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特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法, 会简化解题过程。

一 •比例法x 1a b 例1.解方程(b 0)x 1a bA D分式：观察方程，形如：的形式，可根据比例"两外项之积等于两内项之积”B C而直接求解。

解：原方程化为(x 1)(a b) (a b)(x 1)2a a xb2 3x3 2x 3x 1 2x 2解：原方程化为(2 3x)(2x 2)(3 2x)(3x整理得13x7，7 x13经检验x —是原方程的根。

13二.换元法y 3 4y 8例3.解方程y 2 y 3分析：本题若移项，形如— D ，如果用比例法则去分母后方程变为B C23y 24y7 0，对一元二次方程我们还不能求解。

因此，经观察发现84 匚2，其中匚2与丄虫互为倒数关系，可利用换元法简便求解。

y 3 y 3 y 3 y 2解：设'一3 A ，则原方程变形为y 2整理得2bxb 0，例2.解方程: 1)4 A 0 A 整理得A 2 4A 2y 3当A 2时，2，解得y i 7 ;y 2 当A 2时，乂卫 2，解得yy 331 、经检验，y 1 7, y 2都是原方程的解。

3例4.解方程组325 (1)x y x y144⑵y xx y分析：方程(1),( 2)中都含有 ---------------x y1i设a ,bx yx y则方程组变形为3b 2a 5 b 4a 4解这个二元一次方程组，1 1求出a 、b 的值，代入禾口中，即可解出x , y 的值。

x y x y三.倒数法关系，可有下面解法。

解: x -2，或x1 44因此可运用换元法,例5.已知：x - x分析：已知条件中, 1 ~2 x , 1 —互为倒数2- 2 21，求 x 2 2 1 ......... x , x 2 -，其中 2 2, 1 —互为倒数关系，利用此21 ~~2x例6. 解方程:2x 3x 2 17 分析: 3x 2方程的左边两项为倒数之和,2x 14因此可用倒数法简化求解,解：原方程变形为当y -时，贝V 竺」43x 2解之得X 265 9 经检验X 1, X 2 102x 1 3x 2y ,则2x1当y 4时, 解之得X 14 冲2x 则 - 3x 29 106是原方程的根。

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法白云中学：孙权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。

但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。

下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。

一、加减相消法。

例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。

分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。

如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。

解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。

二、巧用合比性质法。

例2：解方程：781222++=++x x x x 。

分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。

解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。

三、巧用等比性质法。

例3、解方程：13242344++=++x x x x 。

分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。

解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。

∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。

分式方程的几种解法

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。

例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。

把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。

∴原方程的根为6=x 。

二、换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。

分式方程的解法总结

分式方程的解法总结分式方程是数学中常见的一类方程，其基本形式为分子为一个多项式，分母为一个多项式的等式。

解决分式方程的过程可以通过多种方法来进行，本文将总结几种常见的解法。

一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。

当分式方程中存在多个分母时，我们需要找到一个公共分母，将分数转化为分子为多项式的等式。

例如，对于分式方程1/(x+3) + 3/(x-2) = 2/(x+1)，我们可以通过找到(x+3)(x-2)(x+1)作为公共分母，将分母展开，得到方程：(x-2)(x+1) + 3(x+3) = 2(x+3)(x-2)然后，我们可以进一步展开方程，化简后解得x的值。

二、消元法消元法也是解决分式方程的一种常见方法。

当分式方程中存在多个分子或分母含有相同变量的项时，我们可以通过消元的方式简化方程。

举个例子，对于分式方程(x-1)/(x+3) + (2x+3)/(x+1) = 3/(x-1)，我们可以通过乘以(x+1)(x-1)来消除分母：(x-1)(x+1)(x+3) + (2x+3)(x+1)(x-1) = 3(x+1)(x-1)然后，我们展开方程，化简后解得x的值。

三、代换法代换法是解决分式方程的另一种常见方法。

当方程中存在复杂的分式表达式时，我们可以通过代换的方式将方程转化为更简单的形式。

例如，对于分式方程1/(x-1) + 2/(x^2-1) = 3/(x+1)，我们可以令y = x^2-1，将x的平方项替换为y，得到：1/(y+2) + 2/y = 3/(y+2)然后，我们将方程中的分子通分，消去分母，并整理方程，解得y 的值，再代回x，得到x的解。

