大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
大学物理简明教程习题解答9
第12章 量子物理学12-1 氦氖激光器发射波长632.8nm 的激光。
若激光器的功率为1.0mW ，试求每秒钟所发射的光子数。
解 一个光子的能量λνhch E ==，激光器功率P 数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数1/s 1018.315⨯===hcP E P N λ 12-2 某种材料的逸出功为3.00eV ，试计算能使这种材料发射光电子的入射光的最大波长。
解 光子的能量λhcE =，要使这种材料发射光电子，入射光子的能量不能小于逸出功W ，即有W hcE ==min λ解得入射光的最大波长为nm 4141014.470=⨯==-Whcλ 12-3 从铝中移去一个电子需要能量4.20eV 。
用波长为200nm 的光投射到铝表面上，求：（1）由此发射出来的最快光电子和最慢光电子的动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长。
解 （1）根据爱因斯坦光电效应方程 W E h km +=ν 最快光电子的动能W hc W h m E -=-==λν2m max k 21v eV 2.02J 1023.319=⨯=-最慢光电子逸出铝表面后不再有多余的动能，故0min k =E（2）因最快光电子反抗遏止电场力所做的功应等于光电子最大初动能，即max k E eU a =， 故遏止电势差V 02.2maxk ==eE U a （3）波长为红限波长λ0的光子，具有恰好能激发光电子的能量，由λ0与逸出功的关系W hc=0λ得铝的红限波长nm 296m 1096.270=⨯==-Whcλ 12-4 在一个光电效应实验中测得，能够使钾发射电子的红限波长为562.0nm 。
（1）求钾的逸出功；（2）若用波长为250.0nm 的紫外光照射钾金属表面，求发射出的电子的最大初动能。
解 （1）波长为红限波长λ0的光子具有恰能激发光电子的能量，即光子能量等于逸出功 由W hc =0λ，得钾的逸出功 eV 2.21J 1054.3190=⨯==-λhc W（2）根据光电效应方程 W E ch+=km λ光电子的最大初动能为W hc W h m E -=-==λν2m km 21v eV 76.2J 1042.419=⨯=-12-5 当用锂制成的发射极来做光电效应实验时，得到下列遏止电势差波长λ(nm) 433.9 404.7 365.0 312.5 253.5 遏止电势差U a (V) 0.550 0.730 1.09 1.67 2.57（1）试用上述数据在坐标纸上作U a ~ν图线； （2）利用图线求出金属锂的光电效应红限波长；（3）从这些数据求普朗克常数。
势阱中的粒子
由此解得最大值得位置为 例如
n = 1, N = 0 n = 2 , N = 0 , 1,
最大值位置 最大值位置
x= Hale Waihona Puke a 23 x= 1a,4a 4
n = 3 , N = 0 ,1, 2 , 最大值位置
3 x = 1 a , 6 a, 5 a, 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数 相等 相等。 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
T=
ψ3 (a)
A
2
2
≈e
−2 a 2m(U0 −E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
三、谐振子
谐振子的势能为
薛定谔方程为
1 2 1 2 2 U = kx = mω x 2 2 2 d ψ 2m 1 2 2 + 2 (E − mω x )ψ = 0 2 dx h 2
例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置。 位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x ) dx
0 U(x) = ∞
0< x <a
x ≤ 0, x ≥ a
∞
∞
o
a
x
dU(x) 保守力与势能之间的关系： 保守力与势能之间的关系： F = − dx 在势阱边界处，粒子要受到无限大、 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 表明粒子不能越出势阱, 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为 薛定谔方程为： 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
无限深势阱中粒子的态密度
２π
ｄφ
０
π
ｓｉｎ
０
θ
ｄθ ＝
４πＶｐ２ ｄｐ ｈ３
关系式 ε＝ ｐ２ 得到三维自由粒子的能量态密度为 ２ｍ
（ ） （ ） Ｄ
ε
＝ ｄｎ ＝ ２πＬ３ ｄε ｈ３
２ｍ
ε ３ ／ ２ １ ／ ２
（３）
同理可求一维和二维自由粒子可能的状态数分
别是：
（ ） ( ) 一维 ２Ｌ ｍ １／２
Ｄε＝
ｈ ２ε
则可以得出在体积 Ｖ ＝Ｌ３ 内，自由粒子的量子态
数关系为 ( ) ，采用动量 Ｌ ３ ｄｎ ＝ ｄｎｘ ｄｎｙ ｄｎｚ ＝ ２π ｄｐｘ ｄｐｙ ｄｐｚ
空间的极坐标形式得到动量大小在 ｐ 到 ｐ＋ｄｐ 的范围 内（动量方向为任意），自由粒子可能状态数为：ｄｎ ＝
