齐次状态方程解
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
现代控制理论课后答案
前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
《现代控制理论》课后习题答案2
( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得 将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
线性系统的运动分析
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
第2章 状态空间表达式求解
1 T 2. 若A能通过非奇异变换予以对角线化，即 AT
则
e1t e At (t ) T 0
e2t
0 T 1 n t e
证明：根据定义式
A2t 2 A3t 3 Ak t k e I At 2! 3! k 0 k! At
A2t 2 A3t 3 ( I At ) A e At A 信息与控制工程学院 2! 3!
5. 性质五
设有nxn矩阵A和B，当且仅当AB=BA 时，有eAteBt
= e(A+B)t ，而当AB≠BA 时，则eAteBt ≠ e(A+B)t 。
证明：根据定义式
e ( A B ) t ( A B ) 2 2 ( A B )3 3 I ( A B )t t t 2! 3! A2t 2 ABt2 BAt2 B 2t 2 I ( A B )t ( ) 2! 2! 2! 2! A3t 3 A2 Bt3 ABAt3 AB2t 3 BA2t 3 BABt3 ( 3! 3! 3! 3! 3! 3! B 2 At3 B 3t 3 ) 3! 3!
2 2 1 t 2! 1 1t 1 k k 2t At e At k 0 k! nt 1 0 0 k k 1 t k! k 0 0 2 2 2t 2!
(t )( ) (t ) (t )( t ) (t t ) I ( )(t ) ( t )
( t )(t ) ( t t ) I
从而证明了(t)与(-t)互为逆
信息与控制工程学院
4. 性质四
矩阵指数函数-状态转移矩阵
e2t
0 T 1 n t e
4 矩阵指数的计算
1、根据定义直接计算 0 1 【例2－1】已知系统矩阵 A 求 2 3 解：
1 e At I At 2! A2t
e
At
k1! Ak t k
2
k1! Ak t k
k 0
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2) 1 ( s 1)( s 2) s ( s 1)( s 2)
则有：
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2et e2t t 2t 2e 2e
et e2t t 2t e 2e
A( t t0 )
称为状态转移矩阵。
这样，线性系统的自由解又可表示
x(t ) (t t0 ) x(t0 )
(3) 当t0 0 时，状态转移矩阵为 (t ) e At 状态方程解为 x(t ) (t ) x(0)
状态转移矩阵的几何意义
x(t1 ) (t1 ) x(0)
3 拉氏变换法： 可用拉氏反变换求矩阵指数
1 e At (t ) L1 ( sI A )
例2-4 用拉式变换法计算矩阵指数： 解： s 0 1 sI A A 2 2 3
1
1 s 3
s 3 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
1 T 1 2 1 0 1 21 1 1 0 1 2 1 3 , 3 2 3 4 4 9 3 4 1 T 1 6 5 1 4 4 1
状态空间表达式解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
(哈工大)2.线性定常系统齐次状态方程的解 gai
对于1 -1 ，有 AP1 -P1 1 0 P11 0 P11 0 P P 0 1 21 21 6 11 6 P31 P31 P21 P11 P31 P21 - 6P 11P 6P P 21 31 31 11 解得
L (sI - A)
1
-1
te t t (1 t )e
1 s2 t 2 2 ( 1 t ) e (s 1) 1 (s 1) L t 1 s te 2 2 (s 1) (s 1) 1 -1 x(t) L (sI - A) x(0)
3.两种方法的关系
I A A2 Ak （sI - A)( 2 3 k 1 ) I s s s s 2 k I A A A -1 (sI - A) 2 3 k 1 s s s s 1 2 2 1 k k 1 -1 L (sI - A) I At A t A t 2! k! e At L1 (sI - A)-1
s - 1 sI A 1 s 2
sI A
Page 11
-1
s2 adj( sI A) (s 1)2 det(sI A) - 1 2 (s 1)
1 2 (s 1) s 2 (s 1)
t x ( t ) 1 (1 t )e x (t ) t 2 te
Page 12
x1 (0) te t (1 t )e x 2 (0)
t
MATLAB
>>a=[0 1;-1 -2] >> s=sym(‘s’) >>sa=inv(s*eye(2)-a) >>ilaplace(sa)
自动控制原理习题及答案
1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。
答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。
去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期=0.1s。
试求系统稳定时K的取值范围。
答案:首先求出系统的闭环传递函数。
由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得+1 4 +( 7 -0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。
3. 求下列函数的z变换。
(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(n )z-n+…= + e-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+n e-naT z-n+…= (e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e( )=答案 e( )=对e( )= 取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*( )= δ( -T)- δ( - )+1 δ( -5T)-14δ( -7 )+18δ( -9 )+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z 反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。
第2章线性系统动态分析21引言22线性定常齐次状态方程
状态转移矩阵，并记为
eA(tt0) Φ (tt0)
（2-11）
状态转移矩阵是现代控制理论最重要概念之一， 由此可将齐次状态方程的解表达为统一形式，即
x(t)Φ (tt0)x(t0)
（2-12）
式（2-12）的物理意义是：自由运动的解仅是初始 状态的转移，状态转移矩阵包含了系统自由运动的 全部信息，其唯一决定了系统中各状态变量的自由 运动。
2．2 线性定常齐次状态方程的解
线性定常系统在输入 u为零时，由初始状态引
起的运动称为自由运动，其可用式（2-1）所示的齐
次状态方程描述，即：
x Ax x(t) tt0 x(t0)
（2-1）
式中 x——线性定常系统的n维状态向量；
x(t0 ) ——n维状态向量在 t t0 初始时刻的初值；
A ——线性定常系统的 nn维系统矩阵。
(Φ(t))1Φ(t)
这一性质表明，状态转移矩阵非奇异，系统状 态的转移是双向、可逆的。
5 Φ ( t 2 t 1 ) Φ ( t 1 t 0 ) Φ ( t 2 t 0 ),t 0 t 1 t 2
证．明 由状态转移矩阵的分解性，有
Φ ( t 2 t 1 ) Φ ( t 1 t 0 ) Φ ( t 2 ) Φ ( t 1 ) Φ ( t 1 ) Φ ( t 0 ) Φ ( t 2 ) Φ ( t 1 t 1 ) Φ ( t 0 ) Φ ( t 2 ) I Φ ( t 0 ) Φ ( t 2 t 0 )
b
2
1 2
Ab
1
1 2!
