手算开方原理
手算开平方和开立方的方法
手算开平方和开立方的方法
手算开平方和开立方的方法
1) 开平方Extracting Square Root
写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。
左边加一竖线，右边加一个左括号。
从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。
然后在第一段
下边写平方数，减去此平方数。
写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作
为新被除数。
此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积
作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位
空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。
除数与商的积
写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位
两位彺下移。
如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。
X
2) 开立方 Extracting Cube Root：
原理: 从小数点起每3位分段
参考文献：F.J.CAMM : NEWNES ENGINEER'S MANUAL。
手算开平方
例题讲解
我们要开1 即1
3 8 3 8 4，首先我们要对其分位：
3’ 8 3’8 4
然后再利用已经讲解的知道对其开平方！
请注意演示过程！
例题讲解
3 7 2 1 3’8 3’8 4 9 483 469 1484 1484 0
估计第二位b值，使得 (3×20+7) ×7=469 (3×20+b) ×2=1484 (37×20+2) ×b≤483
下面请看
2006
例题讲解
(80+4)×4=336 2 0’0 6.0 0’0 0’0 0 （880+7) ×7=6209 16 （8940+8) ×8=71584 406 336 ………… 7000 对于开不尽的数，可 6209 以一直开下去，直到满足 79100 所需的几位小数为止。 71584 751600 4 4. 7
其后面再写两位。
开平方原理讲解
6 4 3 4 1’3 4’4 9 36 534 496 3849 3849 0
5、接下来验证第三位。由前 即有： 两位64，64×20=1280
(1280+b) ×b≤3849
413449 643
显然，至此已经完成开 易得b取3恰好取等号，把 平方运算。
3×1283的结果写入3849 下面请试算 下面，并相减得出余数， 其余数为0，表示可以算 138384的开平方根 出其算术平方根。
易得b=7 至此我已经开完 估计第三位b值，使得
138384 372 记为67 ×7=469 (37×20+b) ×b≤1484 现在请算 易得b=2 1658944
记为742
×2=1484
例题讲解
1 2 8 8 1’6 5’8 9’4 4 1 65 44 2189 1984 20544 20544 0 (20+2) ×2=44 (20+2)×2=44 (240+8) ×8=1984 12×20=240 (2560+8) ×8=20544 (20+3)×3=69 (240+8)×8=1984 128×20=2560
【精品】开根号手算方法
【精品】开根号手算方法一、什么是开根号手算开根号手算，又称根据号手算、平方根手算，是数学中的一种运算方式，在平时的教学实践中也是许多学生必学的基本数学技巧之一。
开根号手算，就是将给定的数字原样分成两部分，再跟数字表中的数值进行比较，找到最相近的结果，而后再精确地计算它的结果值，用某种方法运算出最终的结果也就是开根号手算。
（1）选择数字表。
要使用开根号手算，我们首先需要拿出平方根表，平方根表是把每个数字跟1到99的平方根对应起来的表格。
（2）给出的数的长度。
例如要计算的是25根，由于2代表2位数，我们可以知道这个数字由两位数组成：2和5，由于25跟25^2=625，两个数字位数相同，因此我们可以确定这个数字实际上有三位数。
（3）比较和记忆。
使用平方根表，从表中找到最接近这三位数（2，5）最接近的旁边的数，将它记忆下来。
