中考数学分式方程专题复习全面版.ppt
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分式方程的复习课件
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步骤
1. 整理方程；2. 确定分母；3. 使用公式求解
换元法
简化复杂分式方程的有效手段
输入 标题
详细描述
换元法是通过引入新的变量来替换原方程中的复杂部 分，从而将复杂方程转化为简单方程。这种方法在解 复杂分式方程时非常有效。
总结词
适用范围
1. 确定需要替换的部分；2. 引入新变量；3. 替换并整 理方程；4. 解出新变量的值；5. 还原为原变量得到解
$x = frac{5}{4}$。
综合练习题
题目
解方程 $frac{x + 1}{2} - frac{4x - 3}{5} = frac{2x + 1}{3} + frac{1}{15}$
解析
首先将方程两边都乘以15（最小公倍数）来消去分母，得到 $15(x + 1) - (4x - 3) = (2x + 1) times 3 + 1$，然后去括号、移项、合并同类项，最后解得 $x = frac{49}{17}$。
对于有实际意义的分式方程，解必须符合实际情况，例如在 物理问题中，解需要符合物理定律和常识。
解的取值范围
确定解的取值范围
在解分式方程时，需要考虑解的取值范围，以确保解是有效的。
验证解的连续性和可导性
对于一些需要求导数或者需要验证连续性的问题，需要确保解在指定区间内是连续和可导的。
避免常见错误
避免解的扩大化
。
步骤
复杂或难以直接解出的分式方程
消去法
总结词
通过消除分式方程中的分母来 求解
详细描述
消去法是通过对方程两边同时 乘以公共分母，消除分母，将 分式方程转化为整式方程，然 后求解。
2019届人教版中考数学复习《分式》课件(共20张)全面版
(4)分式(fēnshì)加减法法则
①同分母分式加减法的法则(fǎzé):分母不变,分子相加减.
即.b c b c; aa a
②异分母分式加减法的法则:先通分,把异分母分式化为同分 母分式.
即 .b d bc ad bc ad. a c ac ac ac
(5)分式运算的原则: ①凡遇到分子或分母是多项式,先分解因式,再约分或通分; ②结果化成最简分式.
即a=4或a=-1时，分式的值为零. (2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值
(1)为正；(2)为零.
a3
第八页，共二十二页。
【例3】 计算(jìsuàn)：(a1) 2
4
；
a2
(2)［(1
4
a 2)(
a
4 )-a43］÷(
7.先化简，再请用你喜欢的数代入求值： x 2 x 1 x2 4
x2 2x x2 4x 4 x3 2x2 8.已知 2x 3 A B ，求A, B的值.
(x 1)(x 2) x 1 x 2
第十八页，共二十二页。
• 9:甲,乙两位采购员同去一家饲料公司采购两次饲 料,两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方 式也不同,其中甲每次购买(gòumǎi)1000千克,乙每次 购买(gòumǎi)800元而不管购买(gòumǎi)多少饲料,设两次 购买(gòumǎi)的饲料的单价分别为m元/千克和n元/千 克(m,n为正数且不相等)那么甲,乙购买(gòumǎi)的平 均单价谁更低?
C.-1或5
D.-5或5
第七页，共二十二页。
Ø 典型 例题解析 (diǎnxíng) a2 3a4
【例1】 当a取何值时，分式(fēnshì) 2a3 (1)值为零；(2)分式有意义?
①同分母分式加减法的法则(fǎzé):分母不变,分子相加减.
即.b c b c; aa a
②异分母分式加减法的法则:先通分,把异分母分式化为同分 母分式.
即 .b d bc ad bc ad. a c ac ac ac
(5)分式运算的原则: ①凡遇到分子或分母是多项式,先分解因式,再约分或通分; ②结果化成最简分式.
即a=4或a=-1时，分式的值为零. (2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值
(1)为正；(2)为零.
a3
第八页，共二十二页。
【例3】 计算(jìsuàn)：(a1) 2
4
；
a2
(2)［(1
4
a 2)(
a
4 )-a43］÷(
7.先化简，再请用你喜欢的数代入求值： x 2 x 1 x2 4
x2 2x x2 4x 4 x3 2x2 8.已知 2x 3 A B ，求A, B的值.