A
2
b
0
b
3
1 3
Ab
2
凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理
第二章 线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： 最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X现代控制理论基础定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ证明：由于：例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。
自控原理实验指导书
实验一系统建模与转换一、实验目的1．了解MATLAB软件的基本特点和功能；2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB环境下的表示方法及转换；3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法；4．掌握在SIMULINK环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法；5．了解在MATLAB环境下求取系统的输出时域表达式的方法。
二、实验内容1．自确定2个传递函数，实现传递函数的录入和求取串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数。
要求分别采用有理多项式模型和零极点增益模型两种传递函数形式。
2．进行2例有理多项式模型和零极点增益模型间的转换。
3．在Siumlink环境下实现如下系统的传递函数的求取。
各环节传递函数自定。
三、实验报告要求1．写明实验目的和实验原理。
实验原理中简要说明求取传递函数 的途径和采用的语句或函数。
2．在实验过程和结果中，要求按项目写清楚自定的传递函数、画 出系统方框图，从屏幕上复制程序和运行结果，复制系统的 Simulink 方框图，打印报告或打印粘贴在报告上。
不方便打印 的同学，要求手动从屏幕上抄写和绘制。
3．简要写出实验心得和问题或建议。
实验二 线性系统的时域分析一、实验目的1．研究线性系统在典型输入信号作用下的暂态响应； 2．熟悉线性系统的暂态性能指标；3．研究二阶系统重要参数阻尼比ξ对系统动态性能的影响； 4．熟悉在MATLAB 下判断系统稳定性的方法； 5．熟悉在MATLAB 下求取稳态误差的方法。
二、实验内容1〃研究一阶系统对阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、自定义输入的响应及性能指标。
设一阶系统系统具体参数：12.01)(+=s s G 。
2〃研究二阶系统对阶跃输入、脉冲输入、斜坡输入、自定义输入的响应及性能指标。
设：单位反馈系统的：)12.0(s )(+=s Ks G 。
K 参数变化及变化方案自定。
①典型二阶系统在阶跃输入下，阻尼比或自然振荡频率改变对某1项性能指标的影响。
齐次二阶线性微分方程通解
齐次二阶线性微分方程通解齐次二阶线性微分方程（SecondOrderLinearDifferentialEquations，简称SOLDE）是数学方面最重要的问题之一。
这类方程式经常出现在物理，工程，经济等领域，是理解物理世界的有效工具。
齐次二阶线性微分方程的基本形式为：$$a_{2}y^{}+a_{1}y^{}+a_{0}y=g(x)$$其中，$y$ 代表函数，$y^{}$ $y^{}$ 代表其导数，$a_{i}$ 代表系数，$g(x)$ 代表非齐次的项。
齐次二阶线性微分方程的解法大体包括：（1）利用特征方程求出特征根；（2）利用特征根求出特征线性表达式；（3）利用特征线性表达式求出通解。
一般来说，特征方程是$lambda^{2}+a_{1}lambda+a_{0}=0$，可求出特征根 $lambda_{1}=-bpmsqrt{b^{2}-4ac}$，中 $b$ $c$别是$a_{1}$ $a_{0}$对应值。
特征根 $ lambda_{1} $ 以及 $ lambda_{2} $值可以用来求出特征线性表达式，即$ y_{1}=c_{1}e^{lambda_{1}x},y_{2}=c_{2}e^{lambda_{2}x}$，$c_{1}$ $c_{2}$任意常数。
最后，可以利用非齐次项 $g(x)$出通解，即$y=c_{1}e^{lambda_{1}x}+c_{2}e^{lambda_{2}x}+intg(x)e^{-lambda_{1}x}dx$。
自然界中出现的大多数物理问题都可以用齐次二阶线性微分方程来解决。
比如，它可以描述圆柱面上的波动，电动势的分布，甚至是振荡运动等。
例如，$y^{}+16y=0$一个齐次二阶线性微分方程，他可以用来描述物体在固定点作对称正弦振荡运动，物体做位移 $A$，解为：$ y=Asin 8t+Bcos 8t $。
齐次二阶线性微分方程的重要性不言而喻，它适用于众多的应用场景，使物理学者们能够准确的描述和预测客观世界的运动状态。
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1、齐次状态方程解
【例】已知线性定常系统的齐次状态方程为
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
试求该状态方程的解。
解 这里我们应用拉氏变换法求系统的状态转移矩阵。
首先计算矩阵
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3213210
00)(s s s s A sI 其次，计算1
()sI A --及状态转移矩阵()t Φ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=
--s s s s A sI 2133
211
)(1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
++++-+++++=)2)(1()
2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3s s s s s s s s s s
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡++
+-++
+-+-
++-+=2211221221112
112
s s s s s s s s ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e
t 222211
2222])[()( 则齐次状态方程的解为
)0(2222)(2222x e e e
e e e e e t x t t t
t t t t
t ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-+---=-------- 或者