例如本例中，可以找到sqrt（25）=5，此外，由于它大于2，5，因此将它记为5.01，以此类推。
（4）连加减运算。
以上一步的结果为基础，首先从左到右添加运算符，让每个数字等于前面的累加结果，包括给定的数字以及被比较的数字，然后进行加减运算，得到最终的结果。
以计算681的平方根为例，开根号手算将具体步骤如下：（1）查看平方根表，平方根（68）约等于8.31，因此将其记为8.31（2）由于681大于68，因此用8.31乘以1加上0.001=8.311（3）两边各乘以100，即：831.1=（8.311x100）+（0.001x100）（4）按顺序将运算符添加：（831.1-81=750.1）+100=850.1-1=849.1（5）最终结果：平方根（681）约等于26.12。
手开平方根的详细方法
手开平方根的详细方法
手开平方根的方法如下：
1. 将被开方数写成一组一组的数，从右往左每两个数字一组，
最左边一组可以只有一个数字，如果该数为奇数，则最左一组只有一
个数字。
2. 从左往右处理每一组数字，将第一组数字的平方根写在答案
的最左侧。
例如，如果第一组数字为4，那么答案的最左边数字就是2。
3. 将第一组数字减去它被平方根除后的余数。
在这种情况下，4
除以2的平方根等于2，因此4-2²=0。
4. 将第二组数字附加到答案右侧，并将答案乘以20。
例如，如
果第二组数字为56，则答案乘以20，然后加上5，使答案变为25。
5. 令x等于上一步中的答案，将x乘以x并减去第二组数字。
然后将下一组数字附加到最后，并在答案右侧附加一个占位符（0）。
6. 重复步骤5直到处理完所有数字组。
如果最后一组数字为0，则可以省略占位符并忽略其余部分。
举个例子，将196进行手开平方根：
1.首先将被开方数分组，从右往左分别是96和1。
2.将96开方，得到9，将9写在答案左边。
3.将96减去9²得到15。
4.将1附加到9右边，答案变成了90。
5.使用公式x²-第二组数字来计算下一个数字，得到（9x9）-
15=66，将6附加到答案右侧，由于还有半个数字（1），因此附加一
个零作为占位符。
6.重复步骤5，得到42和0，因此最终答案为14。
手动开平方和开立方的方法
手动开平方和开立方的方法开平方和开立方是非常常见的数学运算，主要用于求解根号及立方根问题。
下面将介绍手动开平方和开立方的方法。
1.估算：首先根据被开方数的大小，可以先大致估算出开方结果的范围。
例如，如果被开方数是个两位数，那么它的开方结果肯定在1-9之间。
2.质因数分解：然后可以对被开方数进行质因数分解，将其写成所有质因数的乘积形式。
例如，对于100的平方根，可以分解为10的平方。
质因数分解可以大大简化计算。
3.按位提取：将被开方数按位进行分组，并且从左往右每次提取两位数。
对于每一位，从1开始尝试，找到一个数x，使得x*x小于等于当前提取的数。
这个x就是该位的结果。
4.除法法：类似于手算除法的步骤，从高位往低位依次计算。
对于每一位，先将之前已经得到的结果乘以2，再在该位后面补上一个数字，使得这个数与之前的结果乘以2之后的数的乘积不大于当前被开方数的余数，然后将这个数记录下来，并且用它减去之前的乘积，得到新的余数。
不断重复这个步骤，直到所有位数都计算完毕。
5.迭代法：使用迭代法可以逐步逼近开方结果。
首先猜一个近似值，然后用被开方数除以这个猜测值得到一个新的近似值。
迭代多次后，就可以得到一个更接近开方结果的值。
手动开立方的方法:1.近似法：可以先利用近似法找到一个与被开立方数近似的数。
比如，找到一个整数x，使得x的立方小于等于被开立方数。
然后逐步增加x，直到x的立方大于被开立方数，这样就得到了一个近似值。
2.不断逼近法：可以利用不断逼近法逐步逼近开立方结果。
类似于开平方的迭代法，首先猜一个近似值，然后用被开立方数除以这个猜测值的平方，得到一个新的猜测值。
不断迭代计算，直到收敛到一个满足条件的值。
3.牛顿法：牛顿法也是一种常用的开立方方法。
它基于函数求根的思想，通过不断迭代逼近函数的根。
具体步骤是，首先猜一个近似值，然后根据牛顿法公式：x=x-f(x)/f'(x)，来更新猜测值，直到满足收敛条件。
手算开根号的计算方法
手算开根号的计算方法手算开根号是一种常见的数学计算方法，适用于在没有计算器或电脑的情况下进行开根号的计算。
下面将详细介绍手算开根号的计算方法。
一、整数开根号的计算方法对于一个整数n，我们可以通过试探法来计算其平方根。