(x 1)(x 2) x 1 x 2
第十八页，共二十二页。
• 9:甲,乙两位采购员同去一家饲料公司采购两次饲 料,两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方 式也不同,其中甲每次购买(gòumǎi)1000千克,乙每次 购买(gòumǎi)800元而不管购买(gòumǎi)多少饲料,设两次 购买(gòumǎi)的饲料的单价分别为m元/千克和n元/千 克(m,n为正数且不相等)那么甲,乙购买(gòumǎi)的平 均单价谁更低?
C.-1或5
D.-5或5
第七页，共二十二页。
Ø 典型 例题解析 (diǎnxíng) a2 3a4
【例1】 当a取何值时，分式(fēnshì) 2a3 (1)值为零；(2)分式有意义?
中考数学复习---分式方程的应用考点归纳与典型例题讲解PPT课件
根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，
600 600 由题意得： x − 15x =140，
解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是 每秒60兆．
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望 小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获 利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？ 【分析】 （1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝ 总价÷单价结合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
3
求购买 A 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花弃每盆 1 元，B 种花卉每盆 1.5 元；（2）购买 A 种花卉 1500 盆时 购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元
【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方 程并检验；
4.（2020•广东）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面 积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类 摊位每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊
3
《中考复习分式方程》PPT课件
11、(09广东省)解方程:
2 x2 1
x
1 1
x=-3
11. (09上海市)用换元法解分式方程
x1 3x 10时，如果设 x 1 y ，
x x1
x
将原方程化为关于y的整式方程，那 么这个整式方程是（A ）
A. y2+y-3=0 B. y2-3y+1=0 C. 3y2-y+1=0 D. 3y2-y-1=0
原分式方程无解。 精选PPT
7
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方 程的过程中出现的不适合于原方程的根.
········· 使分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个
零不是因分式式后方,所程得的的根根.是整·式·方·程·的根,而
····
精选PPT
8
解分式方程的思路是：
分式 方程
6.（2008枣庄）某一工程，在工程招标时， 接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天， 需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程 款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的 投标书测算，有如下方案： (1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成； (2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 6天； (3)若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙 队单独做也正好如期完成． 试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一 种施工方案最节省工程款？请说明理由．
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 要 注意添括号． (3)增根不舍掉。
精选PPT
10
1、(09成都)分式方程
2 3x
1 x 1
的
解是_____x_=__2_
2024届中考数学第一轮复习基础知识过关 第6讲《分式方程》教学PPT课件
∴原方程无解.
(1)解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程;
(2)解分式方程一定注意要检验;
(3)去分母时不要漏乘没有分母的项,还要注意符号的变化.
[变式 1] (2023 成都双流二模)解方程:
+
解:
-
+
-
=2,
=2.
(-) -
方程两边都乘 2(x-3),得 3x+3-2x=4(x-3),
同时到达;已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
解:设张老师骑车的速度为 x km/h,则汽车的速度是 3x km/h.
根据题意,得 = +2,
解得 x=15.
经检验 x=15 是分式方程的解.
答:张老师骑车的速度为 15 km/h.
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同,要理清
答:摩托车的速度为 40 km/h.
分式方程
分式方程的概念
分母
中含有未知数的方程,叫做分式方程.“分母中含有未知数”
是分式方程与整式方程的根本区别,也是判断一个方程是否为分式方
程的依据.
分式方程的解法(常考点)
1.解分式方程的思想
把分式方程转化为
整式方程
.
2.解分式方程的一般步骤
最简公分母
(1)把方程两边都乘
(2)解这个 整式 方程;
- =
(+%)
(+%)
B. D.
=10
- =10
(+%)
3.(2023广安)为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如
(1)解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程;
(2)解分式方程一定注意要检验;
(3)去分母时不要漏乘没有分母的项,还要注意符号的变化.
[变式 1] (2023 成都双流二模)解方程:
+
解:
-
+
-
=2,
=2.
(-) -
方程两边都乘 2(x-3),得 3x+3-2x=4(x-3),
同时到达;已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
解:设张老师骑车的速度为 x km/h,则汽车的速度是 3x km/h.
