证明具有6个顶点12条边的连通平面简单图.

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011001[离散数学(1)] 天津大学考试题库及答案

离散数学（1）复习题一、单项选择题1、下列命题正确的是（ A ）。

A. φ⋂{φ}=φB. φ⋃{φ}=φC. {a}∈{a，b，c}D. φ∈{a，b，c}2、设集合｛1 2 3 4 ｝，A上的关系R=｛（1 1）（2 3）（2 4）（3 4）｝则R具有（ B ）。

A. 自反性B. 传递性C. 对称性D. 以上答案都不对3、设Z是整数集，函数f定义为：Z Z→, f(x)=|x|-2x,则f是（ A ）。

A. 单射B. 满射C. 双射D. 非单射也非满射4、设R为实数集，定义R上4个二元运算，不满足结合律的是（ B ）。

A. f1(x,y)= x+y B. f2(x,y)=x-yC. f3(x,y)=xy D. f4(x,y)=max{x,y}5、设(A,≤) 是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ B ）。

A. 每个元素都有一个补元B. 每个元素至少有一个补元C. 每个元素都无补元D. 每个元素都有多个补元6、图G和'G的结点和边分别存在一一对应关系是G和'G同构的（ B ）。

A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、集合上A的等价关系R，其等价类集合{ [a] 天津大学考试题库及答案R| a∈A }称为（ C ）。

A. A与R的并集，记作A Y RB. A与R的交集，记作A I RC. A关于R的商集，记作A/RD. A与R的差集，记作A—R8、设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目是（ C ）。

A. 2B. 3C. 4D. 59、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ C ）。

A. 析取范式B. 合取范式C. 主析取范式D. 以上答案都不对10、设谓词():Q x x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为P x x是人，():（ D ）。

A. (()())⌝∃→⌝x P x Q x ∀∧ B. (()())x P x Q xC. (()())⌝∃∧⌝x P x Q x ⌝∃∧ D. (()())x P x Q x11、设 |A|=m，|B|=n，则 |ρ(A×B) | 等于（ C ）。

离散数学题库

常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列表达式正确的有( )（A）（B）（C）（D）2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。

（A）（B）（C）（D）3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y A}，则R 的性质为( )（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上定义如下运算：有称为的积代数，则的积代数幺元是( )（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )6.设为无向图，，则G一定是( )（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。

命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。

（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）8.在有n个结点的连通图中,其边数（）（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条9.设A－B＝,则有（）（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）（A）5 （B）7 （C）3 （D）6二、填空题（每题2分，共20分）1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。

2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。

3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。

4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。

第四部分图论练习题答案

《离散数学》第四部分---图论练习题答案一、选择或填空1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。

(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4) 连通图答：(4)2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )(1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}答：（2）3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。

答：所有结点一次且恰好一次4、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。

答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数5、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定答：16、n阶无向完全图K n 的边数是( )，每个结点的度数是( )。

答：2)1(nn, n-17、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。

8、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。

答：所有边一次且恰好一次9、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。

答：2n-210、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。

(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}答：(1)11、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。

答：n(n-1),2n-212、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。

答：它是连通图13、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。

答：（3）14、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。

答：215、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。

《离散数学》练习题和参考答案

《离散数学》练习题和参考答案《离散数学》练习题和参考答案⼀、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪⼏个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，⾃由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )北京是中华⼈民共和国的⾸都。

(2) 陕西师⼤是⼀座⼯⼚。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三⾓形有4条边。

(5) 前进！(6) 给我⼀杯⽔吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在⼀些⼈是⼤学⽣”的否定是( )，⽽命题“所有的⼈都是要死的”的否定是( )。

答：所有⼈都不是⼤学⽣，有些⼈不会死7、设P：我⽣病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在⽣病时，我才不去学校 (2) 若我⽣病，则我不去学校(3) 当且仅当我⽣病时，我才不去学校(4) 若我不⽣病，则我⼀定去学校答：（1）PQ→（2）QP?→（3）QP?（4）QP→8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任⼀整数x存在整数 y满⾜x+y=0（2）存在整数y对任⼀整数x满⾜x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) ⾃然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成⽴答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

