高等数学电子教案：10-3(2)
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计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
2Biblioteka Baidu
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例 2 设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无
L
关, 其中 具有连续的导数, 且(0) 0,
ANB
是过原点和A(1 , 1) ,B(2 , 6) 且其对称轴垂直于x
轴的抛物线上的弧段, AMB 是连接A , B 的线段 .
六、计算 xdy ydx ,其中L 为不经过原点的光滑闭曲
L x2 y2
线 .(取逆时针方向)
七、验证(3 x2 y 8 xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
• A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
Q y1 (
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q(
y0
x0
,
y)dy
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1, y1 )
• C( x1, y0 )
x
例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .
积为 5,又P( x , y)及Q( x, y) 在D 上有一阶连续偏
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy 的差.其中AMB
则曲线积 分 Pdx Qdy 在G 内 与 路径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
三、二元函数的全微分求积
个xoy 平面内是某一函数u( x, y) 的全微分,并求这
样一个u( x, y).
八、试确定
,使得 x y
r dx
x2 y2
r dy 是某个函数
u( x , y)的全微分,其中r x 2 y 2 ,并求
u( x , y).
九、设在半平面x 0 内有力F k ( xi y j)构成力 r3
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
P Q y x 在G 内恒成立.
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
有
D
(
Q x
P y
)dxdy
________________；
2、 设 D 为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y) 在D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则
L Pdx Qdy 在D 内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是
_______________在D 内处处成立； 3、 设D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域,其面
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy
题 (4)
在D内, P Q y x
练习题
一、填空题:
1、 设 闭 区 域D 由 分 段 光 滑 的 曲 线L 围 成 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y)及在D 上具有一阶连续偏导数,则
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
一、曲线积分与路径无关的定义
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
场,其中k 为常数, r x 2 y 2 .证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
2Biblioteka Baidu
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例 2 设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无
L
关, 其中 具有连续的导数, 且(0) 0,
ANB
是过原点和A(1 , 1) ,B(2 , 6) 且其对称轴垂直于x
轴的抛物线上的弧段, AMB 是连接A , B 的线段 .
六、计算 xdy ydx ,其中L 为不经过原点的光滑闭曲
L x2 y2
线 .(取逆时针方向)
七、验证(3 x2 y 8 xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
• A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
Q y1 (
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q(
y0
x0
,
y)dy
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1, y1 )
• C( x1, y0 )
x
例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .
积为 5,又P( x , y)及Q( x, y) 在D 上有一阶连续偏
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy 的差.其中AMB
则曲线积 分 Pdx Qdy 在G 内 与 路径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
三、二元函数的全微分求积
个xoy 平面内是某一函数u( x, y) 的全微分,并求这
样一个u( x, y).
八、试确定
,使得 x y
r dx
x2 y2
r dy 是某个函数
u( x , y)的全微分,其中r x 2 y 2 ,并求
u( x , y).
九、设在半平面x 0 内有力F k ( xi y j)构成力 r3
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
P Q y x 在G 内恒成立.
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
有
D
(
Q x
P y
)dxdy
________________；
2、 设 D 为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y) 在D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则
L Pdx Qdy 在D 内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是
_______________在D 内处处成立； 3、 设D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域,其面
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy
题 (4)
在D内, P Q y x
练习题
一、填空题:
1、 设 闭 区 域D 由 分 段 光 滑 的 曲 线L 围 成 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y)及在D 上具有一阶连续偏导数,则
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
一、曲线积分与路径无关的定义
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
场,其中k 为常数, r x 2 y 2 .证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；