根据题意,得 = +2,
解得 x=15.
经检验 x=15 是分式方程的解.
答:张老师骑车的速度为 15 km/h.
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同,要理清
答:摩托车的速度为 40 km/h.
分式方程
分式方程的概念
分母
中含有未知数的方程,叫做分式方程.“分母中含有未知数”
是分式方程与整式方程的根本区别,也是判断一个方程是否为分式方
程的依据.
分式方程的解法(常考点)
1.解分式方程的思想
把分式方程转化为
整式方程
.
2.解分式方程的一般步骤
最简公分母
(1)把方程两边都乘
(2)解这个 整式 方程;
- =
(+%)
(+%)
B. D.
=10
- =10
(+%)
3.(2023广安)为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如
中考数学复习专题7：分式方程及其应用1(共25张PPT)
考点3 分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：列分式方程解决应用问题。
5．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生 产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若 乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务， 问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为（ B ）
B
【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方 程来解即可．
【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式 方程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不
可少解的重：要方步程骤两之边一都，因乘为以在x－方程1，两得边2都x乘＝以x－最1简＋公1分，母时， 容易产生增移根项（是、整合式并方，程得的x根＝，0但，不是分式方程的根，也可 以说是使最经简检公分验母，为x＝0的0根是）原．方程的解．
5．列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； ③找：找出_等__量__关__系___； ④列：列出_分__式__方__程___； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要验证根是否为_原__分_式__方__程__的_根__，又要检 验根_是__否__符_合__题__意___； ⑦答：写出答案.
（2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出 甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.
【思维模式】1.在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的 量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间接 设，设多元等； 三是求分式方程的解． 2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.
中考数学复习 分式方程 复习优质课件
第8课时┃ 分式方程
考点2 分式方程的解法
1.方程两边都乘以各个分母的_最__简__公__分__母___，约
去分母，化成整式方程；
解分式方 程的一般
步骤
2.解这个整式方程； 3.检验：把求得的未知数的取值代入最简公分 母，看是否等于0，使最简公分母为0的根是原 方程的增根，增根必须舍去.
注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式
经检验，x＝3 是原方程的解．
第8课时┃ 分式方程
解分式方程，通常是把分式方程两边同乘以各分母的最简 公分母，化为整式方程；解分式方程要验根．
解分式方程时易出现的错误： (1)漏乘没有分母的项； (2)没有验根； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8课时┃ 分式方程
三 、 分式方程的应用 命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8课时┃ 分式方程
当堂检测
1．解分式方程x－1 2＋x2－x 4＝5 时，方程两边同乘以的
最简公分母是
(C )
A．x＋2
B．x－2
C．(x＋2)(x－2) D．(x＋2)(x－2)2
解 析 由于 x2－4＝(x＋2)(x－2)，因此该分式方 程各分母的最简公分母是(x＋2)(x－2)，应选 C.
6.答 写出答案(包括单位).
第8课时┃ 分式方程
考点训练
一 、 分式方程解的问题 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根：使分式方程的分母等于零的根．
第8课时┃ 分式方程
例 1 [中考真题] 若关于 x 的方程xx－－15＝10－m 2x无解，则 m＝_____－__8_．
解析
由于关于x的方程
《分式方程复习》课件
详细描述
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
中考复习 分式方程及其应用课件
• (2)分式方程
x 1 x 1 x
3
(x 1)( x 2)
的解是
（C）
A．x=1 B.x=-1 C.无解 D.x=-2
•
（3）解方程：
x2
3 3x
1 x 3
1
原方程的解为x=-1
2020/3/2
例题讲解
•
例1、（1）若分式方程
2
1 kx x2
2
1
x
有增根，则k＝___k_=_1___.
2020/3/2
二、题型、方法
• 考点1 分式方程的概念
热身练手：1、指出下列关于x的方程中，是分式方程的是（4）、（5（）只 填序号）.