图论证明题

1：什么是欧拉路？如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出？给定无孤立点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；如果一个图有欧拉路，则这个图能一笔画出。

2：什么是汉密尔顿图？请找出一个无向图具有汉密尔顿路的充分条件。

给定图G，若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作汉密尔顿回路，如果一个图有汉密尔顿回路，则这个图是汉密尔顿图。

一个无向图具有汉密尔顿路的充分条件：设G具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点的度数之和大于等于n-1，则在G 中存在一条汉密尔顿路。

3：什么是图的正常着色？简述韦尔奇·鲍威尔法(Welch Powell)对图进行着色的方法。

图G的正常着色(或简称为着色)是指对它的每一个结点指定一种颜色，使得没有两个相邻的结点有同一种颜色。

韦尔奇·鲍威尔法(Welch Powell)对图进行着色的方法：⑴将图G的结点按照度数的递减次序进行排列。

(这种排列可能并不是唯一的，因为有些点有相同的度数)。

⑵用第一种颜色对第一点进行着色，并且按排列次序，对前面着色点不邻接的每一点着上同样的颜色。

⑶用第二种颜色对尚未着色的点重复⑵，用第三种颜色继续这种做法，直到所有的点全部着上色为止。

4：什么是平面图？平面图的一个重要性质是欧拉定理，请写出欧拉定理。

设G＝〈V，E〉是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画在平面上，且使任何两条边除了端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。

平面图有一个重要性质是欧拉定理：设有一个连通平面图G，共有v个结点e条边r块面，则欧拉公式 v-e+r＝2 成立。

5：请给出树的至少5个等价的定义。

（每个1分，写对5个以上给满分，）给定树T，以下关于树的定义是等价的：⑴无回路的连通图；⑵无回路且e=v-1，其中e为边数，v为结点数；⑶连通且e=v-1；⑷无回路且增加一条新边，得到一个且仅一个回路；⑸连通且删去任何一个边后不连通；⑹每一对结点之间有一条且仅一条路。

离散数学复习资料

1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。

2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。

(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。

6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。

(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。

(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。

9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。

《离散数学》试题带答案

《离散数学》试题带答案一、填空 20% （每小题2分）1、 P ：你努力，Q ：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。

2、论域D={1，2}，指定谓词P则公式x ∃∀真值为。

2、设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是。

3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R=（列举法）。

R 的关系矩阵M R =。

5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。

6、设代数系统<A ，*>，其中A={a ，b ，c},则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性。

群或群。

8、下面偏序格是分配格的是。

9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为，欧拉图的充要条件是。

10、公式R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨)(())((的根树表示为。

二、选择 20% （每小题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A ．)()(Q P Q P ∨→∧；B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔；C ．Q Q P ∧→⌝)(；D ．)(Q P P ∨→。

2、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。

A ．0；B ．1；C ．2；D ．3 。

3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S2 有（）个元素。

A ．3；B ．6；C ．7；D ．8 。

4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上的等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产生的S S ⨯上一个划分共有（）个分块。

离散数学单项选择题习题(有答案)集

单项选择题第一章第二章1. 下列表达式正确的有( )A. Q Q P ⇒ → ⌝ ) (B.P Q P ⇒∨ C .P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()( D.T Q P P ⇔→→)(2. 下列推理步骤错在( )①))()((x G x F x →∀P ②)()(y G y F →US① ③)(x xF ∃P ④)(y FES③ ⑤)(y GT②④I ⑥)(x xG ∃ EG⑤A.②B.④C.⑤D.⑥3. 设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。

A.R Q P ∧→B.S P R ∧→C.R Q S ∧→D.)()(S Q R P ∧∨∧4. 下列公式中哪些是永真式？( )A.(┐P ∧Q )→(Q→⌝R)B.P→(Q→Q)C.(P ∧Q)→PD.P→(P ∧Q)5. 下列等价关系正确的是( )A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ B .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃C.Q x xP Q x P x →∀⇔→∀)())((D.Q x xP Q x P x →∃⇔→∃)())((6. 下列推导错在( )①)(y x y x >∃∀P ②)(y z y >∃US① ③z z >ES② ④)(x x x >∀ UG③A.②B. ④ C . ③ D.无7. 若公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式为111110011001m m m m ∨∨∨则它的主合取范式为( )A.111110011001m m m m ∧∧∧B.101100010000M M M M ∧∧∧ ；C.111110011001M M M M ∧∧∧D.101100010000m m m m ∧∧∧ 。

8. 在下述公式中不是重言式为( )A ．)()(Q P Q P ∨→∧B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔C ．Q Q P ∧→⌝)(D ．)(Q P P ∨→9. 下列各式中哪个不成立( )A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀B.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃C .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀ D.Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((10.命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化（P(x)：x 是聪明的，M(x)：x 是人）( )A.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧→∃B.)))()((())()((x P x M x x P x M x ∧∀⌝∧∧∃C.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧∧∃D.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∨∧∃11.下述命题公式中，是重言式的为( )A.)()(q p q p ∨→∧B.q p ∨))()((p q q p →∨→⇔C.q q p ∧→⌝)(D.q q p →⌝∧)(12.谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的x 是( )A.自由变元B.约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.既不是自由变元又不是约束变元13.命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( )设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢yA. ))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∃B.))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∀C. ))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∀D.))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃14.下列等价式成立的有( )A.Q P Q P ⌝→⌝⇔→B.R R P P ⇔∧∨)(C.Q Q P P ⇔→∧)(D.R Q P R Q P →∧⇔→→)()(15.给定公式)()(x xP x xP ∀→∃，当D={a,b}时，解释( )使该公式真值为0。

《离散数学》2011试题及答案

而用长为3的等长码字传输需要30000个二进制数字。
解答：用Huffman算法求频率（乘以100）为权的最优2元树，其中w1=5，w2=5，w3=10，w4=10，w5=15，w6=20，w7=35；最优2元树如图所示：
故，可采取如下编码：A---11 B---01 C---101 D---100 E---001
F---0001 G---0000
传输100个按比例出现的7个字母所需二进制数字的个数为w(T)=255个，故传输10000个所用二进制数字的个数为25500个。
1.求命题公式：(PQ)(QP)的主析取范式和主合取范式。
答案：用等值演算法、真值表法均可，根据解题过程及答案正确与否酌情给分。
主吸取范式为：(PQ)(PQ)(PQ)=(0,2,3)
主合取范式为：PQ
2.设A={a,b,c,d}，1、2、3是A上的划分，1={{a,b},{c,d}}，2={{a},{b},{c},{d}}，3={{a,b,c,d}}，试求：
⑩x(F(x)R(x)G(x)) T，⑨，EG
(2)设7个字母在通信中出现的频率如下：
A：35% B：20% C：15% D：10%
E：10% F：5% G：5%
采用2元前缀码，求传输数字最少的2元码（即最小前缀码），并求传输10000个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用长为3的等长码字传输需要多少个二进制数字？
答案：QP
2.对命题公式：P（QR）PQ化为仅含和的等价表达式。
答案：（PQ）
3.设S(x)：x是火车，L(x)：x是卡车，F(x,y)：x比y快。在谓词逻辑中符号化命题“所有火车都比所有卡车快”。
答案： x(S(x)→y(L(y) ∧F（x , y）)

第七章-图的基本概念答案

第七章图的基本概念一、单项选择题1. 设V ＝{a,b,c,d},与V 能构成强连通图的边集E ＝(A ) (A) {<a,b>,<a,c>,<d,a>,<b,d>,<c,d>} (B) {<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}(C) {<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>} (D) {<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>} 2. n 阶无向完全图K n 中的边数为（ A ）(A)2)1(-n n (B) 2)1(+n n (C) n (D)n(n+1) 3. 给定无向图G 图5－1所示，下面给出的顶点集子集中，不是点割集的为（A ） (A) {b,d} (B) {d} (C) {a,c} (D) {g,e} 4. 下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( B ) (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)5. 图中从v 1到v 3长度为3 的通路有（4）条。

A ． 0；B ． 1；C ． 2；D ． 3。

v 1到v 3长度为3 的通路: V 1V 3V 1V 3 ; V 1V 1V 1V 3 ; V 1V 4V 1V 3 ; V 1V 1V 4V 3 ; 6．给定无向图>=<E V G ,，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。

A 、},,,{4341><><v v v v ；B 、},,,{6451><><v v v v ；C 、},,,{8474><><v v v v ；D 、},,,{3221><><v v v v。

【免费阅读】2016电子科技大学_图论期末考试复习题

2015电子科技大学图论考试复习题关于图论中的图，以下叙述不正确的是A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。

B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。

C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。

D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。

一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。

下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ．B ．C ．D ．有10条边的5顶单图必与K 5同构。

完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2C ．n (n -1)D ．n (n -1)/2若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有条边。

对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。

有15个顶的单图的边数最多是 A ．105B ．210C ．21D ．45图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路B ．是G 中的一条道路但不是行迹C ．是G 中的一条行迹但不是轨道D ．不是G 的一条道路图G 如右，则befcdefA ．是G 的一个圈B ．是G 的一条道路但不是行迹C ．是G 的一条行迹但不是轨道D ．是G 的一条轨道但不是圈v367图G如右图所示，则ω (G)=A．1 B．2C．7 D．8下列图形中与其补图同构的是A．B．C．D．求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。

u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1，v5v6=4，v5v7=3，v6v7=6，请画出6阶3正则图。

请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。

设图G={V(G)，E(G)}其中V={a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。

8图论习题

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(2).一棵树T有两个结点度数为2,一个结点度数为3,三个结点度数为4,问它有多少个度数为1的结点? 解:设有n1个度数为1的结点, 又令T有v个结点,e条边.于是 v= n1+2+1+3= n1+6 T的所有结点度数总和=n1+2×2+1×3+3×4=n1+19=2e 因e=v-1 ∴ n1+19=2(n1+6-1) ∴ n1=9 (6).给定图G如图所示,用Kruskal算法,求G的一棵最小生成树. 3 2 2 1 9 2 8 7 1 4 1 3 3 5 6 2 2 1 3 4 10 2 2
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b)证明6个人的人群中,或者有3个人相互认识,或者有3个人彼此陌生. 证明:以6个人为结点画一个K6图,如果两个相互认识就把相应边涂上红色,如果彼此陌生就涂上蓝色. 由a)的结论得必有三个人它们构成的三角形的三条边要么都涂上红色, 要么都涂上蓝色. P327(3)一棵树T有n2个结点度数为2,n3个结点度数为3,… nk个结点度数为k,问它有多少个度数为1的结点? 解:设有n1个度数为1的结点, 又令T有v个结点,e条边.于是 v= n1+n2+…+nk T的所有结点度数总和= n1+2n2+…+knk=2e 因e=v-1 ∴ n1+2n2+…+knk=2(n1+n2+…+nk -1) ∴ n1= n3+2n4+…+(k-2)nk+2
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P337(1)从简单有向图的邻接矩阵如何判定它是否为根树?如果是根树,如何判定树根和树叶. 011000 000110 解:先看个例子: v1 A= 000001 v2 v3 000000 000000 v4 v5 v6 000000

