第三章 位姿描述和齐次变换.

和
都是正交矩阵，因此满足
由
与
互逆，可得
若把
写成行向量的形式
，则其中 满足六个约束条件
每一个元素都是一个列向量。容易得出 （称正交条件）：
旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋 转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。
因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转 矩阵：
xA yA zA
其中：cos cos(xB , x A ) 既表示了刚体FБайду номын сангаас{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中
的姿态。
3.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图所示，坐标系{B}与 {A}方向相同，但原点不重合。
坐标平移
此式称为平移方程。其中
是B系中的原点在A系中的表示。
二、坐标旋转
本课程使用右手坐标系。
（b）左手坐标系
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图所示。
令b=i （i为b方向上的单位矢量），则
标量积
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢 量方向上单位矢量的点积。 再令a=j （j 为a方向上的单位矢量），则
即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。
原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢
量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，
b，c的值。 解：
xB xE yE zE
zB zE xE yB xB yE
zB
(1,2,2)
zE xE yB
(1)
yB
zB
(2)
xB yE
(3) a=0，b=1，c=0
三、一般变换
PBO
10 5 0
A B A 最后得： P B R P PBO
A
9.098 12 . 562 0
3.3 齐次坐标与齐次变换
复合变换式 可以表示成等价的齐次变换式。
A A P B R 1 0
第三章 位姿描述和齐次变换
3.1 相关知识回顾
一、行列式和矩阵 1. 行列式按照行（或列）展开法则：行列式等于它的任意一行 （或列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
2.行矩阵
3.列矩阵
4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。
5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所 有的元素都为0的方阵。
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
6.矩阵的运算 （1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。
（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。
（3）矩阵与矩阵相乘：
（4） 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为
7. 矩阵的逆（逆矩阵）
8. 分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。
9. 正交矩阵：如果 如果
，则A为正交矩阵。它满足： 是正交矩阵，则
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是
一个数。
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点o处两 两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡 儿坐标系。 若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向 oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的 坐标系称左手坐标系。
斜角坐标系
（a）右手坐标系
一般的情况：坐标系{B}的原点既不与{A}重合，方位也不相同。
{C}系与｛Ｂ｝系原点重合， 但方位不同，所以得
{C}系与｛A｝系原点不重合， 但方位相同，所以得 和
A
A PCO PBO
进而有
例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴 转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的yA轴移动5个单 位。求位置矢量 解： 和旋转矩阵 。若 ,求 。
z' θ z y' θ y
x θ x’
x’ x y z y’ z’ x y x’ y’ z’ x y z
z' θ z
z z'
y' y
x θ x’
x’ y’
y' θ y
x x’
z’
z
例3.1 若从基坐标系
矩阵为
({B})到手爪坐标系
({E})的旋转变换
。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的
四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）
其中矢量c的模为:
叉乘积
其中θ是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c 转θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如上图所示），c与a、b 两者垂直。 若a和b用分量的形式表示为: 则
a和b的点乘为：
将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：
3.2 位姿描述与坐标变换
3.2.1 刚体位置姿态（位姿）描述
a) 位置的描述
采用直角坐标描述点的位置，因此，刚体F的位置描述，即 OB点在{A}中描述可用一个3×1的列矢量 （位置矢量）表示，即
其中Px、Py和Pz是点OB在{A}系中的三个坐标分量。
b) 姿态（方位）的描述 采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位） ，即由{B}系的三个 单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成： xB yB zB
zB zA yB OB OA xA 30ox
B
zA zB OA yA OB 30o
30o
yB
yA
(10,5,0)
xA 30o xB
所以有：
cos300 A 0 0 R R ( z , 30 ) sin 30 B 0
A
sin 300 cos300 0
0 0.866 0.5 0 0 0.5 0.866 0 1 0 1 0
坐标旋转
如图所示，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令
和
分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P 在两
坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：
和
所以有 利用点乘的性质和上式共同求解得
将
代入上面三式中并写成矩阵形式得
上式简写为：
此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵 表示了坐标系{B}相
对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得
A B PBO P 1 1
A
A B A P B R P PBO
11
简写成 综合地表示了平移和旋转变换。
3.3.1 齐次坐标
一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次 坐标表示法。
在三维直角坐标系中，一个点可以表示 为
次坐标就是
，它的齐