我们从1开始尝试，不断将该数平方，直到找到一个平方结果大于或等于n 的数为止。
举个例子，我们来计算整数16的平方根：1的平方为1，小于16；2的平方为4，小于16；3的平方为9，小于16；4的平方为16，等于16。
所以，整数16的平方根为4。
二、小数开根号的计算方法对于一个小数n，我们可以通过逐位逼近的方法来计算其平方根。
具体步骤如下：1.将小数n的整数部分提取出来，假设为a。
然后将n的小数部分提取出来，假设为b。
2.先对整数部分a进行开根号的计算，得到一个整数c作为结果的整数部分。
3.将c的平方减去a，得到一个差d。
4.将b与d拼接在一起，得到一个新的小数e。
5.在e的末尾补充一个数字x，使得c的2倍与x相乘后，与e的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于e。
这个数字x就是结果的小数部分的第一位数字。
6.将c的2倍与x相乘，得到一个乘积f。
7.将f与e拼接在一起，得到一个新的小数g。
8.在g的末尾再次补充一个数字y，使得c的2倍与xy相乘后，与g的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于g。
这个数字y 就是结果的小数部分的第二位数字。
9.将c的2倍与xy相乘，得到一个乘积h。
10.将h与g拼接在一起，得到一个新的小数i。
11.重复步骤8和9，直到得到所需的精度。
举个例子，我们来计算小数5.84的平方根：整数部分为5，小数部分为0.84。
对于整数部分5，我们可以得到平方根为2。
然后，将2的平方减去5，得到差1。
小数部分为0.84，我们将2的2倍与一个数字x相乘后，与0.84的结果的最后一位数字之和最接近，但不能大于0.84。
经过计算，我们得到x为2。
将2的2倍与2相乘，得到乘积4。
手写开根号的计算方式
手写开根号的计算方式
开根号是数学中常见的运算，用来求一个数的平方根。
在手写计算中，我们可以使用一种叫做长除法的方法来计算开根号。
首先，我们需要将要开根号的数写成一个长方形的形式，然后从左到右，依次将数字分组，每两个数字一组。
我们从左到右找出最大的平方数，然后将其开根号并写在上方。
然后我们计算余数，并将下一个数字带下来与余数合并，形成一个新的被除数。
然后将上一步计算的商加到上方的根号后面，再从左到右找出最大的平方数，如此重复直到所有的数字都被处理完。
这种方法虽然比较繁琐，但在没有计算器的情况下，是一种非常实用的手算方法。
通过这种方法，我们可以求得任何一个数的平方根，而不需要借助计算器或电脑。
当然，在今天的计算机和科技发达的时代，我们更倾向于使用计算器或电脑来进行开根号的计算，但了解这种手写计算方法仍然是很有意义的，它可以帮助我们更好地理解数学运算的原理，也能够在某些特殊情况下派上用场。
关于开平方开立方的手动算法
关于开平方开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍关于开平方和开立方的手动算法。
一、开平方的手动算法：开平方是指求一个数的平方根。
手动算法可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法是指通过一系列计算逐渐逼近目标结果。
其中最常用的近似算法是牛顿-拉弗森迭代法。
该算法的基本思想是通过不断迭代来逼近目标值。
假设要求一个数x的平方根，我们可以假设一个初始值y作为近似根，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=(y+x/y)/2按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到近似的平方根。
举个例子：求根号2的近似值，假设初始值y=1，根据迭代公式计算：y=(1+2/1)/2=1.5y=(1.5+2/1.5)/2=1.4167y=(1.4167+2/1.4167)/2=1.4142最终得到的值1.4142就是根号2的近似值。
2.精确算法：精确算法是指通过数学公式或者算法直接计算得到目标结果。
最常用的精确算法是二分法和牛顿迭代法。
a. 二分法：对于给定的数x，我们可以通过二分法来求其平方根。
假设左边界为0，右边界为x，中间值为mid，根据中值定理，我们可以得到mid的平方与x的大小关系。
如果mid的平方小于x，则将左边界移动到mid，如果mid的平方大于x，则将右边界移动到mid。
