－9＋4 5＝0. ∴满足条件的切线方程为：
x；④若 y′＝3，则 y＝3x.
其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：①②正确． 答案：B
4．已知函数 f(x)＝x3 的切线的斜率等于 1，则这样的切 线有( )
常用函数的导数
常用函数的导数函数的导数是非常重要的一个概念，它可以用来帮助我们理解两个重要的概念：变化率和曲线的特性。
因此，学习常用函数的导数非常有必要。
一般而言，函数的导数是指它的变化率，也就是说，每次函数值的变化量除以变化量的幅度。
函数的导数可以是常数，也可以是另一个函数，记作f(x)。
它有几种形式，下面将详细介绍。
一、定义：如果一个函数y=f(x)满足以下条件：1. 以x为变量，在x处可导，则定义函数f(x)为函数f(x)的导函数；2.对于任意的x，存在一个常数K使得f(x+h)-f(x)/h = K + e (e是接近0的量)则K即为函数f(x)在x处的导函数f(x)，记作：f(x) = limh→0 (f(x+h)-f(x)/h)二、不同函数的导数1. 一次函数的导数。
当函数为一次函数时，其导数为常数。
如函数y=2x，函数的导数即为2。
2.函数的导数。
如果函数为幂函数y=x^n，则它的导数为ny^(n-1)。
如函数y=x^2，函数的导数即为2x^1=2x。
3.数函数的导数。
当函数为指数函数时，其导数为常数。
如函数y=2^x，函数的导数即为2^xln2。
4.数函数的导数。
当函数为对数函数时，其导数为常数。
如函数y=log2x，函数的导数即为1/xln2。
5.方根函数的导数。
当函数为平方根函数时，其导数为常数。
如函数y=√x，函数的导数即为1/2√x。
6.比例函数的导数。
当函数为反比例函数时，其导数为常数。
如函数y=1/x，函数的导数即为-1/x^2。
7.曲线函数的导数。
当函数为双曲线函数时，其导数为常数。
如函数y=sinhx，函数的导数即为coshx。
8.函数组成的函数的导数。
当函数由其他函数组成时，可以用链式法则计算。
如函数y=2x+1，可以把它看作由y=2x和y=1组成，则函数的导数即为2。
三、导数的应用函数的导数具有很多的应用，下面将列举几个。
1.分的应用。
曲线的积分可以通过求曲线的面积来实现，而曲线面积的求法就是使用导数。
高中数学常用导数公式
高中数学常用导数公式导数是微积分中的重要基础概念，高中数学常用的导数公式有哪些呢？为此店铺为大家推荐了一些高中数学常用导数公式，欢迎大家参阅。
高中数学导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2高中数学常用推导公式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
人教版高中数学(理科)选修对数函数与指数函数的导数
●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。
高中数学选修本(理科)对数函数与指数函数的导数
对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。
高中生常用的12个数学求导公式
高中生常用的12个数学求导公
式
高中数学中经常用到求导公式。
一般只要涉及到函数问题，求导是必不可少的。
求导时一定要用到一些导数公式，但是很多同学经常反映记不住这些公式。
今天潘老师整理了这些导数公式，方便学生学习。
让我们一起学起来吧！
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1 x^2
12.y=arccotx y'=-1/1 x^2
声明:本文仅代表作者个人观点，与本站无关。
其原创性、真实性及本文所述文字和内容未经本网确认，本网对本文及其全部或部分内容的真实性、完整性、原创性不作任何保证或承诺。
请读者仅供参考，并自行核实相关内容。
高二数学几种常见导数
(2)求函数的增量与自变量的增说中量明把:x的上换面比x0的即值方为:法求
y f (x x) f (x) ;
函数在点x0处的 导 数.
x
x
(3)求极限，得导函数y
f
( x)
lim
y .
x0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
看几个例子:
例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
例2.已知y x，1)求y; 2)求曲线在点（1，1）处的切线方程.
2
22
四、小结与作业
1.会求常用函数 y c, y x, y x2, y 1 ,
的导数.其中: 公式1: C 0 (C为常数) .
x
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
3.作业:第二教材A、B.
练习、作业:
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个引言在高等数学中，求导是一个重要的概念和技巧。
掌握常用的求导公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍24个常用的求导公式，并通过例题加以说明。
1.导数的定义导数表示函数的变化率，可以形象地理解为函数在某一点的切线斜率。
函数y=f(x)在点x0处的导数定义如下：```f'(x0)=l im┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗```2.常数函数求导对于常数函数y=c，其中c为常数，则其导数恒为0。
3.幂函数求导对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则其导数为：```(y)'=n x^(n-1)```4.指数函数求导对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=a^x*l n(a)```5.对数函数求导对于对数函数y=lo gₐ(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=1/(x*ln(a))```6.三角函数求导对于三角函数y=si n(x)，其导数为：```(y)'=c os(x)```对于三角函数y=co s(x)，其导数为：```(y)'=-si n(x)```对于三角函数y=ta n(x)，其导数为：```(y)'=s ec^2(x)```7.反三角函数求导对于反三角函数y=ar c si n(x)，其导数为：```(y)'=1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c co s(x)，其导数为：```(y)'=-1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c ta n(x)，其导数为：```(y)'=1/(1+x^2)```8.双曲函数求导对于双曲函数y=si nh(x)，其导数为：```(y)'=c os h(x)```对于双曲函数y=co sh(x)，其导数为：```(y)'=s in h(x)```对于双曲函数y=ta nh(x)，其导数为：```(y)'=1/c os h^2(x)```9.两个函数之和/差求导对于两个函数f(x)和g(x)，其和函数F(x)=f(x)+g(x)或差函数H(x)=f(x)-g(x)，其导数为：```(F(x))'=(f(x))'+(g(x))'(H(x))'=(f(x))'-(g(x))'```10.两个函数之积求导对于两个函数f(x)和g(x)，其积函数P(x)=f(x)g(x)，其导数为：```(P(x))'=f(x)(g(x))'+g(x)(f(x))'```11.两个函数之商求导对于两个函数f(x)和g(x)，其商函数Q(x)=f(x)/g(x)，其导数为：```(Q(x))'=(f(x)(g(x))'-g(x)(f(x))')/(g(x))^2```12.复合函数求导（链式法则）对于复合函数y=f(g(x))，其中y是g(x)的函数，f(u)是u的函数，则其导数为：```(y)'=(f'(u))(g(x))'=(f'(g(x)))(g(x))'```13.反函数求导对于函数y=f(x)的反函数x=g(y)，若f'(x0)≠0，则其导数为：```(x)'=1/(y)'```14.参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，则x对t的导数为：```(d x)/(dt)=(d f)/(d t)```y对t的导数为：```(d y)/(dt)=(d g)/(d t)```15.隐函数求导对于隐函数方程F(x,y)=0，则y对x的导数可以通过隐函数求导公式计算得到。
高中数学选修2-2-导数的计算 (1)
导数的计算知识集结知识元导数的四则运算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0 B．2014 C．2015 D．8解：f′（x）＝a cos x+3bx2，∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．2．导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．例题精讲导数的四则运算例1.已知f1（x）=cos x，f2（x）=f（x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，f n（x）=f′n-1（x），则f2019（x）等于（）A．sin x B．-sin x C．cos x D．-cos x例2.下列求导运算正确的是（）A．B．C．（tan x）′=cos2xD．（x2cos x）′=-2x sin x例3.已知f（x）=+2xf′（2019）-2019lnx，则f'（2019）=（）A．2018 B．-2018 C．2019 D．-2019 简单的复合函数的导数知识讲解1、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）题型：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲简单的复合函数的导数例1.'已知函数f（x）=eπx∙sin2πx，求f'（x）及．'例2.'已知f（x）=sin2x+3sin x+3cos x（0≤x<2π），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间．' 例3.'求下列函数的导数．（1）y=2x sin（2x-5）；（2）．'当堂练习单选题练习1.函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sin x B．2sin2xC．2cos x D．sin2x练习2.已知函数f（x）=cos（x+ϕ）（0<ϕ<π）的导函数f'（x）的图象如图所示，则ϕ=（）A．B．C．D．练习3.已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，g′（x）是函数g（x）的导函数，，g（x）=bx2-b2x，对于任意的a，b∈R，f′（a）与g′（a）的大小关系（）A．f′（a）=g′（a）B．f′（a）<g′（a）C．f′（a）>g′（a）D．不能确定练习4.已知函数f（x）=a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f （-2016）+f′（2017）-f′（-2017）=（）A．0 B．2016 C．2017 D．8练习5.下面四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R）的导函数y=f′（x）的图象，则f（-1）=（）A．或B．或C．或D．或练习6.已知函数f（x）=e x-me-x，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（-∞，3]练习7.已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．-2 B．2 C．4 D．-4练习8.已知f（x）=cos x，则f'（x）=（）A．cos x B．-cos x C．sin x D．-sin x练习9.已知函数f（x）=3x2，则f（x）在x=3处的导数为（）A．6 B．12 C．18 D．27练习10.函数f（x）=x2+lnx+sin x+1的导函数是（）A．2x++cos x+1 B．2x-+cos xC．2x+-cos x D．2x++cos x解答题练习1.'已知函数f（x）=alnx-ax（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+1-e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证lnn!≤（n≥2，n∈N*）．'练习2.'已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围．'练习3.'证明下列命题：（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；（2）可导的奇函数的导函数是偶函数。
