2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”21.数学方法：函数与方程思想

【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌

握系列》21.数学方法：函数与方程思想

1．（2013.厦门联考）二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax

2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是

( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝

0，a ＝－b ，－b 2a ＝12

，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C

2．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )．

A ．2x ＋y ＋1＝0

B ．2x －y －5＝0

C ．2x －y －1＝0

D ．2x －y ＋5＝0

解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.

答案 D

3．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一

点，且满足：xAB →＋yAD →＋PA →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33

|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为

( )． A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1

B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1

C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1

D ．x 2＋4y 2

＋2xy ＝1 解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得

AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝ 3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，

∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP →＝(m ，

n )，则由xAB →＋yAD →＋PA →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧ m ＝x ＋y ，n ＝3y .

据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1.

答案 D

4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x

－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；

②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，

则m 的取值范围是________．

解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函

数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )

≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，

如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如

果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，

问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点

小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－m ＋3，2m <－4，－m ＋3<1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，－m ＋3<2m ，2m <1，－m ＋3<－4，解第一个不等式组得－4

二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．

答案 (－4，－2)