∫ ∫ （） ，再由动量与能量 Ｖ ｐ２ｄｐ
ｎ′＝ １ ２
（２）
２
从上两式可以看出，其作为统计基础的波长式
（１）和式（２）并不相同．那么以式（２）作为统计基础
的 结 果 将 会 如 何 呢 ？ 本 文 将 分 别 以 式 （１ ）和 式 （２ ）
为基础推导有限体积中的粒子能量态密度，并通过
对比分析两者之间的异同．
１ 基于动量分立值的统计
考虑粒子处于一个边长为 Ｌ 的正方体容器中，
作者简介：周科（ — １９９７ ），男，四川乐山人，宜春学院物理科学与工程技术学院 ２０１６ 级本科生．
通信作者：李琛， ：
Ｅｍａｉｌ ｌｉｃｈｅｎ＠ ｊｘｙｃｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
５４
大 学 物 理
第 ３９ 卷
分布也存 在 一 些 争 议 ［４－８］． 而 解 一 维 无 限 深 势 阱 中 的薛定谔方程自然得到能量 ε 的本征值 ： ［２，３］
一维无限深势阱
答案：对
题号：60822005 分值：2 分 难度系数等级：2 级
微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零
答案：对
3．填空题
题号：60834001 分值：2 分 难度系数等级：4 级
一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 n (x)
在 x＝0 到 x a 之间被找到的概率
3
sin 2 x d x 1 x (1/ 4) sin 2x C )
。
2 sin nx 。则粒子处于第一激发态 aa
2 sin nx 。则粒子处于基态时各处 aa
2 nx sin 。则粒子处于基态时，在
aa
4．计算题：
题号：60844001 分值：10 分 难度系数等级：4 级
已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
(x) 2 / a sin(x / a) (0 ≤x ≤a)
求发现粒子的概率为最大的位置．
解答及评分标准：
先求粒子的位置概率密度
(x) 2 (2 / a) sin 2 (x / a) (2 / 2a)[1 cos(2x / a)]
当 cos(2x / a) 1时，
在 0≤x≤a 范围内可得
∴
(x) 2 有最大值．
2x / a
在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。
答案：错
题号：60821004 分值：2 分 难度系数等级：1 级
在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并术3试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
大学物理 12.6 一维势场中的粒子剖析
把特解代入，得关于R、A、B、S的四个代数 方程。解出S，可近似地求出穿透系数：
T T0 e
2a 2 m(U 0 E )
量子隧道效应的应用： 隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，… （1）原子核的 衰变
238
U
35MeV 库仑势能
U
234
Th + He
4
E 4.25MeV
空腔内壁的分子可以看成带电简谐振子，在 一定温度下这些简谐振子所发射的各种频率的 能量子，在空腔内就形成了辐射场。 简谐振子是一个十分有用的振动模型，可用 于原子核中质子和中子的振动、分子中原子的振 动、固体晶格点阵上原子的振动。固体晶格点阵 上原子振动的能量就可以用能量子来描述，这时 的能量子称为声子。
在状态(x,0)上测量能量，能测到的值为
1 5 1 E 0 h , E 2 2 h h 2 2 2
测到E0的概率：1/3；测到E2的概率：2/3；它 们分别等于展开式中相应展开系数的模方。
1 2 11 测量值的平均值： E E0 E 2 h 3 3 6
1 一维简谐振子的势能函数： U ( x) m 2 x 2 2
1 1 En n h n , n 0,1,2, 2 2
零点能：h/2; 能量子：h
可以证明，在光照下带电简谐振子的跃迁只 能发生在相邻能级之间，即一次跃迁只能发射 或吸收一个能量子。
通过隧道效应射出
对不同的核，算出的衰 变概率和实验一致。
0 R
4.25MeV
r
核力势能
（2）扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986年诺贝尔物理学奖： 毕宁（G.Binning） 罗尔（Rohrer） 发明STM
一维无限深势阱
19.8 一维无限深势阱
(x) 2 sin n π x , (0 x a)
aa
波动方程
d 2
dx 2
8
π2 mE h2
0
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
19.8 一维无限深势阱
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
aa
能量
En
n2
h2 8ma2
讨论：
19.8 一维无限深势阱
(1) 粒子能量量子化
Ep
能
量
En
n2
h2 8ma2
o ax
基态 能量
E1
h2 8ma 2
,
(n 1)
激发态能量
En
n2
h2 8ma 2
n2E1,
(n 2,3,)
一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的 .
