黎曼曲率张量截面曲率-中国科学技术大学
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则可看做满足一次方程（组）的数对的全体。这 样他们可用代数方法研究几何问题，他们所创立 的科目叫做坐标几何或解析几何。
解析几何的基本思想
解析几何的中心思想是将代数方程与曲线和曲面
等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对
象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到 几何结论。 我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等 概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那 些在空间等距变换中不变的量（即几何量）。对 高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。
从任一点到任一点可作直线； 直线段可不断延长；
以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆；
所有直角彼此相等； 一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角和，则两直线必相交
于该侧一点。
《几何原本》的优缺点
优点
组织严密，由简及繁； 论证严格，被数学家看成典范。
缺点
采用重合法，默认图形从一处移动到另一处所有性质保持不变，这是没有逻 辑依据的；
黎曼几何简介 几何中的典则度量
古典微分几何
古典微分几何研究三维欧氏空间中的曲线和曲面
现代微分几何则研究更一般的空间---流形
微分几何与拓扑学、分析学、偏微分方程等其它
数学分支有着紧密联系。同时对物理学的发展也
有着重要影响，例如：爱因斯坦的广义相对论就
是以微分几何中的黎曼几何为其重要数学基础，
腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象
力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属 于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。 因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来， 建立一种“真正的数学”。
代数与几何的结合
Fermat和Descartes通过建立坐标系使几何对象和
代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面
பைடு நூலகம்
点、线、面的定义没有明确的数学含义；
不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。
解析几何
在Euclid完成他的著作《几何原本》差不多2000
年后，两位欧洲数学家Fermat和Descartes又一次
对几何的发展起了巨大的推进作用。
Fermat和Descartes
在16、17世纪，代数还是一门新兴科学，几何学
平行公理的研究
平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种
说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替
平行公理，或试图用Euclid的其它公理来推导平 行公理。 非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对Eucli d平行公理的怀疑。
非欧几何
非欧几何学中两个重要人物是Gauss和Lobatchev
sky（19世纪）。
2017中科大纯粹数学前沿课程
现代微分几何之旅
报告人：张希
中国科学技术大学数学科学学院
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
黎曼几何简介 几何中的典则度量
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
黎曼几何简介 几何中的典则度量
Euclid几何
然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。
欧氏平行公理是独立的命题，可采用与之矛盾的
公理并发展全新的几何。
使人们意识到Euclid几何并非是物质空间的必然
，Einstein相对论支撑了这一观点，现代物理学
发展使人们认识到非欧几何的重要性。
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和大
于两个直角和。
单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角
形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是
Gauss曲率为负的曲面。
Lobatchevsky几何
Lobatchevsky把Euclid的平行公设改为：
过直线外一点至少可引两条直线与其平行。
Lobatchevsky 导出三角形内角和小于两直角和，
并且是变化的。
Poincare几何模型
将单位圆盘看做一个空间（非欧平面），边界上
的点看做无穷远点，圆盘内的点则作为非欧平面
点，“直线”则是与单位圆盘边界正交的圆弧。
微分几何的观点则是圆盘上
附上第一基本形式（度量）
I 1 u v
2
1
2
du
2
dv2
非欧几何的意义
非欧几何是19世纪最具有启发性的数学发现，虽
Gauss很早就意识到要证明Euclid平行公理的努
力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何
的思想，在其中Euclid几何平行公理不成立。Ga uss在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身 看做一个空间，把测地线当做曲面上的“直线”， 则几何是非Euclid的。
球面几何和双曲几何
把球面本身看做一个空间，“直线”或是测地线是
讲到几何不得不讲Euclid几何，它基于Euclid（
公元前三百年）的著作《几何原本》。书中较完
整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统 化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多 年来我们一直在学习！
几何原本
《几何原本》共十三章。
一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第
六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是
不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲立
体几何和穷竭法。 穷竭法，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积 分中极限理论的起源！
Euclid几何的公设和公理
Euclid列出五个公设和五个公理，他采用Aristotl
e对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学
的真理，而公设只应用于几何。 公设 （公理略）
非欧几何
在19世纪前，人们普遍认为Euclid几何是物理空
间和此空间中图形性质的正确理想化。Newton的
物理学理论也是建立在Euclid几何这一数学基础 之上的。几乎所有科学家都信奉Euclid几何为绝 对真理，认为物质世界是Euclid式的。 只有David Hume在《人性论》中指出科学是纯 经验性的，Euclid几何的定律未必是物理的真理 。
的思维还在数学家的头脑中占有统治地位，几何
与代数是数学中两个不同的研究领域。 Fermat代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的 研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然Fer mat在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分 中，你们肯定会学到Fermat的定理）。