不断重复这个过程，直到左右边界足够接近，即可得到精确的平方根。
b.牛顿迭代法：牛顿迭代法同样可以用来计算平方根。
假设要求一个数x的平方根，假设初始值y=1，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=0.5*(y+x/y)按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到精确的平方根。
以上就是开平方的手动算法，无论是近似算法还是精确算法，都可以用来计算一个数的平方根。
二、开立方的手动算法：开立方是指求一个数的立方根。
手动算法同样可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法可以通过类似的迭代方法来逼近目标结果。
徒手开根号的原理
徒手开根号的原理嘿，你有没有想过，在没有计算器的情况下，居然还能徒手开根号？这听起来是不是有点像魔法？今天我就来给你好好讲讲这背后的原理，可有趣着呢！咱先从简单的数说起。
比如说4，大家都知道它的平方根是2。
那我们怎么徒手算出来呢？其实这就像是一场找朋友的游戏。
对于4来说，我们要找两个相同的数相乘等于它。
2乘以2正好是4，所以2就是4的平方根。
这就好比你有一双鞋子，左右脚的鞋子是一样的，这两只一样的鞋子就像是两个相同的数，它们组合在一起就构成了4这个整体。
再来看9，3乘以3等于9，那3就是9的平方根。
这时候你可能会想，这都是简单的数，一眼就能看出来，那要是大一点的数呢？比如说25，那也简单呀，5乘以5等于25嘛。
这就像在一个小盒子里找东西，东西不多，很快就能找到匹配的。
但是，如果是169呢？这时候就不能一下子看出来了。
这就好比进入了一个大仓库，东西太多，得有个方法来找。
我们可以先猜猜看，10乘以10是100，13乘以13呢？我们可以这样算，13的平方等于(10 + 3)的平方。
根据公式(a + b)² = a²+ 2ab + b²，这里a = 10，b = 3。
那么10²是100，2乘以10乘以3是60，3²是9，100+60 + 9正好是169。
所以13就是169的平方根。
咱们再想象一下，你和你的小伙伴一起玩这个找平方根的游戏。
你说169这个数，你的小伙伴可能一开始有点懵。
你就可以像我刚刚那样给他讲解，“你看啊，我们把13想成10和3的组合，然后按照那个公式去算，就像搭积木一样，一块一块的拼起来，最后就能得到169啦。
”那如果是更复杂的数呢？比如说529。
我们还是先猜猜看，20乘以20是400，30乘以30是900，那这个数的平方根肯定是20多。
我们再试着算23的平方，同样按照(a + b)² = a²+ 2ab + b²这个公式，a = 20，b = 3。
手工开根号原理及其步骤
开根号原理：这里以1156为例，1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a ＋a^2，所以1156-302＝2×30a＋a^2，即256=(3×20+a)a，这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156＝34^2，上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根。
开根号步骤：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，分成几段，表示所求平方根是几位数，小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数)；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．下面再举两个例子：。
手动开平方原理
手动开平方原理
手动开平方是一种古老的数学方法，用于求一个数字的平方根。
这种
方法需要一些计算和推理能力，但它可以帮助我们更好地理解数学中
的重要概念和理论。
手动开平方的原理是基于平方的定义。
平方是将一个数字乘以自己得
到的结果。
例如，数字4的平方是16，因为4乘以4等于16。
同样，数字9的平方是81，因为9乘以9等于81。
因此，我们可以使用相反的操作来找到数字的平方根。
平方根是将一
个数字除以自己得到的结果。
例如，数字16的平方根是4，因为16
除以4等于4。
同样，数字81的平方根是9，因为81除以9等于9。
手动开平方的步骤可以概括为以下几个步骤：