四、贝尔努利变量替换法贝尔努利变量替换法是解决一类特殊的分式方程的方法。

当方程中出现形如y'/y的分式时，我们可以通过引入一个新的变量来替换原方程，使得方程变得更简单。

举个例子，对于分式方程y'/(y^2+y) = x，我们可以令z = y^2+y来代替分母，得到：y'/z = x然后，我们将y'转化为dz/dx，并将方程转化为dz/dx = xz的形式。

解分式方程的方法

解分式方程的方法一、通分法：针对分式的分母进行通分，并将方程中的每一项乘以分母的通分因子，使得分式方程中的分母相同。

然后将等号两边的分子相加或相减，将分式转化为整式方程。

示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将方程两边的分式通分，通分因子为$x(x-1)(x+1)$，得到$(x-1)(x+1)+2x=x(x-1) \Rightarrow x^2-1+2x=x^2-x \Rightarrowx=1$二、消元法：通过合理的变换，将方程中的分式消去，转化为整式方程。

示例：解方程$\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将两边的分式通过通分转化为同类分数，得到$\frac{x-1-2x}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow \frac{-x-1}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow (-x-1)(x+1)=-3(x)(x-1) \Rightarrow x=1$三、代换法：通过合理的代换将含有分式的方程转化为整式方程。

示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=1$令$y=\frac{1}{x}$，则分式方程转化为整式方程$y+\frac{1}{y-1}=1$。

将等式两边通分，得到$y(y-2)+1=y-1 \Rightarrow y^2-2y+1=y^2-2y \Rightarrow 1=-1$，此时方程无解。

四、等效方程法：通过等效方程将分式方程转化为整式方程。

示例：解方程$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$首先将等式两边的分式通分，得到$\frac{x+2(x-1)}{(x-1)(x)}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$。

由等式两边的分母相等，可得$x+2(x-1)=2x-3$。

分式方程的解法与应用技巧

分式方程的解法与应用技巧分式方程是含有分数的方程，其求解过程相对复杂。

本文将介绍分式方程的解法与应用技巧，帮助读者更好地掌握这一内容。

一、简单分式方程的解法对于形如$\frac{a}{x}=b$的简单分式方程，其中$a$和$b$为已知数，$x$为未知数。

我们可以通过以下步骤求解：1. 将方程两边乘以$x$，消去分式：$a=bx$。

2. 将方程两边除以$b$，解出未知数：$x=\frac{a}{b}$。

例如，对于分式方程$\frac{2}{x}=3$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{2}{3}$。

二、复杂分式方程的解法对于形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的复杂分式方程，其中$a$、$b$、$c$、$d$和$e$为已知数，$x$为未知数。

我们可以通过以下步骤求解：1. 消去分母，得到线性方程：$ax+b=ecx+ed$。

2. 整理方程，将未知数放在一侧，已知数放在另一侧：$ax-ecx=ed-b$。

3. 合并同类项，得到线性方程：$x(a-ec)=ed-b$。

4. 解出未知数：$x=\frac{ed-b}{a-ec}$。

例如，对于分式方程$\frac{2x+1}{3x+2}=4$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{7}{10}$。

三、分式方程的应用技巧1. 化简分式：在处理分式方程时，我们可以通过化简分式来简化计算过程。

例如，对于分式方程$\frac{3x^2+6x}{2x}=5$，我们可以化简分式为$\frac{3(x+2)}{2}=5$，然后继续求解。

2. 注意特殊解：有些分式方程存在特殊解。

例如，对于分式方程$\frac{x-1}{x}=0$，我们可以通过化简分式得到$x=1$，但这并不是方程的解，因为分母为0时方程无解。

3. 检验解的合法性：在求解分式方程时，我们应该检验解的合法性。

即将解代入原方程，检验等式是否成立。

如果不成立，则解是无效的。

4. 借助整体思维：在处理分式方程的过程中，我们可以借助整体思维，将分数表示为整体，并通过整体与部分的关系，简化方程求解。

分式方程的解法与应用

分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。

本文将介绍分式方程的解法及其应用。

一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。

首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。

首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。

首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。

例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。

可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。

2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。

例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。

可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。

3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。

例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。

可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。

总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。

分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是指含有一个或多个分式的方程。

解分式方程时，我们需要将分式方程中的分数部分化简成整数或变量，以便求得方程的解。

下面将介绍一些解分式方程的常用方法。

一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法之一。

当分式方程中含有分母时，我们可以通过两边同乘以除了分母以外的数来消去分母，从而将分式方程转化为代数方程。

例如，考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5为了清除该分式方程中的分母，我们可以将两边乘以x(x+1)，得到: 2(x+1) + 3x = 5x(x+1)然后将该代数方程化简为二次方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