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------)0()0(2222)()(21222221x x e e e e e e e e t x t x t t t t t t t
t
2、线性变换例题
【例9.15】已知系统具有如下形式
u y y y y 66116')2()3(=+++
试求此系统对角形式的状态方程。
解 令 y x =1，'2y x =，)
2(3y x =
即 21x x = 32x x
= u x x x x
661163213+---= 写成矩阵—向量形式
u x x x x x x
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6006116100010321321 (9.76)
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y
可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为
321321-=-=-=λλλ，，
即 321λλλ≠≠ 。
这时我们选转换矩阵P 形式为
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---112
11
2
22
2
1
2
1
11
1
n n n n n n P λλλλλλλλλ
n 为相同的阶数，这里n =3。
本题中 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=921321111
P 令x=Pz
将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=
CPz
y Bu P APz P z =+=--11
系统可写为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z u ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡363300020001321321 输出方程为
[][]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=321321111921321111001z z z z z z y
3、状态转移矩阵例题
【例9.18】 已知状态转移矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t 22222222)(，试求A 。
解 利用性质（1）、（2），有
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-=Φ==-------3210
442222)0(02222t t t t t t t t
t e e e
e e e e e A 【例9.19】已知状态方程：x x
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
，试求状态转移矩阵的逆矩阵)(1t －Φ。
解 已知该齐次状态方程的转移矩阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=Φ--------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t 22222222)(， 利用性质（4）得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-t t t
t t t t
t e e e
e e e e e t t 22221
2222)()(
)(1t －Φ还可以根据)(t Φ按一般矩阵求逆矩阵的方法求取。
4、非齐次状态方程解例题
例9.20试求下列状态方程在)(1)(t t u =作用下的解。
101111x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦，1(0)0x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
解 (1) 积分法
已知非齐次状态方程解的形式为
⎰-Φ+Φ=t
d Bu t x t t x 0
)()()0()()(τττ
()1
11
1
12
1
01001()1
111(1)
1t t t s e s t sI A s te e s s -----⎡⎤
⎢⎥
⎧⎫-⎡⎤
⎡⎤
-⎪⎪
⎡⎤Φ=
-===⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎪⎪⎩
⎭
⎢⎥--⎣⎦
在)(1)(t t u =作用下，为了简化计算，令ττ-=t '
，有
⎰Φ-+Φ=0
)()0()()(t
Bd x t t x ’‘ττ
⎰Φ+Φ=t
Bd x t 0
'')()0()(ττ
⎰Φ+Φ=t
Bd x t 0
)()0()(ττ
则： 00101()1t t
t t e e Bd d e
e te τ
τ
τττττ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤
Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
⎰⎰ 所以， 10121()02t
t t t
t t t e e e x t te
e te te ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
--⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2) 拉氏变换法
()()111
1
()(0)()x t sI A x sI A BU s ----⎡⎤⎡⎤=
-+
-⎣⎦
⎣⎦
()11
112
2
1
10111(0)1
110(1)
1(1)t t e s s sI A x te s s s ----⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤--⎡⎤-=
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦
()11
112211
01(1)111()1101(1)1(1)t t s s e s sI A BU s s te s s s ----⎡⎤
⎧⎫⎡⎤
⎢⎥⎪⎪⎢⎥
-⎡⎤-⎡⎤-⎪
⎪⎡⎤⎢⎥-=
==⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢
⎥--⎪⎪-⎣⎦⎩⎭
⎣⎦
()()
1
1
1
1
21()(0)()2t t e x t sI A x sI A BU s te ----⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤=
-+
-=⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦。