高等数学电子教案：10-3(2)
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案：10-3(1)
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中LE的方向。源自oAFBx
D
Q x
P y
dxdy
L
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
高等数学电子教案(I V)
微分方程习题解答
一阶微分方程
一阶微分方程是最简单的微分方程， 通过分离变量法、常数变易法等可以 求解。
高阶微分方程
高阶微分方程的求解比较复杂，常用 的方法有降阶法、变量代换法等。
线性微分方程
线性微分方程的解具有线性性质，通 过解特征方程、使用常数变易法等可 以求解。
微分方程的应用
微分方程在物理、工程等领域有广泛 的应用，如物体运动规律、电路分析 等。
详细描述
定积分的应用广泛，包括计算面积、体积、长度等几何量 ，以及解决物理问题，如求变速直线运动的路程、变力做 功等。理解定积分的概念和性质是解决这些问题的关键。
总结词
掌握定积分的计算方法是解决问题的核心
详细描述
定积分的计算方法包括微积分基本定理、换元法、分部积 分法等。掌握这些方法能够快速准确地计算定积分，解决 实际问题。
总结了本章涉及的重要公式 和定理，包括极限的四则运 算法则、导数的定义和性质 等。
解题方法
注意事项
总结了解决极限、导数和微 积分问题的常用方法和技巧， 如等价无穷小替换、洛必达 法则等。
强调了在学习过程中需要注 意的问题，如理解概念的本 质、正确应用公式和定理等。
下章预告
主题
定积分及其应用
主要内容
程中经常用到。
换元法
换元法是计算定积分的常用方法，通过换 元可以简化被积函数，从而简化定积分的
计算。
微积分基本定理
微积分基本定理是定积分计算的核心，它 建立了定积分与不定积分之间的联系，通 过求不定积分来计算定积分。
分部积分法
分部积分法也是计算定积分的常用方法， 通过分部积分可以将复杂函数的定积分转 化为简单函数的定积分。
微分的定义、微分的几何意义、微分在近似计算中的应用等知识点。
高等数学电子教案(大专版)-2024鲜版
02
函数与极限
2024/3/28
8
函数概念及性质
2024/3/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
一阶线性微分方程
通过常数变易法，将一阶线性微分方程化为 可求解的形式。
2024/3/28
伯努利方程
通过变量替换法，将伯努利方程化为一阶线 性微分方程进行求解。
22
二阶微分方程解法
2024/3/28
二阶常系数线性齐次微分 方程
通过特征根法，求解二阶常系数线性齐次微分方程的通解。
二阶常系数线性非齐次微 分 通过方来自程定系数法或常数变易法，求解二阶常系数线性非齐次微分方程的特
向量的线性运算
详细讲解向量的线性运算，包括 向量的加法、减法、数乘和向量 的点积、叉积等，以及这些运算 的几何意义和性质。
向量空间的概念
引入向量空间的概念，介绍向量 空间的基本性质和向量在向量空 间中的表示方法。
2024/3/28
29
空间直角坐标系与向量的坐标表示法
空间直角坐标系
介绍空间直角坐标系的基本概念，包括坐标 原点、坐标轴、坐标平面等，以及空间点的 坐标表示方法。
偏导数与全微分的关 系
如果函数在某点的全微分存在，则该 点的偏导数一定存在；反之则不成立 。
34
多元复合函数求导法则
链式法则
如果函数$u=g(x),v=h(x)$都在点 $x$处可导，那么复合函数 $z=f(u,v)$在点$(u,v)$处也可导 ，且其导数可以通过链式法则计 算。
《高等数学》课程电子教案
《高等数学》课程电子教案本课程为我校第二批精品课程建设立项项目，学院为此专门抽调各教研室骨干教师组成课程组，充分发挥和强化其建设与改革职能，前期建设所取得的成果要紧表达在以下几个方面：一、师资队伍建设本课程组共12名成员，其中正副教授5人，讲师3人，助教5人，其中具有博士学位3人，具有硕士学位6人，已初步建立一支数量充足、结构合理、素养优良、充满生气与活力的专任教师队伍。
二、教材建设考虑到师范院校属性及相关学科的教学特点，构建融会贯穿的课程体系，我们差不多编写出下述《高等数学》系列教材：1. 孙国正主编，高等数学，安徽大学出版社20032. 刘树德编，高等数学，校科类基础课，教材，已申请出版3. 刘树德编，高等数学续论，选修课教材，校内胶印使用三、教学改革1. 加强教学内容的整合力度，以社会进展的新科技、新成果充实教学内容，提高教学起点。
2. 深入进行教学方法改革，多用启发式、讨论式、研究式教学方法，从改变教师的教学方式之入手，达到转变学生的学习方式之目的。
3. 运用现代教育手段提升教学水平。
为教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快运算机辅助教学软件的开发积极制造条件。
四、教学研究项目1. 省高校教学研究项目, 高等数学课程的优化设计，1999-2002；2. 校教材建设基金资助项目，出版校科类基础课教材《高等数学》, 20063. 校第二批精品课程建设立项项目, 《高等数学》，2005-2008课程建设是一项长期困难的工作，今后我们要连续努力，加快建设的步伐。
2005.12《高等数学》课程电子教案(节选)授课人：刘树德教学内容：1、微积分学的差不多定理与差不多公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。
教学目的：1、明白得微积分学的差不多定理与差不多公式的涵义和重要性；2、熟练把握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。
教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的差不多定理与差不多公式教学手段：讲授§6.2 微积分学的差不多定理与差不多公式若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，如何样运算那个积分值呢？假如利用定积分的定义，由于需要运算一个和式的极限，能够想象，即使是专门简单的被积函数，那也是十分困难的。
高等数学上教案
