高中数学竞赛指导(第一讲)

第一讲函数的概念

赛点直击

一、函数的定义域

1.几种常见的初等函数的定义域.

已知下列函数：①y＝2n

P(x) ﹙n∈Ν*﹚；②y＝

P(x)

Q(x)

；③y＝log Q(x)P(x)；④y＝tanP(x)；⑤y＝cotP(x).使各函数式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件分别为：

①P(x) ≥0；②Q(x) ≠0；

③ 0＜Q(x)≠1且P(x)＞0；④P(x) ≠kπ＋π

2

﹙k

∈Ζ﹚；

⑤P(x)≠kπ﹙k∈Ζ﹚

2.复合函数的定义域

已知函数f(x)的定义域为【a,b】,求函数y＝f[g(x)]

的定义域的问题。其解题步骤为由a≤g(x)≤b，解

出x的范围，即为函数y＝f[g(x)]的定义域.

若函数关系式是由图像给出的，则可由图像直接观察

函数的定义域.

若函数关系式表示的是一个实际问题中的两个变量

之间的关系，则要注意实际问题中变量的范围. 二、函数的值域

根据函数表达式的形式，值域的求法也各不相同，一般有以下几种求法：

1.配方法

如果所给出的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般可采用配方法进行求解.在求解时要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围.

2.利用函数的单调性

如果所给出的函数是熟悉的已知函数的形式，那么可根据函数的图像或利用函数的单调性来判断.在利用函数的单调性求解时，一定要注意其单调区间.

3.反函数法

若某函数存在其反函数，则可利用互为反函数的两个函数的定义域和值域的互反性，该求其反函数的定义域.

4.判别式法

若将y看成常数，所给函数y＝f(x)便可看成是关于x的方程；若是关于x的二次方程，则可利用判别式Δ≥0来求y的取值范围，但需注意取等号的问题.

5.变量代换法

一个复杂的函数，如果将其中得到某个式子看成一个整体，通过变量代换，就可以化为我们熟知的表达式，这时要注意所代换的表达式的取值范围.

6.利用基本不等式

利用代数基本不等式x＋y≥2xy ,x＋y＋z≥

33

xyz ﹙x,y,z＞0﹚等来求函数的值域，也是一种

行之有效的方法，但是在使用时要注意是否符合公式

的基本要求以及能否取到等号的问题

三、函数的对应关系

自变量x与函数y的对应关系是指对于自变量x的一个

确定的数值x0（定义域内），应以何种方式求出函数y

的对应值y0 ,对应关系一般用f,g等字母表示.

对应关系一般有显式和隐式之分.显式一般是用y＝f(x)或其图像，隐式一般可用f所满足的一些条件的形式给

出，例如函数方程的形式.

赛题解析

1.求下列函数的定义域：

（1）y＝

x(3－x)

lg(x－3)2

；

（2）y＝

1

a x－k·

b x

解：（1）要使y有意义，则：x(3－x)≥0, 0≤x≤3

(x－3)2＞0,即： x≠3

(x－3)2≠1, x≠2且x≠4

故定义域为[0,2)∪(2,3).

(2)由题意知，函数的自变量x的取值范围是

a x－k

b x＞0 ,即（a

b

）x＞k.因a＞0,b＞0,a≠1,b≠1.则

①当a＞b＞0,k＞0时, 定义域为{x|x＞㏒a

b

k}

②当b＞a＞0,k＞0时, 定义域为{x|x＜㏒a

b

k}

③当0＜a＝b≠1,且0＜k＜1时, 定义域为R.

④当k≤0时，定义域为R.

说明（1）求函数的定义域一般可转化为求不等式的解，对于参数，应予以讨论

（3）函数的定义域一般应表示为集合形式或用区间表示

2.已知a∈(－1

2

,0]，函数f(x)的定义域是(0,1]，求

g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定义域.

【分析】g(x)＝f(x+a)＋f(x-a)＋f(x)的定义域是f(x+a)，f(x-a)，f(x)的定义域的交集，解题时应注意参数a的取值范围，有时应对a进行分类讨论.

解：由题意得：0＜x＋a≤1, ﹣a＜x≤1－a ①

0＜x－a≤1, 即 a＜x≤1＋a ②

0＜x≤1, 0＜x≤1 ③

∵﹣12

＜a ≤0 , ∴0≤﹣a ＜12 , 1≤1－a ＜32 , 12

＜1＋a ≤1. ∴不等式组的解为﹣a ＜x ≤1＋a.

∴g(x)的定义域为（﹣a,1＋a].

【说明】本题中a ∈(-12

,0]给得恰到好处，不然就得对a 进行分类讨论了；若a 的取值范围使得由①，②，③组成的不等式无解，这时我们千万不能称g(x)的定义域是空集，因函数的定义域和值域均不能为空集，而要说这时不存在函数g(x).

3. 求下列函数的值域.

(1)y ＝x ＋1－2x

(2)y ＝10x ＋10-x

10x －10-x (3)y ＝㏒(2x －x ²＋3)0.5

(4)y ＝x ²＋2x ＋2 ＋x ²－2x ＋2

(5)y ＝|x ＋1|＋|x －1|＋|x ＋2|

(6)y ＝x ²＋4x ＋3x ²＋x －6

(7)y ＝x ²＋1x (x ＞0)

解：（1）令t ＝1－2x (t ≥0),则：

x ＝1－t ²2 ,y ＝1－(t －1)²2

又t ≥0，故y ＝1－(t －1)²2

≤1，即函数的值域为(-∞,1]

(2)因为y ＝10x ＋10-x 10x －10-x ＝102x ＋1102x －1

,所以102x ＝y ＋1y －1 (y ≠1) 且反函数为y ＝12 lg x ＋1x －1

由x ＋1x －1

＞0知反函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故原函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

(3)因为2x －x ²＋3＝－﹙x －1﹚²＋4,所以

0＜2x －x ²＋3≤4.又0.5＜1,由y ＝㏒

x 0.5 的单调性可知值域为[-2，+∞﹚

(4)方法一： y ＝x ²＋2x ＋2 ＋

x ²－2x ＋2 ≥24(x ²＋2)² －4x ² ＝24x 4＋4 ≥24

4 ＝2 2 (当且仅当x ＝0时取等号)，故值域为[2 2 ，+∞﹚

方法二： y ＝x ²＋2x ＋2 ＋x ²－2x ＋2 表示为动点

P(x,1)到定点A(1,0),B(-1,0)的距离之和，故y ≥2 2 ,即