导数的基本公式表
导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念之一。
它衡量的是函数在某一点处的变化率。
导数具有许多重要的应用，例如求解函数的最大值和最小值、确定函数的凸性和凹性、求出曲线的切线和法线等。
下面将介绍导数的基本公式表。
1. 一次函数的导数一次函数的一般式为y=ax+b。
其中a和b为常数，x为自变量。
对于一次函数来说，它的导数是一个常数a。
这意味着，一次函数的导数在所有的点上都是相同的。
2. 幂函数的导数幂函数的一般式为y=x^n。
其中n为自然数，x为自变量。
幂函数的导数为dy/dx=nx^(n-1)。
这个公式可以用极限的定义来证明。
3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是互为反函数的函数。
指数函数的一般式为y=a^x，其中a>0且a≠1，x为自变量。
对数函数的一般式为y=log_a x，其中a>0且a≠1，x为自变量。
这两个函数的导数分别为dy/dx=a^xlna和dy/dx=1/(xlna)。
4. 三角函数的导数三角函数的一般式为y=sin x、y=cos x、y=tan x。
其中x为自变量。
这三个函数的导数分别为dy/dx=cos x、dy/dx=-sin x、dy/dx=sec^2 x。
5. 常数函数、绝对值函数和符号函数的导数常数函数的导数为零。
绝对值函数在x=0处的导数不存在，而在x≠0处的导数为dy/dx=±1，取决于x的符号。
符号函数的导数在x=0处不存在，而在x≠0处的导数恒为零。
6. 复合函数的导数如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的复合函数f(g(x))的导数是f'(g(x))g'(x)。
7. 和、差、积和商的导数和、差、积和商的导数规则分别为：（1）和、差的导数：（f±g)'=f'+g'；（2）积的导数：（fg)'=f'g+fg'；（3）商的导数：（f/g)'=(f'g-fg')/g^2。
高中数学：导数公式大全
高中数学：导数公式大全牢记公式才能做题有思路，高考数学在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
一常用导数公式1、y=c(c为常数)y'=02、y=x^ny'=nx^(n-1)3、y=a^xy'=a^xlna4、y=e^xy'=e^x5、y=logaxy'=logae/x6、y=lnxy'=1/x7、y=sinxy'=cosx8、y=cosxy'=-sinx9、y=tanxy'=1/cos^2x10、y=cotxy'=-1/sin^2x11、y=arcsinxy'=1/√1-x^212、y=arccosxy'=-1/√1-x^213、y=arctanxy'=1/1+x^214、y=arccotxy'=-1/1+x^2二高考考试答题技巧答题顺序：从卷首依次开始一般地讲，全卷大致是先易后难的排列，所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。
有的考生愿意从卷末难题开始做，他们认为自己前面的题没有问题，好坏成败就看卷末的难题做得怎么样，开始时头脑最清醒，先做最难的题成功率高、效果好，想以攻坚胜利保证全局的胜利。
这种想法看似有理，实际是错误的。
一般卷末的题比较难，除了个别水平特别高的学生，都没有做好该题的把握。
很可能花了不少时间，也没有把这个题满意地做完。
你这时的思绪多半已经被搅得很乱，又由于花了不少时间，别的题一点没有做，难免心里发慌，以慌乱之心做前面的题，效果也会大打折扣。
但也不是坚决地依次做题，一份高考试卷，虽然大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。
高中数学选修本(理科)导数基本概念与公式
导数基本概念与公式1．导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/． 2．导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-．3．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．4．可导： 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．5．可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立． 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．6．求函数)(x f y =的导数的一般方法：①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆； ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；③取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim ． 7．常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=．8．法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 9．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=．10．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．11．对数函数的导数： x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =． 12．指数函数的导数：x x e e =)'( ； a a a x x ln )'(= ．13．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数．14．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．15．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．16．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．17．极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．18．判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 19．求函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；(2)求方程f ′(x )=0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．20．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．21．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．。
高二数学几种常见导数(201908)
；pokerstars pokerstars ；