二、倒数法倒数法是解分式方程的另一种方法。

当分式方程中含有倒数时，我们可以通过将分式方程中的分母倒置，从而将分式方程转化为代数方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5我们可以将该方程转化为代数方程：1/2 + 1/(x+1) = 1/5然后，通过整理方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

三、代换法代换法是解分式方程的一种常用技巧。

当分式方程中的分式难以直接求解时，我们可以通过代入适当的变量来简化方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = (x+2)/(x(x+1))我们可以令y = x(x+1)，将该方程转化为代数方程：2/y + 3/y = (y+2)/y然后，通过整理方程，解得y的值。

最后，我们求得x的值。

需要注意的是，我们需要检查所得解是否满足原方程。

综上所述，清除分母法、倒数法和代换法是解分式方程的三种常用方法。

通过灵活运用这些方法，我们可以有效地求解各种分式方程，并得到准确的解。

在解分式方程时，我们需要注意化简方程、整理方程以及检查解的步骤，以确保解的正确性。

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。

下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。

一、加减相消法。

例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。

分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。

如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。

解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。

二、巧用合比性质法。

例2：解方程：781222++=++x x x x 。

分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。

三、巧用等比性质法。

例3、解方程：13242344++=++x x x x 。

分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。

解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。

∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。

分式方程的特殊解法举例

分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。

其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。

但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。

因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。

1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。

解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。

2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。

解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。

3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。

因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。

解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ，经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法一、容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

分式方程的求解掌握解含有分式的一元一次方程的方法

分式方程的求解掌握解含有分式的一元一次方程的方法在数学中，分式方程是指方程中涉及到分式的方程。

解决这类方程需要掌握解含有分式的一元一次方程的方法。

本文将介绍一些常见的求解分式方程的方法供参考。

1. 清除分母法清除分母法是处理涉及到分式的方程的常见方法之一。

该方法的思路是通过乘以适当的公倍数，将方程两侧的分式的分母消除，从而得到一个整式方程。

举例说明：假设要解决如下分式方程：(3/x) - (2/x - 1/2) = (1/3)首先，我们可以观察到方程中都是关于x的分式。

为了消除分母，我们可以找到这两个分式的公倍数，即2x。

接下来，我们将方程两侧乘以2x，得到：2x * (3/x) - 2x * (2/x - 1/2) = 2x * (1/3)6 - 4 + x = 2x/3化简方程得到：x + 2x/3 = 10/33x/3 + 2x/3 = 10/3合并同类项得到：5x/3 = 10/3接下来，我们可以将上述方程两侧乘以3，得到整数方程：5x = 10最后，解得：x = 2所以，原始的分式方程的解为x = 2。

2. 倒数法倒数法是求解含有分式的方程的另一种常用方法。

该方法的思路是用公式将含有分式的方程转化为以未知数的倒数为变量的整式方程。

举例说明：假设我们要解决如下分式方程：(1/x) + (1/x + 1/2) = (2/3)首先，我们可以观察到方程中都是关于x的分式。

为了使用倒数法，我们令y = (1/x)，将方程转化为：y + (y + 1/2) = 2/32y + 1/2 = 2/3接下来，我们可以将上述方程两侧乘以6，得到整数方程：12y + 3 = 4继续化简得到：12y = 4 - 312y = 1最后，解得：y = 1/12由于我们令y = (1/x)，所以：1/x = 1/12交叉相乘得到：12 = x所以，原始的分式方程的解为x = 12。

除了清除分母法和倒数法，还有一些其他的方法可以用于求解分式方程，如代入法、直接比较法等。

特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。

一. 比例法例1. 解方程x x a b a b b -+=-+≠110()分式：观察方程，形如：A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。

解：原方程化为()()()()x a b a b x -+=-+11整理得22bx a = b x a b ≠∴=0，例2. 解方程：23313222--=-+x x x x解：原方程化为()()()()23223231-+=--x x x x 整理得137x =，∴=x 713 经检验x =713是原方程的根。

二. 换元法例3. 解方程y y y y -+-+-=324830分析：本题若移项，形如A B D C =，如果用比例法则去分母后方程变为324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。