高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。
要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。
在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。
第一章：函数与极限教学目的与要求 18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，对于每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值，这个确定的值称为极限。
极限的性质：保号性、传递性等。
1.3 极限的计算基本极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) 等。
极限的运算法则：加减乘除、乘方等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于0。
无穷大的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于正无穷或负无穷。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (sin x)' = cos x \), \( (cos x)' = -sin x \) 等。
导数的运算法则：和差、乘积、商、复合函数等。
2.3 微分微分的定义：微分是导数的一个线性近似。
微分的计算：对函数进行微分，即将自变量的增量转化为微分的形式。
2.4 应用求函数的极值：求导数，令导数为0，解出x值，再代入原函数求出极值。
求函数的单调区间：求导数，判断导数的正负，确定函数的单调性。
第三章：泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。
泰勒公式的应用：求解函数在某一点的近似值。
3.2 洛必达法则洛必达法则的定义：当函数在某一点的导数为0时，可以用该点的其他导数信息来求解函数值。
洛必达法则的应用：求解函数在某一点的极限值。
3.3 泰勒展开泰勒展开的定义：将函数在某一点的泰勒公式展开，得到函数在该点的多项式近似。
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若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
等数学》电子教案山东农业大学科技学院
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
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例7
讨论函数
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2. 设函数 f ( x)在点 x0连续, 但
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) ,
x x0
x0
x
称函数 f ( x)在点 x0有无穷导数.(不可导)
例如,
y y 3 x 1
f ( x) 3 x 1,
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
i(t) lim q dq . t0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
电子行业高等数学电子教案
电子行业高等数学电子教案本教案旨在为电子行业的学生提供一份高等数学的学习指南。
高等数学是电子工程师所必备的重要数学基础知识，对于理解电子理论、电路分析和信号处理等内容至关重要。
通过本教案，学生将能够掌握高等数学的基本概念、理论和应用。
1. 引言高等数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念关系的学科。
对于电子工程师来说，高等数学是一门基础学科，它涵盖了微积分、线性代数、概率论和数理统计等内容。
在电子行业中，高等数学的应用十分广泛，涉及到信号处理、电路分析、通信系统设计等方面。
2. 高等数学基础概念在学习高等数学之前，首先需要掌握一些基础概念。
本章将介绍数集、函数、极限等基本概念，并解释它们在电子行业中的应用。
2.1 数集在高等数学中，数集是由一组数组成的集合。
常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
电子工程师在信号处理和电路分析中经常会遇到各种数集，了解数集的性质和运算规则对于解决实际问题非常重要。
2.2 函数函数是一种特殊的关系，它将一个数集中的每个数映射到另一个数集中的唯一数。
在电子行业中，函数被广泛应用于信号处理、系统建模和电路分析等方面。
学习函数的性质和图像可以帮助电子工程师理解和分析电子系统的行为。
2.3 极限在数学中，极限是描述一个函数在某个点附近的行为。
在电子工程中，极限的概念在信号处理和电路分析中具有重要的作用。
学习极限的概念和性质可以帮助电子工程师更好地理解电子系统的稳定性和性能。
3. 微积分基础微积分是高等数学的核心内容，它研究函数的变化率和积分。
在电子行业中，微积分广泛应用于信号处理、电路分析和通信系统设计等方面。
3.1 导数导数是函数变化率的度量，它衡量函数在某一点上的变化速率。
在电子工程中，导数被广泛应用于信号处理和系统建模等方面。
学习如何计算和应用导数对于电子工程师进行系统分析和设计非常重要。
3.2 积分积分是导数的逆过程，它度量函数在一定区间上的累积变化量。
高等数学电子教案word
高等数学电子教案word一、教学内容二、教学目标1. 理解微分方程的基本概念，掌握微分方程的定义及常见类型。
2. 学会解可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程和伯努利方程。
3. 能够运用微分方程解决实际问题，提高数学素养。
三、教学难点与重点重点：微分方程的定义、常见类型的解法。
难点：一阶线性微分方程和伯努利方程的求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景，如人口增长模型，引出微分方程的概念。
2. 知识讲解：（1）微分方程的基本概念及分类。
（2）可分离变量的微分方程的解法。
（3）齐次方程的解法。
（4）一阶线性微分方程的解法。
（5）伯努利方程的解法。
3. 例题讲解：（1）解可分离变量的微分方程：dy/dx = x/y。
（2）解齐次方程：dy/dx = (y/x)。
（3）解一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
（4）解伯努利方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。
4. 随堂练习：（1）求解微分方程：dy/dx = sin(x)cos(y)。
（2）求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2。
六、板书设计1. 微分方程的基本概念及分类。
2. 各类微分方程的解法。
3. 例题及解答。
4. 随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求解微分方程：dy/dx = 1/y。
（2）求解微分方程：dy/dx 3y = 2x。
（3）求解微分方程：dy/dx + 4y = 3x^2y^2。
2. 答案：（1）y = ln|x| + C。
（2）y = (1/3)x^3 x + C。
（3）y = 1/(x^3 + C)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生了解微分方程的实际应用，提高学习兴趣。
讲解过程中，注意引导学生掌握各类微分方程的解法，培养其解决问题的能力。
高等数学电子教案(最新版
解决方案
理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
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详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
高等数学教育教案(电子版)
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
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高等数学电子教案word【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如a={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},m={x | x具有性质p }.例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a或x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即a?b={x|x∈a且x∈b}.设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即a\b={x|x∈a且x?b}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.集合运算的法则:设a、b、c为任意三个集合, 则(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.(a?b)c=ac ?bc的证明:x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.3. 区间和邻域有限区间:设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|axb}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).二、映射1. 映射的概念定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作f : x→y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即d f=x ;x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即r f=f(x)={f(x)|x∈x}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22满射、单射和双射:设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即g : r f →x,对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : x→y 1,f : y 2→z,其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.三、函数1. 函数概念定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈d,其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:1 求函数y=-x2-4的定义域. x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).单值函数与多值函数:【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