1. 将数字分成一对数，其中第一个数的平方小于或等于要求的数字，
而第二个数的平方大于或等于要求的数字。
2. 使用这对数字的平均值作为一个新的猜测值。
3. 将猜测值的平方与要求的数字进行比较，如果两个数字相等，则已
经找到了平方根，否则需要继续进行下一步。
4. 如果猜测值的平方大于要求的数字，则将新的一对数字设置为第一
个数字和猜测值之间的数字。
5. 如果猜测值的平方小于要求的数字，则将新的一对数字设置为猜测值和第二个数字之间的数字。
6. 使用新的一对数字重复步骤2到5，直到找到平方根为止。
手动开平方需要一些计算能力和耐心。
但是，它可以帮助我们更好地理解数学中的重要概念和理论。
通过手动计算平方根，我们可以更好地了解数字的属性和相互之间的关系，从而获得更深入的数学知识。
手开根号原理
手开根号原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠手开根号这神奇的事儿。
你说这开根号啊，就好像是在数字的丛林里探险。
咱平时算个加减乘除那都挺顺溜的，可一遇到根号，哎呀，就有点犯迷糊了。
但别怕呀，咱一步步来。
你想想看，根号就像是一个神秘的盒子，咱得想办法把里面的宝贝给弄出来。
那怎么弄呢？这就得有点小技巧啦。
比如说，咱要开根号 9。
嘿，这多简单呀，咱都知道 3 的平方是 9，那根号 9 不就是 3 嘛！可要是遇到个不那么整的数呢？比如说根号 10。
这时候咱就得动点小脑筋了。
咱可以先猜一个数，比如说 3。
那 3 的平方是 9，比 10 小一点，那咱再猜个大一点的，3.5 吧。
3.5 的平方算出来是 12.25，又大了点。
这就像在黑暗中摸索，一点点靠近那个正确的答案。
这过程不就跟咱找东西似的嘛，东找找西找找，慢慢就找到了。
然后咱再根据算出来的结果调整猜测的数，越来越接近那个真正的根号值。
你说这多有意思呀！就好像在玩一个解谜游戏。
每次猜完都特别期待结果，万一猜对了，那得多有成就感呀！要是没猜对，也没关系呀，咱再来一次。
其实生活中很多事情不也是这样嘛，一开始不知道该咋整，就一点点摸索。
可能会走点弯路，但最后总能找到办法。
手开根号不就是这样嘛，虽然有点麻烦，但咱能从中学到好多东西呢。
咱再想想，要是没有手开根号这本事，那遇到一些问题可就难办咯。
就好比你要分个东西，不知道该怎么平均分，那多头疼呀。
但咱会手开根号，就能把这些问题都解决得妥妥当当的。
所以呀，可别小瞧了这手开根号的原理。
它就像一把钥匙，能打开好多数字的秘密之门呢！咱得好好琢磨琢磨，把这本事学好，以后遇到啥数字难题都不怕啦！这手开根号呀，真的是既好玩又实用，大家说是不是呀！。
手工开方的技巧
手工开方的技巧手工开方是指通过手工计算的方法来求一个数的开方值。
在计算中，我们常用的方法是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种通过逐次逼近根的方法，其算法如下：1. 首先，我们先猜测一个近似解x0；2. 然后，我们通过迭代公式来得到下一个近似解x1 = (x0 + a/x0)/2；3. 我们重复第二步，直到我们得到一个足够接近真实解的近似解。
下面我们以求根号2的近似值为例来介绍手工开方的技巧。
首先，我们需要猜测一个近似解x0，通常可以猜测为1。
然后，我们通过迭代公式来计算下一个近似解。
首先，我们计算出x1 = (x0 + 2/x0)/2，即x1 = (1 + 2/1)/2 = 1.5。
然后，我们继续计算x2 = (x1 + 2/x1)/2 = (1.5 + 2/1.5)/2 = 1.4167。
我们可以继续迭代计算下去，直到我们得到一个足够精确的近似解。
通过迭代计算，我们可以得到以下结果：x1 = 1.5x2 = 1.4167x3 = 1.41422x4 = 1.41421x5 = 1.41421根号2的近似值为1.41421。
我们可以将这个值与计算器得到的精确值进行比较，发现它们十分接近。
除了牛顿迭代法，还有其他一些方法可以用于手工开方计算，如二分法和试位法。
二分法是一种通过将区间逐渐缩小来得到根的方法。
我们可以选择一个适当的区间，然后计算区间的中点。
然后根据中点的特殊性来判断根可能在区间的哪一半。
这样，我们逐渐缩小区间，直到得到一个足够精确的近似值。
试位法是一种通过逐次试探来逼近根的方法。
我们可以选择一个适当的起始点，然后计算函数在该点的值。
然后根据函数值的正负性来判断根可能在的区间。
