虚位移原理

图示系统中主动力作用点C、D、B的虚位移大小的 比值为（ ③ ）。
① 1：1：1 ② 1：1：2 ③ 1：2：2 ④ 1：2：1
L
L
C
O
A
P
D
Q
B
F
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虚位移原理
[思考] 图示平面机构，CD连线铅直，杆BC = BD。在图
示瞬时，角ϕ = 30°，杆AB水平，则该瞬时点A和点C的
虚位移大小之间的关系为
约束的分类 z 单侧约束和双侧约束
约束方程为不等式 约束方程为等式
刚杆
x2 + y2 = l2
软绳
x2 + y2 ≤ l2
8
虚位移原理
约束的分类 z 完整约束和非完整约束
几何约束或可积 分的运动约束
不可积分 的运动约束
如：车轮作纯滚动
x&A − rϕ& = 0
积分得： xA −rϕ =C
故仍为完整约束。
9
虚位移原理
约束的分类 z 几何约束和运动约束 z 定常约束和非定常约束 z 单侧约束和双侧约束 z 完整约束和非完整约束
注意：本课程主要研究完整、定常、双侧约束。
fk (r1, r2,L, rn ) = 0 (k = 1,2,Ls)
n——质点系的质点数 s——质点系所受约束数
10
虚位移原理
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = b 2
自由度： N = 2×2−2 = 2
广义坐标： ϕ ，ψ
x1 = a sinϕ , y1 = a cosϕ
x2 = a sinϕ + b sinψ , y2 = a cosϕ + b cosψ
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虚位移原理
一般地，设有由 n个质点组成的质点系，具有 N 个 自由度，取 q1、q2、……、qN 为广义坐标，则质点系内 各质点的坐标及位矢可表为广义坐标的函数。
如：平面单摆
l
x2 + y2 = l2
约束方程
3
虚位移原理
如：曲柄连杆机构
xA2
+
y
2 A
=
r2
yB =0
(xB −xA)2 +(yB − yA)2 =l2
4
虚位移原理
约束的分类 z 几何约束和运动约束
限制质点或质点系 在空间的几何位置
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虚位移原理
约束的分类 z 几何约束和运动约束
限制质点或质点系 在空间的几何位置
由δϕ 的任意性，得 P = Q tan ϕ
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虚位移原理
[思考] 图示曲柄连杆机构中，曲柄AB上作用有力偶M， 滑块C上作用有力F，曲柄AB与连杆BC的长度均为L，不
计所有的重力和摩擦。若θ = 30°时机构处于平衡，试求
此时M与F间的关系。
B M
A
θ
C
F
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虚位移原理
[例14-3] 已知弹簧k ，原长l0 ，AB=BC=l ，FP ，杆重和
虚位移原理
理 论 力 学 (I) 第十四章
虚位移原理
（分析静力学）
2013年3月26日
1
虚位移原理
具体内容：
§14-1 分析力学的基本概念 §14-2 虚位移原理
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虚位移原理
§14-1 分析力学的基本概念
一、约束及其分类 约束定义的扩展 约束：限制质点或质点系位置或速度的条件。
fk (r1, r2,L, rn, r&1, r&2,L, r&n,t) = 0 (k = 1,2,Ls)
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系。 确定虚位移关系的方法：
几何法 ——由几何关系直接写出虚位移之间的关系。
虚速度法 ——由速度关系确定相应虚位移间的关系。
由运动学知： d r = v ⋅ d t
即质点的位移与速度成正比。
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虚位移原理
[例14-1 ] 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的 虚位移（已知 OC = BC = a， OA = l ） 。
实现的任何无限小位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 通常用
变分符号δ 表示虚位移。
M
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虚位移原理
虚位移与实位移的比较：
虚位移 约束许可 无限小 实际未发生 不需经历时间 方向有两组或多组
实位移 约束许可 无限小或有限值 实际发生 需要经历时间 方向唯一
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虚位移原理
注意：● 定常约束下，微小实位移是虚位移之一。 非定常约束下，微小实位移不是虚位移之一。
给出图示虚位移。
− P1 ⋅ δ r1 + RB ⋅ δ rB − P2 ⋅ δ rC − m ⋅ δθ = 0
RB
=
P1
δ r1 δ rB
+
P2
δ rC δ rB
+
m
δθ
δ rB
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虚位移原理