Fermat和Descartes
Descartes站在方法论的自然哲学的高度，认为希
解析几何的基本思想
解析几何的中心思想是将代数方程与曲线和曲面
等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对
象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到 几何结论。 我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等 概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那 些在空间等距变换中不变的量（即几何量）。对 高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。
从任一点到任一点可作直线； 直线段可不断延长；
以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆；
所有直角彼此相等； 一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角和，则两直线必相交
于该侧一点。
《几何原本》的优缺点
优点
组织严密，由简及繁； 论证严格，被数学家看成典范。
缺点
采用重合法，默认图形从一处移动到另一处所有性质保持不变，这是没有逻 辑依据的；
黎曼几何简介 几何中的典则度量
古典微分几何
古典微分几何研究三维欧氏空间中的曲线和曲面
现代微分几何则研究更一般的空间---流形
微分几何与拓扑学、分析学、偏微分方程等其它
数学分支有着紧密联系。同时对物理学的发展也
有着重要影响，例如：爱因斯坦的广义相对论就
是以微分几何中的黎曼几何为其重要数学基础，
腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象
力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属 于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。 因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来， 建立一种“真正的数学”。
代数与几何的结合
Fermat和Descartes通过建立坐标系使几何对象和
代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面
பைடு நூலகம்
点、线、面的定义没有明确的数学含义；
不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。
解析几何
在Euclid完成他的著作《几何原本》差不多2000
年后，两位欧洲数学家Fermat和Descartes又一次
对几何的发展起了巨大的推进作用。
Fermat和Descartes
在16、17世纪，代数还是一门新兴科学，几何学
平行公理的研究
平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种
说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替
平行公理，或试图用Euclid的其它公理来推导平 行公理。 非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对Eucli d平行公理的怀疑。
非欧几何
非欧几何学中两个重要人物是Gauss和Lobatchev
sky（19世纪）。
2017中科大纯粹数学前沿课程
现代微分几何之旅
报告人：张希
中国科学技术大学数学科学学院
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
黎曼几何简介 几何中的典则度量
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
黎曼几何简介 几何中的典则度量
Euclid几何
然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。
欧氏平行公理是独立的命题，可采用与之矛盾的
公理并发展全新的几何。
使人们意识到Euclid几何并非是物质空间的必然
，Einstein相对论支撑了这一观点，现代物理学
发展使人们认识到非欧几何的重要性。
报告提纲
从欧氏几何到非欧几何
古典微分几何与现代微分几何
其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和大
于两个直角和。
单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角
形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是
Gauss曲率为负的曲面。
Lobatchevsky几何
Lobatchevsky把Euclid的平行公设改为：
过直线外一点至少可引两条直线与其平行。
Lobatchevsky 导出三角形内角和小于两直角和，
并且是变化的。
Poincare几何模型
将单位圆盘看做一个空间（非欧平面），边界上
的点看做无穷远点，圆盘内的点则作为非欧平面
点，“直线”则是与单位圆盘边界正交的圆弧。
微分几何的观点则是圆盘上
附上第一基本形式（度量）
I 1 u v
2
1
2
du
2
dv2
非欧几何的意义
非欧几何是19世纪最具有启发性的数学发现，虽
Gauss很早就意识到要证明Euclid平行公理的努
力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何
的思想，在其中Euclid几何平行公理不成立。Ga uss在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身 看做一个空间，把测地线当做曲面上的“直线”， 则几何是非Euclid的。
球面几何和双曲几何
把球面本身看做一个空间，“直线”或是测地线是
讲到几何不得不讲Euclid几何，它基于Euclid（
公元前三百年）的著作《几何原本》。书中较完
整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统 化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多 年来我们一直在学习！
几何原本
《几何原本》共十三章。
一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第
六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是
不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲立
体几何和穷竭法。 穷竭法，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积 分中极限理论的起源！
Euclid几何的公设和公理
Euclid列出五个公设和五个公理，他采用Aristotl
e对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学
的真理，而公设只应用于几何。 公设 （公理略）
非欧几何
在19世纪前，人们普遍认为Euclid几何是物理空
间和此空间中图形性质的正确理想化。Newton的
物理学理论也是建立在Euclid几何这一数学基础 之上的。几乎所有科学家都信奉Euclid几何为绝 对真理，认为物质世界是Euclid式的。 只有David Hume在《人性论》中指出科学是纯 经验性的，Euclid几何的定律未必是物理的真理 。
的思维还在数学家的头脑中占有统治地位，几何
与代数是数学中两个不同的研究领域。 Fermat代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的 研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然Fer mat在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分 中，你们肯定会学到Fermat的定理）。
Fermat和Descartes
Descartes站在方法论的自然哲学的高度，认为希