19.8 一维无限深势阱
19.8 一维无限深势阱
粒子势能 Ep满足条件
Ep
Ep
0, 0 x a Ep , x 0,x a
o ax
(1)是固体物理金属中自由电子的简化 模型；
(2)数学运算简单,量子力学的基本概念、 原理在其中以简洁的形式表示出来 .
Ep , x 0, x a
(2) 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同
波函数
(x) 2 sin nπ x
aa
概率密度
(x) 2 2 sin2 ( nπ x)
aa
例如,当 n =1时,粒子在 x = a /2处出现的 概率最大
第二章一维势场中的粒子
定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找 到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何 解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。
证：如果 (x)是实解,就可以将其归为实解集合。 如果 ( x )是复解 ，( x )* 是方程（1）的实 解，
且：( x ) ( x ) *( x ) 和 ( x ) i( ( x ) * ( x )) 也是 方程（1）的解，属于能量E，且均为实解。 ( x ) 和 ( x )* 均可以表示为( x ) 和 ( x )的线形叠加。
A' 2 a
ψn
(
x
)
2 sin( nπ x ), 0 x a;
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้,
x 0, x a
其中n 为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。
一维方势阱波函数图象
对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：
1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为边界点上波函数 连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一 般地说，束缚态所属的能级是分立的。
一维问题的一般性质
定理1：设( x )是方程（1）的一个解，对 应的能量本征值是E，则 ( x )* 也是方程的 一个解，对应的能量也是E。
证：方程（1）取复共轭，注意E取实值， U( x )* U( x ) ，容易证明。
如果对应于能量的某个本征值E，方程（1） 的解无简并（即只有一个解），则解为实解。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
x 2Y x , t 2
2 p xY x , t
算符(operator) —— 对波函数的运算、变换或操作。
例如
Y x，t ：算符 代表对波函数关于 t 求导； t t Y x，t ：算符 代表对波函数关于 x 求导； x x
ˆ ˆ xY x，t xY x，t ：算符 x 代表用 x 乘波函数；
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
一粒子在一维无限深势阱中动量在基态平均值
一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。
一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。
二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。
基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。
具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。
基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。
动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。
三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。
基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。
从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。
由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。
四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。
以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。
这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
10
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)
2 2 最低能量 E1 2m a2 0 经典粒子，可以有 E 0
局域化越强，即 a 越小，则 E1 越大。 En 非均匀分布 2 2
En En 1 En 2ma
2
(2n 1)
n ( x)
正交性和完备性
* m n dx mn 0 a
15
三、 一维谐振子(1)
1、能量本征方程
简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时 粒子的势能可以表示为 V ( x) Kx 2 2 例如，双原子分子中两原子之间的势能
V ( x) V0 K ( x a)2 2
V 二、态叠加原理（2）
粒子在势阱中可能的态和能量为
2 n x 2 2 2 sin( ), 0 x a; n n ( x) a n 1, 2,3, , a E En 2 2 m a 0, x 0, x a.
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中 的某一状态，而是以某种概率处于其中的某 一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些 分立状态的叠加，即 ( x) cn n ( x)
d2 2m 1 2 ( x) 2 ( Kx E ) ( x) 0 2 dx 2
0
a
x
1 E /( x m ， 令 K m， 2 )
d 2 2 得到 ( ) 0 2 d
16
三、一维谐振子(2)
2、能量本征方程的解
, 有 当 时， 其解 ~ e / 2 ( ) Ae u( ) 能量本征方程的解可表示为 u ( ) 为待求函数，代入能量本征方程，有 其中，
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
，
马尔科夫显示处形状在单维无限深势阱内粒子的动量分布经历严格拟合，这种
情况中粒子主要由1个或2个谱线构成，由于不同参数选择，可以得出不同时间尺度上粒子扩散情况，比如过冷状态下的低和高温梯度；另外，模拟单维无限深势阱内粒子的动量概率分布，也可以获得动量的散射函数。
模拟常数的参数可以使用拉格朗日分布函数方程以及离散散射函数这两种方式，它们使得计算可以进行，但从通常意义上，第一种方法更方便。
在这两种方法中，有可能会得到不同的散射函数和概率分布，这可以使用数值方法进行估计。
另外，研究表明，当动量深度势阱的单维半宽小于某一阈值时，动量分布可以
用高斯函数拟合，使粒子近似地分布在固定的状态下。
而当半宽大于阈值时，动量概率的分布便不会改变，可以看出，半宽对粒子的分布影响比较大，因为可以用半宽来调节动量分布。
另一方面，根据实验结果，在动量深度势阱内，动量概率分布与拉格朗日标准分布函数的偏度具有正相关性。
总之，单维无限深势阱内粒子的动量概率分布是一个复杂的问题，表征困难度
较高。
它的实验和数值模拟的过程均相当复杂，并且与参数调节有关，其计算过程也很复杂。
不过，通过所有的模拟实验可以探究单维无限深势阱内粒子的动量分布。
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
物理-粒子在一维无限深方势阱中的运动
a
2a
x
a 3
处的几率密度:
(x a ) 2 1 cos 0
3 a2
例2 在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
f (x) 1 sin x 1 sin 2 x
aaa a
问(1)每次可能测到的值和相应概率？ (2)能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
m
a
xsin n
a
xdx
1 a
a 0
cos
m a
n
xdx
a 0
cos
m a
n
xdx
0
若mn
a
*
m
(
x)
m
(
x)dx
1
0
可一般的证明,任意Hamiltonian算子属于不同本征值的
本征函数都是正交的。
4、粒子的物质波在阱中形成驻波
k n ,n 1,2,
a
定态波函数: n (x)
2 sin n x
2 2
2ma 2
n2,
n 1,2,3,
质子基态能量:
E1
2 2
2m pa2
3.31013(J )
第一激发态能量:
E2
2 2
2m pa2
22
4E1
E2 E1 9.9 1013 J 6.2(MeV )
1eV 1.6021019 J
相应的能量本征值： E 2k2 ―连续谱
2m
( x) eikx , eikx
自由粒子波函数：
2k2 E
2m
E (x,t)
e ikx
求一维无限深势阱(势箱)中粒子的坐标和动量在能量表
∴ψ n 也为 e iA 的本征函数，对应的本征值为 e ia
3. 在一组正交归一的基矢 1 ， 2 ， 3 所张成的矢量空间里， 定义了
1 0 0 1 0 0 H = hw 0 − 1 0 ， B = b 0 0 1 0 0 1 0 1 0
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E1 = hw
1 0 0 ， E 2 = E3 = −hw ，三个归一化本征矢为 0 ， 1 ， 0 0 0 1
p x = − ih N
∞ 2 n
−∞
−α 2 x 2 2
∫e
−α 2 x 2 2
d H n (αx ) e dx
−α 2 x 2 2
H n (αx ) dx = 0
因为函数 e
H n (αx ) 的一 阶导 数的 奇偶性与其自身 的 奇偶性
相反，故被积函数为奇函数。因此
n
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证明： ∵ A 为厄米矩阵， ∴ A + ∵ e iA = ∑ i
n n
=A (−i ) n n + (−i ) n n (A ) = ∑ A = e −iA n! n ! n
e iA 为么正矩阵
n!
