管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法

练习题
已知如下运价表，用表上作业法求解：
产销 地
B1
B2
B3
B4 产量
A1 6
5
3
4
4
A2 4
4
7
5
6
A3 7
6
5
8
3
销量 2 4 3 4 13
初始解对应目标值为 3×3+4×1+4×2+4×4+8×3＝61
产销地 B1
B2
B3
B4 产量 ui
A1 6 (3)5 (2)3
4 3
14
0
A2 4
4 2
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 我们关心的量均在运价表和运量百度文库中， 故将两表和为作业表：
A1
A2 销量
B1 6
x11 6
x21
150
B2 4
x12 5
x22
150
B3 6
x13 5
x23
200
产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 表上作业法的总体思路和单纯形法类似：
基本可行解
是否最优解 是 结束
三、最优性检验
❖ 每一个非基变量都有唯一的闭回路
A1 A2 A3 销量
B1 3
1 3
7
3
B2 11
B3 3
4
9
2
1
4
10
6
6
5
B4 10
3 8
5 3
6
产量 7 4 9 20
三、最优性检验
❖ 观察x24的闭回路： ❖ 若让第一个顶点非基变量x24的取值变为1，
为了保持产销平衡，其闭回路上的顶点运量 都要调整，基数顶点+1，偶数顶点-1。 ❖ 上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，这就说明原方案还不是最优 方案，需要进行调整。
B3
B4
产量ai
A1 3
11
3
（+02） （2）
10 5
2-2 7
A2 1
9
2
8
3-2 （2） （1）
1+2 4
检验A3数为7 0
4最小偶点10 为出基5
者进基 （9） 变量和6 调整（1量2）
39
销量bj
3
6
5
6
20
五、运输问题的几种特殊情况
❖ 得到另一个最优方案： ❖ x11 = 2, x13 = 5, x21 = 1, x24 = 3, x32 = 6, x34 = 3, ❖ 其余 xij = 0； ❖ 最优值仍然为 f* = 85
10
4+1
3-1 7
A2
调1整量
3
9
2 （1）
8 1-1 （+-11） 4
7
4
10
5
A3
（10）
6最小（检1验2）数 3 9
销量
3
6 原则，5 确定 6
20
进基变量
四、方案调整
❖ 得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 =
1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
❖ 1、西北（左上）角法
❖ 每次找最西北角的元素，让其运输量尽 可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3 3 11 4 3
10
7
A2 1
9 22 2 8
4
A3 7
4
10 5
9
3
6
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
➢这样得到的初始基本可行解为： x11=3, x12=4, x22=2, x23=2, x33=3, x34=6，其 余均为0。 对应的总运费为： 3×3+4×11+2×9+2×2+3×10+6×5＝135
四、方案调整
➢ 即求=Min{xij闭回路上的偶数顶点的xij}= xpq。那么确定xpq为出基变量，为调整量；
➢ 3、换基调整：对闭回路的奇数顶点运量调整 为：xij+，对各偶数顶点运量调整为：xij-， 特别 xpq-=0，xpq变为非基变量。
➢ 重复以上步骤，直到所有检验数均非负，即 得到最优解。
❖ ij = (闭回路上的奇数顶点运价之和) - (闭回 路上的偶数顶点运价之和)
❖ 最优标准：所有检验数≥0
三、最优性检验
❖ 检验数计算如下表：
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
3
11
3
10
（1） （2） 4
3
产量 7
1
9
2
3
（1）
8 1 （-1）
4
7
4
（10）
10
5
6 （12）
3
9
3
6
5
6
A2
3
2
8
1
4
u2
7 A3
4
10 5
6
39
u3
销量 3
6
5
6 20
vj
v1
v2
v3
v4
三、最优性检验
❖ 根 的据 运基 价c变ij可量以xij分的解检为验u数i 和ivj j=，0即，c对ij =应u基i+v变j 。量 ❖ 因 方为 程位 只势有m量+uni -,v1j个的（总基数变为量m个+ 数n 个），，而所限以定位
一、运输问题模型及其求解思路
B1 B2 B3 产量 A1 6 4 6 200 A2 6 5 5 300 销量 150 150 200
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 2、产销平衡运输问题模型的特点 ❖ 从模型的建立可知： ❖ 列数为2（产地数）×3（销地数）＝6； ❖ 行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
第七章 运输问题 之表上作业法
一、运输问题模型及其求解 思路 二、确定初始基本可行解 三、最优性检验 四、方案调整 五、几种特殊情况
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 1、问题的提出： ❖ 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三
个销地B1、B2、B3。 ❖ 各产地的产量、各销地的销量和各产地
运往各销地每件物品的运费如下表所示。 ❖ 问：应如何调运可使总运输费用最小？
7
5
4 (3)
06
1
A3 7 (0)6 (-1) 5 (-2) 8
33
4
销量 2
4
3
4
13
vj
3
3
3
4
已达到最优，最优目标值为 4×4+4×2+4×4+5×3＝55
产销地 B1
B2
B3
B4 产量 ui
A1 6
5
3
(3) (2)
4 0
4
4
0
A2 4
2 4 4 7 (3)5 0 6
1
A3 7 (2)6 (1)5 3 8 (2) 3
❖ 再观察模型的系数矩阵：
一、运输问题模型及其求解思路
1 1 1 0 0 0 200 0 0 0 1 1 1 300 1 0 0 1 0 0 150 0 1 0 0 1 0 150 0 0 1 0 0 1 200
前2行之和＝后3行之和
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 对于产销平衡的运输问题，若产地为m 个，销地为n个，
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 5 10 3 8
A2 1
39
2 08
3
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 4 10 0 4
A2 1
39
2 18
4
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