RB
=
P1
δ r1 δ rB
+
P2
δ rC δ rB
+m
δθ
δ rB
δ r1 = 1 δ rB 2 δ rC = 11 δ rB 8
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虚位移原理
解法2：虚速度法
δ rC = vC = a δ rA vA l δ rC = vC = PC δ rB vB PB
= a =1
2a sinϕ 2sinϕ
δ rC = a δ ϕ , δ rA = l δ ϕ , δ rB = 2a sin ϕ δ ϕ
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虚位移原理
[思考] 第三届全国大学生力学竞赛试题
[FP sinθ − 2k(2l sinθ −l0)cosθ]δθ = 0A FP sinθ − 2k(2l sinθ −l0)cosθ = 0
yB
θθ
FP
F´ F
C
Cx
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虚位移原理
[例14-4] 图示多 跨静定梁，求支座 B处的约束力。
解：将支座 B 除去， 代入相应约束力 RB， 并计入主动力。
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虚位移原理
§14-2 虚位移原理
一、虚位移原理 具有定常、双侧、理想约束的质点系，其平衡的
充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何 虚位移上所作的虚功之和等于零。
解析式：
∑ Fi ⋅ δ ri = 0
∑ ( Fxi δ xi + Fyi δ yi + Fzi δ zi ) = 0
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虚位移原理
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。
广义坐标可以取线位移（如 x, y, z, s 等），也可以
取角位移（如α , β, γ, ϕ 等）。
广义坐标的选择不是唯一的。
完整约束： 广义坐标数 = 自由度 13
虚位移原理
如：曲柄连杆机构中
xA2 + yA2 = r2 yB = 0
(xB −xA)2 +(yB − yA)2 =l2
● δ 是变分符号，但在本课程中，变分运算与 微分运算类似。
δr1 δr2
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虚位移原理
虚功 ——力F 在质点发生的虚位移 δr上所作的功。
记为
δW = F ⋅δ r
= Fx δ x + Fy δ y + Fz δ z
理想约束
如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作的 虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。
（2）再对ϕ 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上投影
δ xC = −a sin ϕ ⋅ δϕ , δ yC = a cos ϕ ⋅ δϕ δ xA = −l sin ϕ ⋅ δϕ , δ y A = l cos ϕ ⋅ δϕ δ xB = −2a sin ϕ ⋅ δϕ , δ yB = 0
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虚位移原理
二、自由度与广义坐标
自由度
一个自由质点在空间的位置：( x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) 3n个 对一个由 n 个质点组成的非自由质点系，若受 s 个 完整约束，则独立坐标为 ( 3n-s )个。
确定一个受完整约束质点系的位置所需的独立坐标 的数目，称为该质点系的自由度。
二、虚位移原理的应用 1. 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2. 求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3. 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力； 4. 求平衡的内力。
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虚位移原理
[例14-2] 椭圆规机构 已知：连杆AB长 l，杆重和滑道摩擦不计，铰链光滑。
求：图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。
∑ ∑ δWN = FN i ⋅ δ ri = 0
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虚位移原理
理想约束
∑ ∑ δWN = FNi ⋅ δ ri = 0
z 约束力不作功
¾ 光滑固定面和滚动支座 ¾ 光滑铰链支座、向心轴承及固定端 ¾ 沿固定面的纯滚动
z 约束力作功之和等于零 ¾ 刚性二力杆 ¾ 联结两个刚体的光滑铰链 ¾ 沿运动面的纯滚动
δ θ = δ rG ⋅ 1 = δ rE ⋅ 1 = δ rC ⋅ 1 = 1 × 11 = 11