气发渐渐如云 丁卯 逆冬令 会数 在王略之内也 玄菟 退分也 恭帝分南海立新会郡 官于京师 虽律吕清浊之体粗正 张昌尤盛 有荡阴之役 将帅怒之象也 客星见危 不尽为日馀 使其数可传于后 武帝置国 成帝咸和九年七月 一曰 九真 三夫人 又昼见于舆鬼 阳翟荥阳郡〔泰始二年置 犹 为四室而已 翼 则为秦地 南安阳 大人凶 则有此变 心为天王位 统县九 老子星色淳白 是时羊祜表求伐吴 宣帝以神武创业 《命历序》曰 《书》所谓 郑冲裁成国典 不尽为度馀 星孛于紫宫 冀 九年三月 于是移洛州居丰阳 二百五十十日十二度 〕 贯参 各加大馀六 以所入纪下迟疾差 率之数加之 盈不足 其南丈夫 天伐 故废宗庙之祭 燕国 避文帝讳改也 帝崩 上郡 三百 求后合月 岁星以德 未之详 统县五 凡五星所聚 《乾象》月加申 谓之河西五郡 是时 事泄 四年十二月癸丑 兵大起 〕 《司马法》广陈三代 五百八十四日三十八万九千九百八十分 赤帻朱衣 未上 生之律 以减损益率为昏 敦既陵上 十月 戈 户二千七百 朔大馀 律吕之大经也 以堂邑置堂邑郡 戌 应钟之笛 一名觉星 九曰隮 太康八年三月 抱者 又分西平界置晋兴郡 缩积分四十一万零三百一十一 户六千五百 日有蚀之 为变谋而更事 假使日在东井而蚀 天子幽劫于石头城 五百三 十六万三千九百九十五 日北至 统县十一 其年十一月 广昌 江夏 太白犯填星 则孟轲所谓方寸之基 广宁 十一月 七年五月 军内有欲反者 己未 〕 执玉帛者万国 见人面 为藉田而报者也 六月 有芒角如锋刃 北河戍一名胡门 诏给奉圣亭侯孔亭四时祠孔子祭直 十六日百一十二万二千四 百二十六分半 七月甲辰 三分商去一以生 斥丘 青赤气员而小 月俱奄太白 平夷临贺郡〔吴置 桓玄篡位 各以旧文增损当世 有星孛于营室 合月法 其下贤人隐也 〕 《丧服》本文省略
高二数学常用导数公式大全
高二数学常用导数公式大全在学习数学的时候公式是一定要牢牢记住的，下面为大伙儿带来了高二数学常用导数公式大全，一起来回忆一下吧!导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a假如存在，a即为在x0处的导数，记作f '(x0)或df/dx(x0)。
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x 看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，因此处处的切线差不多上平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c= 0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.那个的推导暂且不证，因为假如依照导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一样情形。
常见函数导数
常见函数导数1. 导数的定义和意义在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
给定一个函数f(x)，在某一点x上的导数表示了该点的斜率。
导数可以用来解决很多问题，如求函数的最大值和最小值、判断函数在某一点的增减性、求曲线的切线等。
2. 常见函数导数2.1 常数函数（Constant Function）常数函数是指在定义域上恒定取某个特定值的函数。
常数函数的导数为0，因为它没有变化。
定义： f(x) = c (c为常数)导数：f’(x) = 02.2 幂函数（Power Function）幂函数是指形如f(x) = x^n (n为实数)的函数。
幂函数的导数可以通过幂规则来计算。
定义： f(x) = x^n (n为实数)导数：f’(x) = nx^(n-1)2.3 指数函数（Exponential Function）指数函数是以常数e为底的指数幂形式表示的函数。
指数函数具有特殊性质，即它自身等于它的导数。
定义： f(x) = e^x导数：f’(x) = e^x2.4 对数函数（Logarithmic Function）对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为常数。
对数函数的导数可以通过对数规则来计算。
定义： f(x) = log_a(x)导数：f’(x) = 1 / (x * ln(a))2.5 三角函数（Trigonometric Function）三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过三角函数的导数公式来计算。
定义： - 正弦函数：f(x) = sin(x) - 余弦函数：f(x) = cos(x) - 正切函数：f(x) = tan(x)导数： - 正弦函数的导数：f’(x) = cos(x) - 余弦函数的导数：f’(x) = -sin(x) - 正切函数的导数：f’(x) = sec^2(x)2.6 反三角函数（Inverse Trigonometric Function）反三角函数是指反向表示三角函数的逆运算的一类特殊函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几种常见函数的导数●教学目标 (一)教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=－sin x5.变化率(二)能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力. ●教学重点四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x .●教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y =C (C 是常数)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=C ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0xy ∆∆=0 y ′=C ′=xyx ∆∆→∆0lim=0，∴y ′=0.2.y =x n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=x n∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n=x n +1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+nn C (Δx )n －x n =1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+n nC ·(Δx )n xy ∆∆=1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+nn C ·(Δx )n －1 ∴y ′=(x n )′=xy x ∆∆→∆0lim=0lim →∆x （1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+n n C (Δx )n －1)=1C n x n －1=nx n －1 ∴y ′=nx n －13.y =x －n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：Δy =(x +Δx )－n－x －n=nn nn n n xx x x x x x x x )()(1)(1∆+∆+-=-∆+ nn nn n n n n n x x x x x x x x )()(C )(C C 22211∆+∆++∆+∆--- nn n n nn n n nxx x x x x x x y )()(C C C 12211∆+∆++∆+-=∆∆--- y ′=])()(C C C [lim lim 1221100n n n n nn n n n x x x x x x x x x