3
17
三、最优性检验
❖ 检验数的意义：非基变量增加一个单位， 使目标函数值增加的数量。
五、运输问题的几种特殊情况
❖ 2、无解情况：
❖ 当某个产地Ai不能向某个销地Bj供应产品时， 设相应的运费为M（类似于大M法），然后 求最优解。
❖ 在最优解中，若相应xij的取值为0 ，则此最优 解为原问题的最优解；若xij的取值不为0，则 原问题无解。
五、运输问题的几种特殊情况
❖ 3、退化情况
否
每个步骤
都充分利
换基
用运输表
的特点
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂 生产方便食品，要运输到B1、B2、B3、B4 ， 4个销售点，数据如下表，求最优运输方案。
B1
B2
B3
B4 产量
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量 3
4
10
5
9
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
20
三、最优性检验
❖ 2、位势法
❖ 闭回路法的缺点：当变量个数较多时，寻找 闭回路以及计算两方面都容易出错。
❖ 位势法：设产地Ai对应的位势量为ui ，销地 Bj对应的位势量为vj， 检验数ij =cij –ui-vj。
三、最优性检验
B1
B2
B3
B4 产量 ui
3 A1
11 3
10
4
37
u1
1
9
（10） 6 （12） 3
销量bj 3
6
5
6
20
vj
2
9
3
10
检验数计算总结
❖ 1、闭回路法计算式： ❖ ij = (闭回路上的奇数顶点运价之和) - (闭回
路上的偶数顶点运价之和)
❖ 2、位势法计算式： ❖ ij = cij - ui – vj
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量
A1
最3小偶点原11则， 3 确定出（基1）变量（和2）
❖ 则变量个数为m×n个，线性无关的约束 条件个数为m+n-1，
❖ 故基本解中的基变量个数为m+n-1。
一、运输问题模型及其求解思路
❖ 3、运输问题求解思路——表上作业法 ❖ 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果
直接使用线性规划单纯形法求解计算， 则无法利用这些有利条件。 ❖ 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1 3
11
3
（0） （2）
10
5
2
7
A2 1
9
2
8
3 （2） （1）
14
A3 7
4
（9）
10
5
6 （12）
39
销量bj
3
6
5
6
20
四、方案调整
❖ 经过一次基变换，所有ij ≥ 0，已得到最优解： x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3， 其它为0。
三、最优性检验
A1 A2 A3 销量
B1 3
1 3
7
3
B2 11
9
4 6
6
B3 3
4 2
1 10
5
B4 10
3 8
5 3
6
产量 7 4 9 20
❖ 若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
三、最优性检验
❖ 如果规定作为起始顶点的非基变量xij为第 1 个顶点，其闭回路上的其他顶点依次为第 2 个顶点、第 3 个顶点……，那么就有该非基 变量的检验数：
❖ 一个或多个基变量等于0。
❖ 思考：运输问题是否存在无界解情况？
❖ 运输问题中目标函数值要求最小化，因 此，当所有的检验数都大于或等于零时 该调运方案就是最优方案；否则不是。
❖ 下面介绍两种计算检验数的方法：
三、最优性检验
❖ 1、闭回路法 ❖ 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一
个非基变量出发，沿水平或竖直方向前进， 只有碰到基变量，才能向右或向左转90o (当 然也可以不改变方向）继续前进。 ❖ 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变 量，由此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。
二、确定初始基本可行解
❖ 为保证基变量的个数有m+n-1个，注意： ❖ 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只有
最后一个格子例外。 ❖ 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个数
还差两个以上但只剩下一行或一列的情况， 此时不能将剩下行或列按空格划掉，应在剩 下的空格中标上0。（退化的基本可行解）
二、确定初始基本可行解
❖ 最优值： ❖ f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
四、方案调整
➢ 闭回路调整法步骤： ➢ 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者
rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽 快减少） ➢ 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回 路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将 其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个 基变量出基，其它基变量都为正）
2
销量 2
4
3
4
13
vj
3
3
3
4
五、运输问题的几种特殊情况
❖ 1、多个最优方案的情况：
❖ 若最优表中有非基变量的检验数为0，则为多 个最优方案的情况。
❖ 这种情况下，可将检验数为0的非基变量作为 进基变量，即可得到另一个最优方案。
五、运输问题的几种特殊情况
❖ 如上例中的最优方案就不唯一：
B1
B2
二、确定初始基本可行解
❖ 2、最小元素法
❖ 每次找到剩下的最小运价，让其对应的 运输量尽可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1
B2
B3
B4 产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1
39
2 18
4
A3 7
4
10
6
5
9
3
销量 3
6
5
6
20
二、确定初始基本可行解
➢用最小元素法求出的初始基本可行解为： x21 =3, x22 =1, x13 =4, x32 =6, x34=3, x14 =3, 其余均为0。 对应的总运费为： 3×1+1×2+4×3+6×4+3×5+3×10＝86
势 自量 由（ 变量ui。,vj ）有无穷多组解，其中总有一个 ❖ 故可以任意取一个位势量赋以定值，从而确
定其它位势量的值，一般取u1 ＝0。
三、最优性检验
B1
B2
B3
B4 产量ai ui
A1 3
11 3
10
（1） （2） 4
3
7
0
A2
1
9
2
3 （1）
8 1 （-1）
4
-1
A3 7
4
10 5
9
-5