(1) x y 5 ；(2)
x
5
2
2
y 3
z
；(3) 1 ；
x
(4)
x
y
5
0
；
(5)
1 2x 5 x
3/2
考点2 分式方程的解法
变式1、若关于x分式方程
x
x
2
2
m 2
x
的解为正数，
求满足条件的正整数m的值？
m的值为1、3
变式2、若关于x的方程 m 1 x 0无解，求m的值？
x4 4x
m=3
2020/3/2
考点3 分式方程的应用 • 热身练手：某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，
热身练手：2、解方程：
2 x
x 3
3
1
x
1
解：去分母,两边同时乘以（x-3），得 2-x-1=x-3， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x-3 ≠0，
中考复习-2-2分式方程PPT课件
第二章第二课时：
分式方程
要点、考点聚焦
1.解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
2.解分式方程的基本方法：去分母、换元法
为什的思想方法，也是中 考的必考知识.
典型例题解析
〖补充例题〗 解方程：
x
2
x 1
x3 x 1
2 x2 1
1
【例2】 (2003年·陕西省)用换元法解方程：
( x )2 2( x ) 8 0.
x 1
x 1
解：设
x y x 1
，则y2-2y-8=0,故y=4,或y=-2.
当y=4时，x=-4/3；当y=-2时，x=-2/3.
经检验：x=-4/3，或x=-2/3都是原方程的解.
练习一： 1、课堂反馈 T1、 2、延伸拓展 T1（1）、（3）
典型例题解析
练习（1997年山东） 2x
若解分式方程
产生增根。
x 1
m 1 x2 x
x 1 x
求m的值。
1.解分式方程常见误区： (1)去分母时漏乘整数项； (2)去分母时弄错符号； (3)换元出错； (4)忘了验根.
2.列分式方程解应用题常见误区： (1)单位不统一； (2)解完分式方程后忽略“双检”.
【例4】已知y是实数，且 那么y2+3y的值为( A )
y2
3 3y
y2
3y
2
，
A.1 B.-3或1
C.3
D.-1或3
【例5】(2002年·湖北荆门)当k的值是＿-＿1或＿0或＿3＿＿
(填出一个值即可)时，方程 只有一个实数根.
x k 2x x 1 x2 x
练习二： 课堂反馈 T3、T4
分式方程
要点、考点聚焦
1.解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
2.解分式方程的基本方法：去分母、换元法
为什的思想方法，也是中 考的必考知识.
典型例题解析
〖补充例题〗 解方程：
x
2
x 1
x3 x 1
2 x2 1
1
【例2】 (2003年·陕西省)用换元法解方程：
( x )2 2( x ) 8 0.
x 1
x 1
解：设
x y x 1
，则y2-2y-8=0,故y=4,或y=-2.
当y=4时，x=-4/3；当y=-2时，x=-2/3.
经检验：x=-4/3，或x=-2/3都是原方程的解.
练习一： 1、课堂反馈 T1、 2、延伸拓展 T1（1）、（3）
典型例题解析
练习（1997年山东） 2x
若解分式方程
产生增根。
x 1
m 1 x2 x
x 1 x
求m的值。
1.解分式方程常见误区： (1)去分母时漏乘整数项； (2)去分母时弄错符号； (3)换元出错； (4)忘了验根.
2.列分式方程解应用题常见误区： (1)单位不统一； (2)解完分式方程后忽略“双检”.
【例4】已知y是实数，且 那么y2+3y的值为( A )
y2
3 3y
y2
3y
2
，
A.1 B.-3或1
C.3
D.-1或3
【例5】(2002年·湖北荆门)当k的值是＿-＿1或＿0或＿3＿＿
(填出一个值即可)时，方程 只有一个实数根.
x k 2x x 1 x2 x
练习二： 课堂反馈 T3、T4
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分式方程
考点知识精讲 中考典例精析
举一反三
考点训练
考点二 与增根有关的问题 1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 (1)____使__最__简__公__分__母__为__零________； (2)_是__由__分__式__方__程__化__成__的__整__式__方__程__的__根___. 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：(1)将原方程化为整式方程；(2) 确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
考点三 列分式方程解应用题 1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样,不同之处是列出 的方程是分式方程. 求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要 缺少了这一步. 2.应用问题中常用的数量关系及题型 （1）数字问题.（包括日历中的数字规律） ①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 _1_0_0_a_+_1_0_b_+__c_； ②日历中前后两日差__1_，上下两日差__7___.