因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32互为倒数关系，可利用换元法简便求解。

解：设y y A -+=32，则原方程变形为 A A -=40 整理得A 24= ∴=±A 2当A =2时，y y -+=322，解得y 17=-；当A =-2时，y y -+=-332，解得y 213=- 经检验，y y 12713=-=-，都是原方程的解。

例4. 解方程组 32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()分析：方程（1），（2）中都含有11x yx y -+，，因此可运用换元法，设11x y a x y b +=-=，则方程组变形为32544b a b a -=+=⎧⎨⎩ 解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入11x yx y +-和中，即可解出x ，y 的值。

分式方程的解法知识点总结

分式方程的解法知识点总结分式方程是数学中常见的一类方程，它由分式或有理函数构成。

解分式方程的过程需要掌握一些常用的解法方法和技巧。

本文将会对分式方程的解法进行总结。

一、分式方程的定义分式方程是指方程中含有分式（或有理函数）的方程，通常具有以下形式：$$\frac{A(x)}{B(x)}=0$$其中，A(x)和B(x)分别是整式，且B(x)≠0。

二、分式方程解的定义分式方程的解是使得方程等式成立的x的值。

对于分式方程而言，解可分为实数解和非实数解。

三、主要解法1. 清除分母法当分式方程两边的分式的分母相同且不为0时，可通过两边同乘该分母将方程化简为一个多项式方程。

具体步骤如下：(1) 将分式方程两边的分式分母相同化为$$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{B(x)}$$(2) 化简为多项式方程$$A(x)=C(x)$$(3) 求解多项式方程，得到分式方程的解。

2. 消元法当分式方程中含有多个未知数时，可通过消元法将方程转化为只含一个未知数的分式方程，然后再通过清除分母法求解。

具体步骤如下：(1) 利用方程中的已知条件或其他方程将其中一个未知数表示出来。

(2) 将该未知数的表达式代入原方程中，得到只含一个未知数的分式方程。

(3) 利用清除分母法求解该分式方程，得到原分式方程的解。

3. 分离变量法当分式方程具有形如$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$的形式时，可以利用分离变量法将其转化为两边各自关于自变量和因变量的单变量方程。

(1) 将分式方程进行分离变量得到$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$(2) 对两边分别进行积分得到$$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$(3) 求解上述方程组，得到原分式方程的解。

四、注意事项1. 必要的化简：在解分式方程之前，通常需要对方程进行合并同类项、约分和因式分解等化简步骤，以方便后续的求解过程。

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母，换元法，并且要检验。

但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，颇有异曲同工之妙，现举例说明。

一、化归法。

例1．解方程621(1)(2)2x x x -=+-- 解:移项通分，得：62(1)(1)(2)0(1)(2)x x x x x -+-+-=+- 则260(1)(2)x x x x --=+- (2)(3)0(1)(2)x x x x --+=+- 即301x x +=+ 则 30x +=3x =-所以原方程的解为3x =- 说明：①把分式方程化归为分式值为0时，求字母的值。

②本题方程隐含着1,2x x ≠-≠，否则会出现增根。

③这种解法无需验根。

二、观察比较法。

例2.解方程452175244x x x x -+=- 分析: 观察到左边452x x -与524x x -互为倒数，右边的174也可化为4+14根据这一特征，比较转化后求解。

解：原方程可化为：452145244x x x x -+=+- 所以441452524x x x x ==--或解之得：1212211x x ==-，经检验1212211x x ==-，都是原方程的解。

三、分离常数法例3.解方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++ 分析:方程中各项的分母与分子之差都为1,根据这一特点把每个分式都化成常数1与较简单分式的和,简化原方程.解:原方程可化为: ()()()()111129382938x x x x x x x x ----+++++=+++++111111112938x x x x -+-=-+-++++11112938x x x x +=+++++11112389x x x x -=-++++,()()()()112389x x x x =++++()()()()2389x x x x =++++112x =-经检验:112x =-是原方程的解.四、逐项通分法例4.解方程24112481111x x x x -++=+-++分析:若整体通分,将很繁,注意到逐项通分时,分母都满足平方差公式,故逐项通分. 解:原方程可化为:()()2422481111x x x x -++=+++-()()422448111x x x -+=+-+()()448811x x -=-+811x -=-,0x =经检验: 0x =是原方程的解.五、利用比例性质。