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《高等数学》授课教案2０08 ~2009 学年第一学期教师姓名: 李石涛授课对象:1．化学工程与工艺0801－０803,应用化学0８0１,0８0２2.高分子材料工程0８０1,0８0２;环境工程0801,０8０2授课学时： 128/64选用教材:《高等数学》大连理工大学出版社史俊贤主编 200５ / 8 第一版基础部数学教研室ﻩ沈阳工业大学教案第 5 周授课日期08.９.2３沈阳工业大学教案第 5 周授课日期08.9.2５沈阳工业大学教案第 6 周授课日期０8.9.30沈阳工业大学教案第6周授课日期08.10．2沈阳工业大学教案第7 周授课日期０8.１0.7沈阳工业大学教案第７周授课日期08.１０.９沈阳工业大学教案第8 周授课日期０８.10.14沈阳工业大学教案第8 周授课日期0８.10.16沈阳工业大学教案第9 周授课日期08.１０.21沈阳工业大学教案第9 周授课日期０８.9.２3沈阳工业大学教案第10 周授课日期08.10.２8沈阳工业大学教案第10 周授课日期08.10.３0沈阳工业大学教案第1１周授课日期08.１1．4沈阳工业大学教案第11 周授课日期08.11．６沈阳工业大学教案第１２周授课日期０8.1１.11沈阳工业大学教案第1２周授课日期０８.11.1３沈阳工业大学教案第13 周授课日期08．1１．18沈阳工业大学教案第13 周授课日期０８．１1.20沈阳工业大学教案第14 周授课日期０8.１1.25沈阳工业大学教案第14 周授课日期08．11.27沈阳工业大学教案第14 周授课日期08.１1.28沈阳工业大学教案第15 周授课日期08.１２.2沈阳工业大学教案第15 周授课日期08.1２.4沈阳工业大学教案第１ 5 周授课日期０８.12.５沈阳工业大学教案第16 周授课日期０8.12.９沈阳工业大学教案第16 周授课日期０8．１2．11沈阳工业大学教案第16 周授课日期08．12.12沈阳工业大学教案第1７周授课日期08.12.16沈阳工业大学教案第1７周授课日期0８．12．18沈阳工业大学教案第17 周授课日期08.12.１9。
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《高等数学》教案第一讲 函数与极限1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μx （μ为常数） 指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ϕ=中，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
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解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例 2 设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无
L
关, 其中 具有连续的导数, 且(0) 0,
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
P Q y x 在G 内恒成立.
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
一、曲线积分与路径无关的定义
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积 分 Pdx Qdy 在G 内 与 路径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
三、二元函数的全微分求积
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy
题 (4)
在D内, P Q y x
练习题
一、填空题:
1、 设 闭 区 域D 由 分 段 光 滑 的 曲 线L 围 成 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y)及在D 上具有一阶连续偏导数,则
场,其中k 为常数, r x 2 y 2 .证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
• A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
Q y1 (
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q(
y0x0,Fra biblioteky)dy
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1, y1 )
• C( x1, y0 )
x
例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .
ANB
是过原点和A(1 , 1) ,B(2 , 6) 且其对称轴垂直于x
轴的抛物线上的弧段, AMB 是连接A , B 的线段 .
六、计算 xdy ydx ,其中L 为不经过原点的光滑闭曲
L x2 y2
线 .(取逆时针方向)
七、验证(3 x2 y 8 xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整
个xoy 平面内是某一函数u( x, y) 的全微分,并求这
样一个u( x, y).
八、试确定
,使得 x y
r dx
x2 y2
r dy 是某个函数
u( x , y)的全微分,其中r x 2 y 2 ,并求
u( x , y).
九、设在半平面x 0 内有力F k ( xi y j)构成力 r3
积为 5,又P( x , y)及Q( x, y) 在D 上有一阶连续偏
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy 的差.其中AMB
计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
有
D
(
Q x
P y
)dxdy
________________；
2、 设 D 为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y) 在D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则
L Pdx Qdy 在D 内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是
_______________在D 内处处成立； 3、 设D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域,其面