程的解．
(2)由(x－1)(x＋2)＝0 得增根可能是 x＝1 或 x＝－2，把方程两边
都乘(x－1)(x＋2)得 x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当 x＝1 时，得 m＝
3；当 x＝－2 时，得 m＝0，此时方程变为x－x 1－1＝0，即 x＝x－1，此
时方程无解，故 m＝0 舍去，∴当 m＝3 时， 原方程有增根 x＝1.
（2）体积变化问题.
（3）打折销售问题.
①利润=__售__价___-成本；
利润
②利润率=__成__本_____×100%. （4）行程问题.
路程=_速__度_×_时__间__.
若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆 水和水逆水 v＝_____2_____
考点一 分式方程及解法 1．分式方程 分母里含有__未__知__数__的方程，叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即
分式方程__去―_转_分 ―_化_→母_____整式方程
(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．增根
在方程变形时,使原分式方程的分母为零的根,称为原方程的增根.解 分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根(其方法是代入最 简公分母中，使最简公分母为0的是增根，否则不是)．
1．分式方程x－2 1＝21的解是(
A．3
B．4
C．5
答案：C
) D．无解
2.某车间加工 120 个零件后,采用了新工艺,工效是原来的 1.5 倍,这 样加工同样多的零件就少用 1 小时,采用前每小时加工多少个零件?若设
120 120
采用新工艺前每小时加工 x 个零件,则根据题意可列方程为__x__-_1_._5_x_=_1_. 34答．．案解解：方方x程程＝：：－xx12＋－xx 11＋－12＝xx－2x2x－＋11.＝0. 答案：x1＝12，x2＝2
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ (2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验 求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．
【解答】设甲工程队单独完成该工程需 x 天，则乙工程队单独完成该工 程需(x＋25)天．
v逆＝vv－顺－_v_v水_逆_ v水＝___2______
在轮船航行问题中，知v顺、v逆、v、v水中的任何两个量，总能求出
其他的量． (5)教育储蓄问题． ①利息＝___本__金__×__利__率__×__期__数__； ②本息和＝___本__金__＋__利__息____＝本金×(1＋利率×期数)； ③利息税＝_利__息__×__利__息__税__率__； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
(2011·德州)为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城 区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公 用设施全面更新改造，根据市政府建设的需要，须在60天内完成工程，现 在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，经调查知道：乙队单独完成此 项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30 天，甲队每天的工程费用2 500元，乙队每天的工程费用2 000元．
根据题意得：3x0＋x＋3025＝1. 方程两边同乘 x(x+25),得 30(x+25)+30x=x(x+25),即 x2-35x-750＝0. 解之，得 x1＝50，x2＝－15. 经检验，x1＝50，x2＝－15 都是原方程的解． 但 x2＝－15 不符合题意，应舍去． ∴当 x＝50 时，x＋25＝75. 答:甲工程队单独完成该工程需 50 天,乙工程队单独完成该工程需 75 天． (2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 方案一：由甲工程队单独完成． 所需费用：2 500×50＝125 000(元)． 方案二：甲、乙两队合作完成． 所需费用为：(2 500＋2 000)×30＝135 000(元)． 其他方案略．
【解答】(1)C (2)D
(2011·大连)解方程：x－5 2＋1＝x2－－1x. 【点拨】本题考查分式方程的解法，一般步骤为：(1)去分母，转化 为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根．这三步缺一不可． 【解答】x－5 2＋1＝－xx－－12， 去分母得 5＋(x－2)＝－(x－1)． 解得 x＝－1. 检验：把 x＝－1 代入 x－2 中 x－2≠0. ∴x＝－1 是原方程的解 方法总结： 解分式方程时，一定要记得验根，使分母为零的未知数的值，即是方 程的增根.
(1)(2011·芜湖)分式方程2xx－－25＝2－3 x的解为(
)
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1 或 x＝2
(2)
2011·绥化
分式方程x－x 1-1=
x－1
m x＋2
有增根,则 m
的值为( )
A．0 和 3
B．1
C．1 和－2
D．3
【点拨】(1)去分母得 2x－5＝－3，解得 x＝1.经检验 x＝1 是原方