离散数学复习资料试卷习题与答案

离散数学复习资料试卷习题与答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。

证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。

# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。

证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。

若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。

故原命题成立。

#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。

解：设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。

2020年中国石油大学网络教育070106离散数学-20考试试题及参考答案

《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1．“你去图书馆吗？”是一个命题。

2．如果有限集合A有n个元素，则其幂集p(A)有2n个元素。

3．群中可以有零元。

4．“中国有四大发明”是一个命题。

5．无向图G是欧拉图，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇度数结点。

6．含有幺元的半群为独异点。

7．每个图中，边数等于结点度数总和两倍。

二、基本题1. 将下列命题符号化：（1）4是偶数和合数。

（2）如果天不下雨，王荣就去图书馆。

（3）所有人都是要死的。

2. 求命题公式P∧(P→Q)的主合取范式。

3. 举出A={a,b,c}上的二元关系R和S满足：（1）R是自反的、对称的；（2）S是对称的、传递的。

4. 二元运算a*b=a+b-1在实数集R上是否满足交换律和结合律?5. 将下列命题符号化：（1）如果张三和李四都不去，她就去。

（2）今天要么是晴天，要么是雨天。

（3）每一个有理数都是实数。

6. 求命题公式⌝(P→Q)的主析取范式。

7. 举出A={a,b,c}上的二元关系R和S满足：（1）R既不是自反的又不是反自反的；（2）S既不是对称的又不是反对称的。

8. 设集合为A ={1，2，3，12,18}，其上的偏序关系为整除，试列出相应的关系并画出哈斯图。

9. 将下列命题符号化。

（1）如果你不走，我就留下。

（2）我们不能边看电视边看报。

（3）没有一个女同志既是国家选手又是家庭妇女。

10. 求命题公式P→Q的主析取范式。

11. 举出A={a,b,c}上的二元关系R和S满足：（1）R是自反的、传递的；（2）S是反自反的、传递的。

12. 二元运算a*b=a+b-ab在实数集R上是否满足交换律和结合律?13. 将下列命题符号化：（1）我学英语，或者学法语。

（2）如果天气好，那么去散步。

（3）并非每个实数都是有理数。

14. 求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。

15. 举出A={a,b,c}上的二元关系R和S满足：（1）R是自反的、传递的；（2）S是反自反的、传递的。

自考离散数学教材课后题第五章答案

5.1习题参考答案1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。

阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。

阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。

若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。

若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。

由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。

3、证明：简单图的最大度小于结点数。

阮同学认为题中应指定是无向简单图.晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。

阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。

所以结论成立。

5、试证明下图中两个图不同构。

晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。

我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。

6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。

解：如下图所示： (晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。

证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。

离散证明及解答题

1. G=<V, E> (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k 3）条边围成的连通平面图，则，由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图.证：①设G 有r 个面，则，即。

而故即得。

②彼得森图为，这样不成立，2.如下图所示的赋权图表示某七个城市及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

解：用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。

算法略。

结果如图：≥2)2(--≤k v k e rkF d e r i i ≥=∑=1)(2k e r 2≤2=+-r e v k e e v r e v 22+-≤+-=2)2(--≤k v k e 10,15,5===v e k 2)2(--≤k v k e 721,,,v v v树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。

3.若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。

证明：设G 中两奇数度结点分别为u 和v ，若 u ，v 不连通，则G 至少有两个连通分支G 1、G 2 ，使得u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u ，v 一定连通.4.设G 是具有n 个结点的无向简单图，其边数，则G 是Hamilton 图（8分）证明：证G 中任何两结点之和不小于n 。

反证法：若存在两结点u ，v 不相邻且,令，则G-V 1是具有n-2个结点的简单图，它的边数,可得，这与G 1=G-V 1为n-2个结点为简单图的题设矛盾，因而G 中任何两个相邻的结点度数和不少于n 。

所以G 为Hamilton 图.5.证明在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面的面数都是3。

证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8由图论基本定理知：，而，所以必有，即每个面用3条边围成。