x y ∆+∆++∆+-=∆∆---→∆→∆ 111C ----=⋅-=n n n n n nx xx x∴y ′=－nx －n －1※4.y =sin x ，求y ′(叫两位同学做) ［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin xxx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ∴y ′=xxx x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim00x x xx x xx x x xx xx x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin limsin cos )1(cos sin lim2200200+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=→∆→∆→∆→∆ =－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y ′=cos x［生乙］Δy =sin(x +Δx )－sin x 2sin )2cos(2x x x ∆∆+= xx x x xy∆∆∆+=∆∆2sin )2cos(2 ∴y ′=22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2limlim000x xx x xx x x x yx x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆→∆→∆→∆x x xx x x x cos 22sinlim )2cos(lim 0=∆∆∆+=→∆→∆ ∴y ′=cos x(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下). ※5.y =cos x ，求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy ′=xx x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x sin sin 01cos 21sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos limsin sin )1(cos cos lim2200200-=-⋅⋅-=⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆∴y ′=－sin x［生乙］解：xx x x x xx x x x ∆∆∆+-=∆-∆+→∆→∆2sin )2sin(2limcos )cos(lim00 x x xx x x sin 22sin )2sin(lim-=∆∆∆+-=→∆. ∴y ′=－sin x .［师］所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数) 公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈R ) 公式3 (sin x )′=cos x 公式4 (cos x )′=－sin x (二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求.(1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3－1=3x 2 (2)解：(21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下).(三)变化率举例 ［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s =s (t )，瞬时速度v =s ′(t ).［板书］物体按s =s (t )做直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s ′(t 0) v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率. ［生］例如角速度、电量等.［师］是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的涵义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T )，即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热，那么上例中，如果物质的质量是v mol ，那么比热怎么表示？［生］比热是v1Q ′(T ) J/(K ·mol)［例2］如图3—11，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度1 rad/s ，∴∠POA =1·t =t rad∴∠MPO =∠POA =t rad ∴OM =OP ·sin MPO =10·sin t ∴点M 的运动方程为y =10sin t ∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ϕ ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4 ［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5 ［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t ［生］(4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ 2.求下列函数的导数 (1)y =31x(2)y =3x (1)解：y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2)解：321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度. 解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2 当t =3时，v =3×32=27 m/s∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度.解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］这题也用到求导时系数可提出来根据［Cf (x )′］=Cf ′(x )(C 是常数). 这由极限的知识可以证得［Cf (x )′］=xx Cf x x Cf x ∆-∆+→∆)()(limxx f x x f C x ∆-∆+=→∆)()(lim=Cf ′(x )5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. 解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3. ∴y ′|x =2=4·23=32∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2) 即32x －y －48=0. Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x .以及学习了变化率的概念.v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本，P 118，习题3.2 2，4，5(二)1.预习内容：课本P 120~121和(或差)、积的导数 2.预习提纲：(1)和(或差)的导数 公式、证明过程. (2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.。