δ rB 4 δ rB 6 δ rB 12 δ rB 12 8 96
RB
=
1 2
P1
+
11 8
P2
+
11 96
m
思考：若还需求D处的约束力，该如何求？
+
∂yi ∂q2
⋅ δ q2
+L+
∂yi ∂qN
⋅ δ qN
(i =1,2,Ln)
δ
zi
=
∂zi ∂q1
⋅ δ q1
+
∂zi ∂q2
⋅ δ q2
+L+
∂zi ∂qN
⋅ δ qN
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虚位移原理
解法3：解析法
（1）先将C、A、B三点坐标的 表示成广义坐标ϕ 的函数
xC = a cosϕ , yC = a sinϕ xA = l cosϕ , yA = l sinϕ xB = 2a cosϕ , yB = 0
解：一个自由度系统。
取杆OA与x 轴夹角ϕ 为
广义坐标。
解法1：几何法
δ rC = a δ rA l
δ rC = cosϕ = 1 δ rB sin 2ϕ 2sin ϕ
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虚位移原理
δ rC = a δ rA l δ rC = 1
δ rB 2sin ϕ
则各点虚位移为
δ rC = a δ ϕ δ rA = l δ ϕ δ rB = 2a sin ϕ δ ϕ
。
δ rA =
3 2
δ
rC
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虚位移原理
解析法
将各质点的坐标表示为广义坐标的函数，
当广义坐标分别有变分δq1，δq2，…，δqN 时，
则各质点虚位移δri 在直角坐标上的投影为
δ
xi
=
∂xi ∂q1
⋅ δ q1
+
∂xi ∂q2
⋅ δ q2
+L+
∂xi ∂qN
⋅ δ qN
δ
yi
=
∂yi ∂q1
⋅ δ q1
⎧ ⎪ ⎨
x y
i i
= =
xi (q1 , q2 ,L , q N ) yi (q1 , q2 ,L , q N )
⎪⎩ zi = zi (q1 , q2 ,L , q N )
ri = ri ( q1 , q 2 ,L , q N )
(i = 1,2,L , n ) 16
虚位移原理
三、虚位移与虚功 虚位移 ——在某瞬时，质点系在约束许可的条件下，可能
摩擦不计。 求：平衡的θ 。
B
解：考虑整个系统 什么系统？
θθ
非理想约束系统→理想约束系统
FP
F = F ′ = k (2l sin θ − l0 )
A
− FP ⋅ δ yB − F ⋅ δ xC = 0
yB = l cosθ δ yB = −l sin θ δθ xC = 2l sinθ δ xC = 2l cosθ δθ
N = 3n − s （平面：N = 2n − s ）
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虚位移原理
如：曲柄连杆机构
xA2 + yA2 = r2
yB =0
(xB −xA)2 +(yB − yA)2 =l2
N = 2×2−3=1
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
虚位移原理
广义坐标
N = 3n − s
通常，n 与 s 很大而 N 很小。为了确定质点系的位 置，用适当选择的 N 个参数（相互独立），要比用3n个 直角坐标和 s 个约束方程方便得多。
如：车轮作纯滚动
vA − rω = 0 或： x&A − rϕ& = 0
限制质点或质点 系的运动情况
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虚位移原理
约束的分类 z 定常约束和非定常约束
约束方程中 不显含时间
约束方程 显含时间
l
初始摆长 l0 匀速v 拉绳
x2 + y2 = l2
x 2 + y 2 = (l0 − vt ) 2
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虚位移原理
虚速度法？
由δrA 的任意性，得
P = Q tan ϕ
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虚位移原理
解法2：解析法
取ϕ 为广义坐标。
由虚位移原理，列方程：
− P⋅δ yA −Q⋅δ xB = 0
x B = l cos ϕ y A = l sin ϕ
δ xB = −l sin ϕ δ ϕ δ y A = l cos ϕ δ ϕ
(− P cos ϕ + Q sin ϕ )l δ ϕ = 0
解：整个系统的约束为完整、定常、双侧、理想的。 32
虚位移原理
解法1：几何法 设虚位移：δ rA δ rB
由虚位移原理，得方程：
P ⋅ δ rA − Q ⋅ δ rB = 0
因杆AB为刚性杆，有
δ rA ⋅ sin ϕ = δ rB ⋅ cosϕ
( P − Q tan ϕ ) ⋅ δ rA = 0
N = 2×2−3=1
可取曲柄OA的转角ϕ 为广义坐标，则：
xA = r cosϕ , yA = r sinϕ
xB = r cosϕ + l 2 − r2 sin2 ϕ , yB = 0
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虚位移原理
如：双摆，设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 )
x12 + y12 = a 2