An ，
ˆ 的矩阵表示 ∴在 A 表象中， A
1 0 0 − 1
b11 b12 B = 设 B 在 A 的表象中的矩阵表示为 b b 21 22
1 ˆ2 = B ˆB ˆ = 1得 B = 2 ˆ 2 = 1 ，且 A ˆ +B ˆA 由A 3 −iδ e 2 3 iδ e 2 1 − 2
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典且简单的模型，用于描述粒子在一个势阱中的行为。
在这个模型中，势阱可以看作是一个无限深的势场，粒子在其中自由运动。
当粒子被限制在一个一维无限深势阱中时，其能量值是量子化的。
根据波动力学的原理，我们可以获得粒子在这个势阱中能量的可能测量值和相应的几率。
能级的量子数和能量一维无限深势阱中的粒子可以存在于不同的能级。
这些能级由一个整数n来标记，称为能级的量子数。
能级的量子数n可以取1, 2, 3, …等任意正整数。
每个能级都对应着一个确定的能量。
根据量子力学的理论，一维无限深势阱中粒子的能级En可以由下式给出：En = n^2 * (h^2 / 8mL^2)其中，h是普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。
能级的分布和几率粒子在一维无限深势阱中的能级是离散的，且随着能级量子数n的增加而增大。
能级1对应的能量最低，而能级的能量随着n的增加而增加。
根据概率的理论，我们可以计算粒子被测量到具有某个能量的概率，即几率。
粒子具有某个能量的几率由下式给出：P(n) = |Ψn|^2 = (2 / L) * sin^2(nπx / L)其中，Ψn是能级n对应的波函数，x是位置的坐标，L是势阱的宽度。
从上述几率公式可以看出，几率P(n)随着能级量子数n的增加而逐渐减小。
也就是说，粒子被测量到具有更高能量的概率越小，而被测量到具有较低能量的概率越大。
能量的选择定则根据能量的测量结果，我们可以得到一些有关能量的特性。
在一维无限深势阱中，粒子只能具有特定的离散能量值，这些能量值与能级量子数n相关。
根据能量的选择定则，粒子在任意时刻只能处于某个能级上，而不能处于两个或多个能级上。
这意味着，粒子在一维无限深势阱中的能量是量子化的，只能取能级所对应的那些特定能量值。
总结一维无限深势阱是一个经典的量子力学模型，在描述粒子在势阱中的行为方面提供了有用的信息。
一维无限深势阱
一维无限深势阱一维无限深势阱2. 判断题题号：60821001分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的。
答案：对题号：60821002分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。
答案：错题号：60822003分值：2分难度系数等级：2级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。
答案：错题号：60821004分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。
答案：对题号：60822005 分值：2分难度系数等级：2级微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零答案：对3．填空题题号：60834001 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处在基态时，在x ＝0到3ax =之间被找到的概率。
( C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2) 答案：π4331-（或0.19）题号：60834002 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于第一激发态时，在x ＝0到3 ax =之间被找到的概率。
(C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2 )答案：π8331+（或0.40）题号：60833003 分值：2分难度系数等级：3级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于第一激发态时，在4ax =处粒子的概率密度。
答案：a2题号：60832004 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
则粒子处于基态时各处的概率密度。
答案：a xa π2sin 2题号：60832005 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。
高二物理竞赛课件：一维无限深势阱问题
其定态薛定谔方程： 2 d 2 E
2m dx 2
粒子在各处出现的概率密度 Ψ x 2 2 sin 2 nπ x
a
a
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
n= 3
ψn
3
2 sin 3 x aa
wn n 2
w3
n=2
2
2 2 sin x
aa
w2
n= 1
1
2 sin x aa
w1
0 aX
粒子在0到a/2区域内出现的概率：
2
2 s
a
in2
x
a
a/22 dx来自2a/ 2 sin2 x dx
1
0
a0
a
2
(3)概率最大的位置应该满足：
d 2 2 sin 2x 0
dx
aa
即当 2x k , k 0,1,2,
a
时，粒子出现的概率最大。因为0<x<a， 故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。
k12
2m( E P 0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
2 1 ( dx2
x
)
k
21
(
x
)
0,
x0
d
22 ( dx2
x
)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
d
2
3 ( dx2
x)
k
23
(
x
)
0,
xa
若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波 和反射波；粒子从I区经过Ⅱ区穿过势垒到Ⅲ区， 在Ⅲ区只有透射波。粒子在 x=0处的几率要大于 在 x=a处出现的几率。
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