双曲线历年高考真题100题 解析版

双曲线历年高考真题

一、单选题

1．（2015·天津高考真题（文））已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐

近线与圆()2

223x y -+=相切,则双曲线的方程为（ ）

A ．22

1913

x y -=

B ．22

1139x y -=

C ．2

213x y -=

D ．2

2

13

y x -=

【答案】D 【解析】

试题分析：依题意有

222

{3

b

a

c c a b ===+

，解得1,a b ==2

2

13

y x -=.

考点：双曲线的概念与性质．

2．（2014·全国高考真题（文））已知双曲线的离心率为2，则

A ．2

B ．

C ．

D ．1

【答案】D 【解析】

试题分析：由离心率e =c

a 可得:e 2=a 2

+3

a

2=22，解得：a =1．

考点：复数的运算

3．（2014·全国高考真题（理））已知为双曲线

:

的一个焦点，则点

到

的一

条渐近线的距离为（ ） A ．

B ．3

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为x 2

3m −

y 23

=1．则c 2=3m +3，c =√3m +3，设一个焦点

F(√3m +3,0)，一条渐近线l 的方程为y =√3

√3m

=

√m

，即x −√my =0，所以焦点F 到渐近线l 的距离为

d =

√3m+3√m+1

=√3，选A ．

【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．

4．（2014·山东高考真题（理））已知

，椭圆1C 的方程为

，双曲线2C 的方程为

22

221x y a b

-=，1C 与2C 的离心率之积为，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

2

=

，所以，b a =，双曲线的渐近线方

程为

y x =，即0x ±=，选A. 考点：椭圆、双曲线的几何性质.

5．（2014·重庆高考真题（理））设

分别为双曲线

的左、右焦点，双曲线上

存在一点使得

则该双曲线的离心率为

A ．

B ．

C ．

D ．3

【答案】B 【解析】

试题分析：因为P 是双曲线

x 2a 2

−y 2

b 2=1(a >0,b >0)上一点，

所以||PF 1|−|PF 2||=2a ，又|PF 1|+|PF 2|=3b

所以，(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|−|PF 2|)2=9b 2−4a 2，所以4|PF 1|⋅|PF 2|=9b 2−4a 2 又因为|PF 1|⋅|PF 2|=9

4ab ，所以有，9ab =9b 2−4a 2，即9(b

a )2−9(b

a )−4=0 解得：b

a =−1

3（舍去），或b

a =4

3；

所以e 2=c 2a 2=

a 2+

b 2a 2

=1+(b a )2=1+(43)2=

259

，所以e =5

3

故选B.

考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.

6．（2008·福建高考真题（文））双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一

点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1,3) B ．(]

1,3

C ．(3,+∞)

D ．[

)3,+∞ 【答案】B 【详解】

可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a 与c 的关系．

7．（2008·全国高考真题（文））设ABC 是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 由题意

,所以

，由双曲线的定义，有

，∴

．

8．（2008·全国高考真题（理））设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2

(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是（ ）

A ．(√2，2)

B ．(√2，√5)

C ．(2，5)

D ．(2，√5)

【答案】B 【详解】

由题意得，双曲线的离心率e 2=(c

a

)2=

a 2+(a+1)2

a 2

=1+(1+1

a

)2，

因为1

a 是减函数，所以当a >1时，0<1

a <1，所以2

本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1

a 的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.

9．（2009·湖北高考真题（文））已知双曲线（b ＞0）的焦点，则b=

（） A ．3 B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为(1=.即b 2=3故b=

故C.

10．（2009·全国高考真题（文））双曲线的渐近线与圆相切，则

（ ）

A ．

B ．2

C ．3

D ．6

【答案】A 【解析】

试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出r 的值．

22

163x y -=的渐近线方程是y =，20y ±=，又圆心是(3,0)，所以由点到直线的距离公

式可得r =

A ．