解分式方程的技巧

分式方程的解法和技巧1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。

然后解这个整式方程。

解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。

2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。

分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。

当y=－2时，x2＋x=－2。

∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。

3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。

4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。

特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。

例4解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。

5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。

解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。

所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。

6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。

∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。

检验知，它们都是原方程的根。

所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。

7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。

下面以合比定理为例来说明。

∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，即x（x2－1）=0，∴x=0或x=±1。

检验知，x=1是原方程的增根。

所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。

分式方程的解法分式方程的运算规则

分式方程的解法分式方程的运算规则分式方程的解法分式方程是指含有分式的方程。

解分式方程的方法可以通过通分、消去分母等步骤来实现。

本文将介绍两种常见的解分式方程的方法，并总结分式方程的运算规则。

一、通分法1. 将分式方程中的各分式通分，即找到具有相同分母的公倍数，并将各分式化为相应的分子并列的形式。

例如，对于分式方程：1 1 1—— + —— = ——2x 3x-1 6x我们可以将分母通分为6x，得到：3 2 1——(3x-1) + ——(2x) = 16x 6x 6x2. 将通分后的方程中的分子相加，并合并同类项，化简方程。

继续上述例子，合并同类项得到：3(3x-1) + 2(2x) = 6x继续上述例子，将方程化简为：9x - 3 + 4x = 6x解得：x = 3二、消去法1. 通过消去法将分式方程中的分母消去。

例如，对于分式方程：1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过乘以各分式的分母的方式进行消去，得到： (x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 合并同类项，并化简方程。

继续上述例子，合并同类项得到：x² + 3x + 2 + 2x² + 4x = 3x² + 3x化简为：3x² + 3x + 2 = 3x² + 3x继续上述例子，将方程化简为：2 = 0由此可得方程无解。

分式方程的运算规则1. 分式的加减法：对于分式方程的加减法，首先需要找到相同的分母，然后对应分子进行相加或相减，并保持分母不变。

例如，对于分式方程：1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过通分法将方程化简为：(x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 分式的乘法：对于分式方程的乘法，只需将两个分式的分子相乘，并将两个分式的分母相乘。

例如，对于分式方程：1 2 3—— * —— = ——x x+1 x+2我们可以将方程化简为：1(x+1) * 2(x+2) = 3(x)(x+1)3. 分式的除法：对于分式方程的除法，只需将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。

八年级数学上册12.4分式方程特殊分式方程的几种特殊解法素材冀教版(new)

特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法,把分式方程化为整式方程,以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大,运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法,会简化解题过程。

一、比例法例1.解方程分式：观察方程，形如：的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解.解：原方程化为整理得例2。

解方程：解:原方程化为整理得经检验是原方程的根。

二、换元法例3.解方程分析：本题若移项，形如，如果用比例法则去分母后方程变为，对一元二次方程我们还不能求解。

因此，经观察发现，其中与互为倒数关系，可利用换元法简便求解.解：设，则原方程变形为整理得当时,,解得；当时，,解得经检验，都是原方程的解.例4。

解方程组分析：方程（1)，（2）中都含有因此可运用换元法，设则方程组变形为解这个二元一次方程组,求出a、b的值，代入中，即可解出x，y的值。

三、倒数法例5.已知:____________。

分析：已知条件中,x，互为倒数，其中互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法.解:,例6.解方程：分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解,设解：原方程变形为当时，则，解之得当解之得经检验是原方程的根。

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特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。

一. 比例法例1. 解方程x x a b a bb -+=-+≠110() 分式：观察方程，形如：A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。

解：原方程化为()()()()x a b a b x -+=-+11整理得22bx a =b x a b ≠∴=0，例2. 解方程：23313222--=-+x x x x 解：原方程化为()()()()23223231-+=--x x x x整理得137x =，∴=x 713经检验x =713是原方程的根。

二. 换元法例3. 解方程y y y y -+-+-=324830 分析：本题若移项，形如A B D C=，如果用比例法则去分母后方程变为324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。

因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32互为倒数关系，可利用换元法简便求解。

解：设y y A -+=32，则原方程变形为A A-=40 整理得A 24= ∴=±A 2当A =2时，y y -+=322，解得y 17=-；当A =-2时，y y -+=-332，解得y 213=- 经检验，y y 12713=-=-，都是原方程的解。

例4. 解方程组32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()分析：方程（1），（2）中都含有11x y x y -+，，因此可运用换元法，设11x y a x yb +=-=，则方程组变形为32544b a b a -=+=⎧⎨⎩解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入11x y x y+-和中，即可解出x ，y 的值。

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。