接着，我们选择区间的一半，并再次计算函数值。
我们不断重复这个过程，直到得到一个足够精确的近似值。
总结来说，手工开方的技巧主要包括牛顿迭代法、二分法和试位法。
这些方法可以帮助我们通过手工计算来得到一个数的近似开方值。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行手工开方，以满足精度和效率的要求。
任意数开方
所谓手开方就是不借用计算器，直接用手算进行开方运算。
是这样的：从小数点开始，向两边每隔两位隔开一组，然后从最高数位组开始计算，以平方估计，余数连同下一组一同托下，将上面的估商乘以20 比如商是35 则用35 乘以20 得700 然后把700看成
70X 再用70X 乘以X 所得之积与剩余的书比较（X是不断试出来得）一直计算下去。
（下边例子中？前边的一个数字为估算的）
比如开方55225。
2？3？5?
|---------
2？|5，52，25
4
----
（十位为2*20）4 3？|1，52
|1 29 注红色即代表那个20
-------
(十位为23*20）46 5？| 23，25 天蓝色既是那个X 具体到这道题得数值
| 23 25
----------
所以55225开方为235。
关键一20 的用法及作用
二从小数点开始，向两边每隔两位隔开一组
其实算那种XXXXXX5 (既是算以五结尾得数得平方) 技巧如下
用R 代表除五以外的数字则R 乘以（R +1）得一个数（这里用S 代表）则结果为S 加25 （这里的加是这种意思例如34加15 得
3415 既是把两个数字拼凑起来）。
手算开方原理范文
手算开方原理范文开方原理是求解平方根的方法之一，它可以用于无法直接求解的平方根问题。
手算开方原理是指利用手工计算的方法，逐步逼近平方根的过程。
在手算开方原理中，常用的方法有平均值法、二分法和牛顿法。
平均值法是手算开方原理中比较简单的方法之一、它的基本思路是，假设初始的近似平方根为x，然后计算x与被开方数的平方的差值d。
再将这个差值除以2倍的x，得到一个较新的近似值x'。
不断重复以上步骤，直至得到一个较为满足条件的近似平方根为止。
例如，对于被开方数n，我们假设初始近似平方根为x，迭代计算的过程如下：1.计算d=x^2-n2.计算x'=(x+(n/x))/23.若x'与x的差值小于所需精度，则x'为近似平方根通过不断迭代以上过程，最终可以得到一个较为准确的近似平方根。
二分法是另一种常用的手算开方原理。
它的基本思路是，通过比较整数的平方与被开方数的大小关系，逐步逼近平方根。
假设被开方数为n，我们可以首先确定一个初始的整数范围[l,r]，其中l为下界，r为上界。
然后在这个整数范围内，计算中间值m=(l+r)/2，即l与r的平均值。
随后，将m的平方与n进行比较：1.若m^2>n，则说明平方根在[l,m]范围内，更新上界r=m；2.若m^2<n，则说明平方根在[m,r]范围内，更新下界l=m；3.若m^2=n，则m为平方根。
通过不断缩小整数范围，最终可以得到一个较为准确的近似平方根。
牛顿法是一种迭代逼近的方法，也可以用于手算开方原理。
牛顿法的基本思路是，从一个初始估计值x出发，通过不断迭代求解函数f(x)=x^2-n的零点。
这一过程可以通过下面的迭代公式进行：1.x'=x-f(x)/f'(x)2.若，x'-x，小于所需精度，则x'为近似平方根其中，f'(x)是f(x)的导数。
对于函数f(x)=x^2-n，它的导数为f'(x)=2x。
手开方公式的推导
手开方公式的推导今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。
以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。
手开方过程类似于除法计算。
为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。
以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。
Step2：从高位开始计算开方。
例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。
于是将2写在根号上方，计算开方余项。
即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。
即本步除数是4x(四十几)。
按照要求，本步的商必须是x。
因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。
Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。
其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。
例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。
本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。
2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。
简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。
任意正整数均可表示成。
手动开平方的计算方法
手动开平方的计算方法手动开平方可分为以下几种计算方法：一、利用类比法求平方：这种方法是根据反复数学课本上所学的“X的平方等于两个等比数的乘积”的乘法公式，根据乘积的大小，来求X的平方数。
可以用这种方法帮助求出有规律的数的平方根。
具体操作步骤如下：1.试着将平方数分解成最小数或者等比数。
2.根据被开方数的大小，一步步试着变换“两个等比数的乘积”，从中找出合适的结果，来求出平方根。
二、利用算术竖式计算：这种方法是把平方数写在一行横线上，然后从低位到高位去直接拆分并求平方根，最后加以结合即可得到结果。
主要的步骤有三种：1.根据平方数的最后一位，先确定只有一位的平方数的估计位，多至少为5；2.然后按照竖式计算步骤，一位一位求出相应位数的开平方结果，数位大于三位的，需要先拆分成小于以及等于三位的；3.最后将个位到高位求出的各个结果加以结合，即可求出该平方数的平方根。
三、折半法计算：折半法是根据“X的平方等于两个等比数的乘积”的乘法公式，根据一开始设定的平方根的范围和猜测的值，来调整猜测的值，一步步收敛出结果的。
具体操作方法如下：1.先判断被开方数的大小，根据你要求的精度，确定其平方根的大致范围；2.假设左右猜测的值，如62处，将62以正负5以此来作为猜测的值；3.计算出猜测的值的乘积，来和被开的方数进行比较，同时看看是否满足精度的要求，如果猜测的值的乘积大于被开方数，则说明此时所猜测的值有点大了，反之则可以猜测有点小了；4.根据3步骤中所得到的结果，来调整猜测的值，再次求猜测值的乘积，如果还是和被开方数有差距，则再次调整猜测的值，这样反复调整，直至得到满足精度要求的结果，则认为已经求出了被开方数的平方根。
以上三种手动开平方的计算方法都可以求出平方根，在实际的计算中，只需要按照一种即可求出满意的结果。
浅谈手动开方原理
课例研究新教师教学一、《九章算术》《九章算术》是我国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，其出现标志着我国古代数学完整体系的形成。
《九章算术》中（少广章，第十二题）提到这样一个问题：今有积五万五千二百二十五步。
问为方几何？其意思即：一个数的平方为55225，求这个数。
再换句话说，就是求55225的平方根①。
为了解决这个问题，《九章算术》中给出了如下算法：开方术曰：置积为实。
借一算。
步之。
超一等。
议所得。
以一乘所借一算为法。
而以除。
除己。
倍法为定法。
其复除。
折法而下。
复置借复步之如初。
以复议一乘之。
所得副。
以加定法。
以除。
以所得副从定法。
复除折下如前。
若开之不尽者为不可开，当以面命之。
其实有分者，通分内子为定实。
乃开之，讫，开其母报除。
若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。
在此以55225为例，对此算法进行说明：1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段用撇号分开分成数段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准；5’52’252.根据左边第一段的数（5），求得平方根的最高位上的数（2）；2…………………………（平方根）3.第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数；5’52’2541’52………………………（第一个余数）4.把第2步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商；（152为被除数，平方根乘以20为除数得到商及相关余数）相关余数……（3为试商）5.用第2步求得的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。
若所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第2位数；若所得积大于余数，则减小试商再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数；（即3为平方根的第二位）（2×20+3）×3=129……（用第2步求得的最高位数（即已得的平方根，此处为2）的20倍加上试商（此处为3）再乘以试商）比较1’52（余数）与1’29（比较数）大小，若比较数小于等于余数，则试商有效，否则试商减1再比较。
开立方根手算法
开立方根手算法
开立方根手算法是一种常见的数学算法,可以用来计算一个数的立方根。
这个算法使用了一种简单的方法来计算立方根,可以在不需要使用特殊计算工具的情况下,通过手工计算来得到结果。
开立方根手算法的基本思想是利用数学中的立方根定义来计算一个数的立方根。
具体来说,设需要计算的数为a,则其立方根被定义为满足b的立方等于a的数b。
在这种情况下,我们可以通过手动计算来寻找满足条件的数b,也可以使用计算工具来查找b的值。
在实际应用中,开立方根手算法可以用于许多不同的情况。
例如,可以用来计算根号2的值,也可以用来计算一些其他数的立方根,如0、-1、2等。
这些算法都非常实用,可以帮助人们解决很多问题。
开立方根手算法虽然非常简单,但其应用价值却非常高。
不仅可以帮助人们解决许多实际问题,还可以启发人们的思维,让他们更好地理解数学。
此外,这种算法也有其独特的魅力,可以让人体验到数学的奥妙和魅力。
开立方根手算法是一种重要的数学算法,可以帮助人们轻松地计算出很多数的立方根。
它的应用价值非常高,不仅可以解决许多实际问题,还可以启发人们的思维,让他们更好地理解数学。
手推开方公式的推导
手推开方公式的推导为了推导开方公式，我们首先从一般的二次方程开始。
一个二次方程可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的常数，且a ≠ 0。
我们的目标是找到解x，即二次方程的根。
一种方法是使用配方法，即通过将该二次方程转化为完全平方来解决。
这个过程涉及到将方程的常数项拆分为两个平方数的和，然后将其中一个平方数移至另一侧，以便通过平方根消除平方项。
这个过程可以表示为：ax^2 + bx + c = a(x^2 + (b/a)x) + c = a(x + b/(2a))^2 + (c - b^2/(4a))。
通过以上步骤，我们可以将二次方程转化为完全平方，并且原始二次方程等价于新的形式。
接下来，我们想找到使新方程等于零的解。
为了做到这一点，我们需要满足以下条件：a(x+b/(2a))^2+(c-b^2/(4a))=0。
我们可以通过转换方程来进一步简化这个表达式。
首先，我们将两侧的常数项移至一侧，得到：a(x+b/(2a))^2=b^2/(4a)-c。
我们可以通过两边同时除以a来消除常数项的系数，得到：(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)。
现在，我们需要消除平方的系数。
为了实现这一点，我们可以取方程的平方根，得到：x + b/(2a) = ± √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
通过将b/(2a)移动到另一侧，我们可以获得二次方程的解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
这就是二次方程的解，也就是常见的根公式。
现在，我们考虑特殊情况，即当二次方程的判别式等于零时。
判别式定义为Δ = b^2 - 4ac。
当Δ等于零时，我们有一个重根。
在这种情况下，根公式可以简化为：x=-b/(2a)。
这就是重根的特殊情况。
现在，我们来推导开方公式。
开方公式是根据一般二次方程的解推导而来的。
我们从根公式开始，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。